追錯因：走向數學深度思維

張雨

【摘要】日常數學課堂教學中學生生成的錯誤是非常寶貴的教學資源，如果能了解、探尋和挖掘錯因，并能引導學生深入思考探究，可以使學生的數學思維過程走向深入。作者先后兩次同課異構“平均數”這一內容，充分挖掘錯誤資源，重新設計了教學過程，達到了不同的教學效果。

【關鍵詞】追錯因;數學;深度思維

【基金項目】本文系本校承擔的南京市教育科學“十二五”規劃課題“數學錯題：數學資源開發的新探索”（題立項號：L/2011/114）階段性成果。

一、案例背景

在日常的課堂教學中，學生難免會犯各種各樣的錯誤，而這些錯誤正是一筆非常寶貴的教學資源，應著力挖掘其教育價值。這就要求教師在面對學生的錯誤時，能了解錯因，探尋錯因，挖掘錯因，利用好寶貴的錯題資源，使學生在課堂上能激發潛能，深入思考，并能將實際問題抽象為數學模型加以解決，使學生的數學思維過程走向深入。筆者曾先后兩次教學蘇教版“平均數”這一內容，在挖掘學生的錯誤資源之后，重新設計了教學過程，達到了不同的教學效果。

二、案例描述

【教學——“平均數不僅僅是‘總數量÷總份數這么簡單”】

課后筆者請那個出錯的學生過來說說他是怎么想的。在筆者的追問下，他說：“老師，我覺得甲乙2個組，就把甲組的平均數和乙組的平均數相加，除以2，就是甲乙兩組的平均數了。”

他的回答給了筆者啟示，其實是很多學生根本沒有理解“平均數=總數量÷總份數”數量關系式中的“總數量”“總份數”“平均數”究竟在這一題中表示什么，它們之間又是什么樣的數量關系。追根溯源，還是筆者在教學“平均數”這一概念時，沒有在學生頭腦中充分完整地建構，沒有在學生原有知識體系中建立解決這類問題的模型，使他們不能利用新知深入思考這個題目。于是筆者改進了教學設計，在另一班重新教學。

1.師：三年級第一組同學正在進行一場激烈的套圈比賽，想知道他們的比賽情況嗎？咱們一起來看看吧！

請學生結合情境圖說明：他們分成男生和女生進行比賽。

2.出示條形統計圖1：男生3人，分別套中7、1、5個;女生4人，分別套中3、3、2、4個。

（1）學生觀察，教師提問：從條形統計圖里你知道了什么數學信息？

（2）如果男生與女生比賽，你們認為哪個隊贏了？為什么？

生1：男生贏了，因為男生一共套中了13個，女生只套中了12個。

生2：這里人數相同，可以比較總個數，哪個隊總個數多，哪個隊贏。

3.出示條形統計圖2：男生3人，每人都套中4個;女生4人，每人都套中3個。

師：男生與女生隊進行了第2次比賽，這次你們認為哪個隊贏了？能不能比總數了？為什么？

生1：不能比總數，男生隊只有3個人，不公平。

師：那你認為這次應該比什么？

生2：比每人套中的個數。

生3：也就是可以這樣理解：“4個”代表了男生的整體水平，“3個”代表了女生的整體水平。要比較兩隊成績，通常是整體水平的比較，就要找一個合適的數作代表：人數相同時，可以選“總個數”;人數不同時，可以選“每人套中個數”。

4.出示例題圖，男生4人，分別套中6、9、7、6個;女生5人，分別套中10、4、7、5、4個。

師：這是第3次比賽，比什么才公平？為什么？（比每人套中的個數）（出示圖2和例題圖對比）剛才第2次每人套中的個數相同，能一眼看出來每人套中的個數，現在呢？（不同）怎么辦？（小組討論，師巡視）

有的學生在作業紙上畫一畫圖，使4個男生套中的個數變得同樣多;有的學生先用套中的總個數除以人數，求出平均每人套中的個數。

板書：6+9+7+6=28（個）;28÷4=7（個）。

5.生4：“7個”反映了“6、9、7、6”這四個數的平均水平。

師：數學上我們就把“7”稱為“6、9、7、6”這四個數的平均數。（揭示課題）

6.師：用這種方法，你能算出女生平均每人套中多少個圈嗎？（學生小組討論，匯報討論結果）

板書：10+4+7+5+4=30（個）;30÷5=6（個）。

7.師：現在你能比較男生套得準些還是女生套得準些了嗎？為什么？關于這里的平均數，有沒有疑問？

8.生5：男生平均每人套了7個是不是表示每個男生都套中了7個？

生6：男生平均每人套了7個是表示他們套圈的總體水平，并不表示每個男生都套中了7個。

9.師：今天我們學會了利用數據求平均數，誰來說說怎樣求平均數？（板書：總數量÷總份數=平均數）

新授結束后，筆者出示了甲乙兩組加工零件這道練習：“某車間有兩個加工小組，甲組有6人，平均每人每天加工零件10個;乙組有4人，平均每人每天加工零件5個，問甲乙兩組平均每人每天加工零件多少個？”結果發現，絕大部分學生列出了正確的算式，有個別學生犯了和前面一樣的錯誤。

這時筆者并沒有急于講解正確的數量關系式，而是讓學生小組討論：“你認為哪種算法是正確的？為什么？”有個學生舉起手來，迫不及待地說：“老師，這題加工零件的總數量應該是甲組的總數量加上乙組的總數量，再除以甲乙兩組的總人數，才是每人每天加工零件的平均數。所以，剛才第二種算法直接除以2的算式顯然不符合題意，是錯誤的。”

另一個學生補充說：“如果這題甲乙兩組的人數相同，比如都是4人，可以用‘10+5=15（個），15÷2=7（個）……1（個）來求平均數，兩組人數不同時，必須用‘總工作量÷總人數，這樣的過程才正確。”

筆者追問：“你覺得以后遇到類似的求平均數的題目，該如何解決呢？”

有學生這樣概括：“依然是用‘總數量÷總份數=平均數，只不過這里的‘總數量和‘總份數在不同情況下是不同的，要具體看求什么樣的平均數，具體問題具體分析。”聽完發言，出現錯誤的學生紛紛點了點頭，及時糾正了錯解。

三、案例反思

反思這節課前后同課異構，實際上就是一次“追錯因，重建構”的過程，通過挖掘和利用學生課堂上的錯誤資源，達到了重新設計與建構教學過程的目的，取得了較為不錯的教學效果，總結起來主要有以下幾點。

（一）追問促思，讓學生悟出自己錯誤形成的根本原因

當摸清了學生產生的錯誤之后，必須進行深度分析，以便找到他們出錯的根本原因。就像本課例中的情況，學生在新授例題時，對平均數的數量關系已經明確，按筆者課前預設的想法，他們在練習中只需要按照關系式對號入座就可以了，為什么在遇到稍復雜的題目時卻又出現了錯誤？

仔細分析這個學生錯誤的原因，其實是學生沒有從根本上理解“平均數=總數量÷總份數”數量關系式中的“總數量”“總份數”“平均數”究竟在這一題中表示什么，它們之間又是什么樣的關系。

僅僅通過教師分析出錯誤形成的原因，對于部分接受能力弱的學生來說，理解起來還是有困難。所以在第二次教學中，筆者將學習探究的主動權交給學生，讓學生通過自主探究、交流反饋，自己悟出出現錯誤的根本原因。只有學生通過交流探索自己悟出的錯誤原因才是有生命力的。通過追問促思，學生在同伴的互相分析和補充中漸漸明確了這題的“總數量”是甲乙兩組每天加工零件的總量，要求的“平均數”是甲乙兩組平均每人每天加工零件的數量，而最關鍵的是“總份數”，這里的“總份數”其實是甲乙兩組的總人數。原來理解的“總份數”是甲乙有2個組，就是2，顯然這樣的理解不夠透徹，所以出錯。

（二）追問促思，讓學生數學建模的思維過程走向深入

數學課程標準中明確指出：“讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生理解數學的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。”在深入分析清楚錯誤的原因之后，更重要的應該是幫助學生重新建立相關問題的模型，形成知識結構，同時使他們的思維不僅僅停留在表面，發展有深度的數學思維，直至遇到類似問題時都能利用這個數學模型加以解決。

本課例中的第二次教學，筆者重新設計了新授部分，將例題改為三次比賽。第一次：男生3人，分別套中7、1、5個;女生3人，分別套中6、2、4個。這里設計了男女生人數相同，套圈總數不同的情況，使學生可以比較總數來衡量男女生哪一組套得準。第二次：男生3人，每人都套中4個;女生4人，每人都套中3個。這里設計了男女生套圈總數相同，人數不同的情況，不能用總數量衡量，引出了求出平均值。第三次：男生4人，分別套中6、9、7、6個;女生5人，分別套中10、4、7、5、4個。這里總數量不同，總人數也不同，學生有了前面的鋪墊，自然就想到了利用“總數量÷總人數”求出平均數來比較。

通過重新設計新授部分的教學環節，為學生創設了三次有現實背景的生活情境，并讓學生在情境中經歷觀察、比較、分析的探究過程，在此過程中由學生建構解決平均數問題的數學模型。

思維的過程由表及里，層層遞進，這樣的建構過程帶領學生一步步理解了平均數的產生、意義和求法，學生頭腦中的新知由此得以完整，思維也得以深入。

這次的同課異構源于學生課堂的一次出錯，經過第二次重新建構的設計，教學效果有所提升，學生的思維水平有所提高。看來，抓住學生錯誤的原因，利用學生錯誤的資源，不僅能給數學課堂帶來生機活力，而且能促進學生的思維深入發展。

【參考文獻】

中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：8.