基于深度學習的初中數學建模探究
——以“二次函數圖像中線段和差最值的存在性問題”教學設計為例

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初中數學建模學習是指在理解的基礎上建立數學模型，類比遷移，運用數學模型批判地學習新思想、分析事實，并將新知識融入原有的認知結構中，進而提升學習層次和探究能力。

初中數學建模教學的一般思路是“提出問題——分析問題——選擇模型——建立模型——得出結論”，以問題的探究為主要目標，引導學生學會大膽質疑、思想碰撞，產生火花，從而讓學生思考得更深刻，有效提升學生思維的廣度和深度。筆者以“二次函數圖像中線段和差最值的存在性問題”教學設計為例進行了實踐性的思考與總結，談談教學設計中的深度學習應呈現出什么樣的狀態，教學設計在建模學習的過程中能夠發揮什么樣的作用，建模學習是如何幫助學生進行深度學習的，請同行指正。

學習目標要求本課內容為九年級數學復習課“二次函數圖像中線段和差最值的存在性問題”，要求學生能通過對具體問題的分析，體會函數變量之間的變化關系，探究發現幾何中線段和差最值的轉化與建模途徑，培養學生綜合運用知識解決二次函數的相關問題的能力。

一、提出問題

提出要探究的問題，引導學生尋找解決問題的數學模型，設計具有挑戰性的問題，培養幾何直觀、運算與推理能力，建構知識，生成能力，遷移方法。

教學活動1探究下列問題，畫出對應的幾何模型

問題1拋物線y=2x2-12x+16與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D。點P是該拋物線對稱軸上的一個動點，要使得△PAC的周長最小，求點P坐標。

解析：如圖1，連接BC，交直線x=3于點P，根據對稱性有PA=PB，求出直線B C的表達式為y=-4x+16，∴點P（3，4）。

圖1

【設計意圖】找出點A關于直線x=3的對稱點B，連接CB，依據“兩點之間線段最短”揭示此類求線段和最小值題目的本質特征，為學生解決后續問題鋪設臺階，有效提升學生識圖建模能力。

二、變式探究

在不改變知識本質特征的前提下，變換其非本質特征，引導學生在動態變化的情境中強化對本質特征的理解，將已有的知識遷移到動態的情境中，理解數學模型的價值，探究真問題，拓展數學思維的深度和廣度。

教學活動2 梳理數學模型，尋求問題1和變式問題的內在聯系

變式1拋物線y=2x2-12x+16與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D。拋物線上有一點E，E的橫坐標為5，點F（m，0）是x軸上的一個動點，當F C+E F的值最小時，求m的值。

解析：如圖2，作點E關于x軸的對稱點E′，連接C E′交x軸于點F，求得直線C E′的表達式為根據兩點間線段最短，F C+E F=FC+E′F=CE′，此時F C+EF的值最小

圖2

變式2拋物線y=2x2-12x+16與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D，點G(0，n)是y軸上的一個動點，求線段GD與G A中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應的n的值。

解析：如圖3，當A、G、D三點共 線 時，|GD-GA|=AD，求得直線A D的表達式為y=-2x+4，此時G(0，4)，∴n=4。當G′D-G′A=0，即G′D=G′A時，|GD-G A|有最小值為0。此時AD的垂直平分線G′E的表達式為

圖3

變式3拋物線y=2x2-12x+16與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D，K是O C中點。一個動點Q從K點出發，先經過x軸上的M點，再經過拋物線對稱軸上的點N，然后返回到C，如果動點Q走過的路程最短，請找出點M、N位置，并求出最短路程。

解析：如圖4，根據對稱性分別找出點K、點C的對稱點K′、C′，再連接K′C′，分別交x軸于點M，交直線x=3于點N，動點Q的最短路程為S=KM+M N+CN=K′M+M N+C′N′，∴S=K′C′。可 求 出C′(6,16)，K′(0,-8)，∴最 短 路 程S=

圖4

【設計意圖】以上問題及變式，強化了學生對數學模型的認識、積累。學生通過尋找對稱點，求解線段和、差最值問題，掌握方法與策略，再通過變式訓練，便真正能知其然，更能知其所以然。學生經歷化繁為簡、轉難為易的深度思考，學會在新情境中運用新結論解決問題，深度學習的雛形初現。

三、拓展提升

設計思維清晰的系列問題，引導學生感知求解方法是建立在數學模型基礎上的。通過對比上述建模解題的方法，積累經驗，引發學生深入思考，真正將其內化，實現由低階思維走向高階思維。

教學活動3 體驗建構過程，挑戰新問題

問題2如圖5，已知一條直線與拋物線y=相交于A、B兩點，其中點A、B的橫坐標分別是-2、8。

圖5

（1）求這條直線的函數表達式；

（2）如圖6，設直線AB分別與x軸、y軸交于點D、E，F為OD的中點，將線段O F順時針旋轉得到O F′，旋轉角α(0°＜α＜90°)，連接D F′，EF′，求的最小值。

圖6

解析：（1）求出點A、B的坐標為點A(-2，1)，B(8，16)，直線AB的表達式為

又∠F′O G=∠E OF′，∴△OF′G∽ΔO E F′，有F′G=當D、F′、G三點共線時，的值最小

【設計意圖】拓展深化一類數學問題，引導學生明晰數學方法的多樣性，體驗利用構造相似三角形的手段，巧妙轉化線段的長度，類比遷移，優化求解線段和最小值的方法。學生經歷建模轉化的過程，體會其中的數學思想方法，形成數學的思維方式。

四、延伸升華

真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，得到必要的數學思維訓練，獲得廣泛的數學活動經驗，深入思考問題本質，讓深層次思考成為建模探究的必然之需。

教學活動4 理解模型，感悟思想

問題3如圖7，已知一次函數y=x+3的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x2+bx+c過A、B兩點，且與x軸交于另一點C。

圖7

（1）求b、c的值；

（2）如圖7，點D為AC的中點，點E在線段B D上，且BE=2ED，連接CE并延長交拋物線于點M，求點M的坐標；

（3）將直線AB繞著點A按逆時針方向旋轉15°后交y軸于點G，連接C G，如圖8，P為△A O G內一點，連接P A、PC、PG，分別以AP、AG為邊在它們的左側作等邊三角形APR、等邊三角形AGQ，連接Q R。

圖8

①求證：P G=RQ；

②求PA+P C+PG最小值。

解析：（1）b=-2，c=3；（2）直線C E的表達式為；（3）連接C Q，PA+P C+PG=P C+PR+QR≥C Q，∴當C、P、R、Q四點共線時，P A+P C+P G有最小值。求得

【設計意圖】問題3為學生提供多角度、多層次的探究空間，從繞旋的角度發現△PAG≌△R A Q，將問題2的解法自然遷移至此，類比探究方法，教學設計環環相扣，層次分明，思維訓練指向核心問題。

五、教后反思

1.建模構造，積累策略。

合作式建模學習方式，能促使學生集思廣益，找到解決問題的最優策略。本課例以一個二次函數最值問題為中心，讓學生在教師設置的變式問題的引導下，建構基本幾何模型，依靠已有的知識經驗和思維實踐活動主動地解決問題，以達到培養學生發現問題、養成探究的習慣與態度的目的。

2.分解模型，正向遷移。

將要解決的問題抽象分解出基本模型，從而得到解決問題的方法。如何破題，如何分享解題思路，有幾種解題方法，其中蘊含的數學思想方法是什么，題目的易錯點在哪里等。在分解模型的過程中，引導學生學會對重點問題、難點問題深入思考，充分打開思維，對問題進行深度剖析。通過一題多解、多題一解，學生的思維充分碰撞，閃現出創造的火花，創新意識、歸納總結能力得到有效提升，知識網絡得到有效建構，學會思考、表達、耐心傾聽，處理信息和反思評價的能力得到提高，思考也向縱深發展。

3.強化意識，提升素養。

倡導獨立思考后的小組合作，采用“完整經歷數學模型的抽象過程”，積累二次函數背景下線段和差最值問題的學習經驗，能強化學生的模型意識。在建模活動完成后，教師要引導學生進行總結，將數學模型內化，成為自己解決問題的一種方法。了解和經歷解決實際問題的全過程，促進模型思想的滲透。

“學的真諦在于悟”，通過變式拓展問題，解析數學模型，深度學習，解決真問題，揭示線段和差的最值求法的內在規律。問題情境變化了，但幾何圖形的基本性質和解決問題的方法沒有變化。學生在發現、辨析、反思中領悟數學模型的認知策略，提升學習數學的能力。