巧設(shè)問題，讓思維在課堂教學(xué)中自然生成
——以蘇科版數(shù)學(xué)九年級下冊“二次函數(shù)與一元二次方程”為例

■任 蕾

數(shù)學(xué)是思維活動的學(xué)科，如果數(shù)學(xué)課堂只是追求知識的獲取，而忽視思維發(fā)展這一核心，無疑是舍本求末。2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單獨地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。”而思維訓(xùn)練與發(fā)展往往需要借助情境、通過問題的提出和解決，讓學(xué)生主動探究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。下面筆者以蘇科版教學(xué)九年級下冊“二次函數(shù)與一元二次方程”的教學(xué)為例，探討以問題驅(qū)動促進學(xué)生思考，通過類比等途徑的探索發(fā)展學(xué)生的思維能力，促進數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成。

一、教材與學(xué)情簡析

1.教材分析：本節(jié)課是在學(xué)生了解了一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程組之后，通過探討二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，再次展示函數(shù)與方程之間的聯(lián)系。理解二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)和一元二次方程的根的關(guān)系，理解一元二次方程的根的個數(shù)和二次函數(shù)的圖像與x軸的交點個數(shù)之間的關(guān)系。這樣的安排一方面可以強化學(xué)生對一元二次方程的認(rèn)識，另一方面可以運用二次函數(shù)解決一元二次方程的有關(guān)問題，為后續(xù)學(xué)習(xí)實際問題與二次函數(shù)相關(guān)知識做好鋪墊，起著承上啟下的作用。利用函數(shù)圖像研究方程的根，是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的重要途徑。

2.學(xué)情分析：在八年級下學(xué)期相關(guān)課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過一次函數(shù)與方程、不等式的學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步建立方程模型與函數(shù)模型的聯(lián)系。在九年級上學(xué)期相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)分別學(xué)習(xí)了一元二次方程、二次函數(shù)，知道它們都是刻畫現(xiàn)實問題中數(shù)量關(guān)系的重要模型，但沒有建立這些知識之間的有效聯(lián)系。同時，二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系看似簡單，但想要用簡潔的語言歸納出來并非易事。

3.制訂目標(biāo)：基于上述分析，本課所要學(xué)習(xí)的二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系可以利用類比的方法，讓學(xué)生在問題探究的基礎(chǔ)上進行合作學(xué)習(xí)。這樣處理可以讓學(xué)生在經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程中培養(yǎng)探索能力和創(chuàng)新精神。因此，筆者制訂如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）會用對立統(tǒng)一的辯證觀點，把一元二次方程ax2+bx+c=0的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+b x+c的相關(guān)問題，經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程；（2）能根據(jù)二次函數(shù)圖像與x軸的位置關(guān)系判斷相應(yīng)的一元二次方程的根的有關(guān)問題；（3）通過探索函數(shù)與方程的關(guān)系，感受“數(shù)形結(jié)合”思想，培養(yǎng)從特殊到一般、從靜態(tài)到動態(tài)以及類比推理的探究能力和創(chuàng)新精神。

學(xué)習(xí)重點：經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系。

學(xué)習(xí)難點：體會函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合的思想方法，學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題。

基于上述對本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容與學(xué)情的分析，筆者對本節(jié)課進行了優(yōu)化設(shè)計。

二、教學(xué)過程摘錄

1.尋求生長點，讓問題自然發(fā)生。

教師：對于方程x+2=0，你能求出它的解嗎？你能從“形”的角度解釋這個方程的根的意義嗎？

學(xué)生：……

教師：“形”一般指的是圖形、圖像。說到圖像，我們會聯(lián)想到某一個函數(shù)，那么看到這個方程，大家會聯(lián)想到哪個函數(shù)呢？我們又該如何從“形”的角度來解釋這個方程的根的意義呢？

學(xué)生1：我聯(lián)想到一次函數(shù)y=x+2，方程x+2=0的根就是一次函數(shù)y=x+2的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)。

教師：太棒了！我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一次函數(shù)與一元一次方程之間存在著緊密的聯(lián)系，這是我們在之前學(xué)習(xí)中獲得的經(jīng)驗，它能否給我們現(xiàn)在的學(xué)習(xí)帶來新的思維火花呢？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)，那么我們還可以探究二次函數(shù)哪方面的內(nèi)容呢？

學(xué)生2：我們可以研究二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。

教師：是的，我們今天就一起來研究二次函數(shù)與一元二次方程。

【設(shè)計意圖】通過已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，類比啟發(fā)新的思維。即通過復(fù)習(xí)一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，從而啟發(fā)學(xué)生類比二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。教師給出一元一次方程，而沒有直接給出一次函數(shù)，目的是激活學(xué)生已有的解決問題的經(jīng)驗，從學(xué)生的知識起點出發(fā)，巧妙誘發(fā)學(xué)生自覺想、主動問的思維方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能。

2.問題探究，讓難點自然解決。

教師：二次函數(shù)與一元二次方程之間到底存在什么樣的聯(lián)系呢？同學(xué)們能否大膽猜想呢？

學(xué)生3：我猜想一元二次方程的根是二次函數(shù)圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)。

教師：你是怎么產(chǎn)生這樣的想法的呢？

學(xué)生3：根據(jù)一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系類比猜想出來的。

……

教師：請同學(xué)們以如下三個函數(shù)為例驗證一下。

學(xué)生覺得都是成立的。然后教師引導(dǎo)學(xué)生對結(jié)論一般化，得出如下結(jié)論：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、沒有交點。當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸有交點時，交點的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0時自變量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

【設(shè)計意圖】教師提出了一個巧妙的問題，引發(fā)學(xué)生思考、回答，再通過追問，讓學(xué)生通過類比猜想、探究與驗證，進行深入思考，獲得了一個二次函數(shù)的圖像與一元二次方程根的關(guān)系的重要結(jié)論。

3.知識遷移，讓能力自然提升。

教師：對于方程x2+2x-3=-4，你能不解方程直接說出它的根嗎？

學(xué)生4：從二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖像與直線y=-4的交點的橫坐標(biāo)，看出方程的解是x1=x2=-1。

教師：已知函數(shù)y=x2+2x-3的圖像，你能設(shè)計一些問題嗎？

學(xué)生5：可以設(shè)計問題為，已知方程x2+2x-3=-5，你能不解方程直接說出它的根嗎？

學(xué)生6：函數(shù)y=x2+2x-3的圖像與直線y=-5沒有交點，所以此方程無實數(shù)根。

教師：能否將這個問題一般化？對于方程x2+2x-3=k，如果方程有實數(shù)根，k的取值范圍是什么？

學(xué)生7：因為函數(shù)圖像與直線y=-4只有一個公共點，直線y=-4以下的直線與拋物線都沒有公共點，所以k≥-4。

教師：如果直線與x軸不平行，那么它與拋物線的交點問題怎么解決呢？

學(xué)生8：把直線的函數(shù)表達(dá)式與拋物線的函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立方程組，解出這個方程組，就可以得出交點的橫坐標(biāo)。

教師：很棒！有了這個經(jīng)驗，以后我們還可以解決二次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的交點、二次函數(shù)圖像與二次函數(shù)圖像的公共點等一系列問題啦！

【設(shè)計意圖】從方程x2+2x-3=-4到方程x2+2x-3=k，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的過程，學(xué)會用運動的眼光看待問題。學(xué)生學(xué)會尋找變化中的不變量，即函數(shù)圖像與直線的交點情況。筆者在這里設(shè)計開放性問題，預(yù)設(shè)學(xué)生能類比遷移剛剛學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，自主發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析并解決問題，使學(xué)生的探究能力得到發(fā)展。最后，筆者再拓展到二次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的交點等一系列問題，體現(xiàn)整體教學(xué)觀，突破單個知識點的教學(xué)邊界，讓思維一以貫之，體現(xiàn)自然延續(xù)與生長。

三、教學(xué)思考與感悟

1.對課堂引入的冷思考。

一節(jié)課的序曲首先表現(xiàn)在導(dǎo)入情境的創(chuàng)設(shè)上。美國心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，在教學(xué)過程中，教師的作用是要形成一種使學(xué)生能夠獨立探究的情境，而不是提供現(xiàn)成的知識。對于本節(jié)課的情境，教師通常是先給出一個二次函數(shù)，請學(xué)生畫圖像并說出圖像與x軸的交點坐標(biāo)，再給出一個一元二次方程，請學(xué)生求出方程的解。隨后，教師請學(xué)生說出圖像與x軸的交點坐標(biāo)與相應(yīng)的方程的解之間的關(guān)系。這樣的設(shè)計刪去了細(xì)枝末節(jié)，直奔主題，看似簡潔高效，實則忽視了數(shù)學(xué)課堂的一個重要價值——培養(yǎng)學(xué)生的探究能力。教師越俎代庖，把要研究的對象直接明了地告知學(xué)生，學(xué)生的思維被一下子框定在預(yù)設(shè)范圍之內(nèi)，被教師牽著鼻子走。因此，把思維訓(xùn)練的機會還給學(xué)生，顯得尤為重要?；诖?，需要改變學(xué)習(xí)方式，尋找教學(xué)突破口，從學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗入手。章建躍博士說：“研究對象在變，‘研究套路’不變，思想方法不變，這就是數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的力量?！被谶@一思考，筆者通過聊天的方式把學(xué)生的思緒拉到了對一次函數(shù)與一元一次方程相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容的認(rèn)知當(dāng)中，通過已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，類比啟發(fā)新的思維，也激發(fā)了學(xué)生的求知欲。這樣的設(shè)計看似比傳統(tǒng)教學(xué)“浪費”時間，但從長遠(yuǎn)角度看，以“慢”促思，發(fā)展學(xué)生的思維，花這個時間是值得的。

2.對真實自主探究的再認(rèn)識。

自古以來，數(shù)學(xué)問題的提出和解決是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的重要力量。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生能自發(fā)地提出一個有價值的問題是難能可貴的?！鞍l(fā)現(xiàn)問題”和“提出問題”能力的培養(yǎng)是課堂教學(xué)的重中之重，也是提升思維的重要途徑。只有教師有意識地沿著學(xué)生的思維軌跡去因勢利導(dǎo)，學(xué)生才能于平常的課堂學(xué)習(xí)中體悟到數(shù)學(xué)思維的方法與魅力。面對“一元二次方程的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)”這一結(jié)論，傳統(tǒng)教學(xué)中教師大多直接引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)的圖像和相應(yīng)的一元二次方程的根，學(xué)生迅速得知結(jié)論，贏得更多的時間進行相關(guān)練習(xí)。這樣教學(xué)，短期效果是不錯的，但從長遠(yuǎn)來看，學(xué)生失去了自主探究發(fā)現(xiàn)的機會，探究能力難以得到發(fā)展。因此，筆者認(rèn)為教師應(yīng)當(dāng)合理地選擇能激活學(xué)生已有解決問題經(jīng)驗的素材，從學(xué)生的知識起點出發(fā)，巧妙誘發(fā)學(xué)生自覺想、主動問的思維方式，學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能才能得以激發(fā)。教師讓學(xué)生通過自主探究、合作學(xué)習(xí)來主動發(fā)現(xiàn)問題，提出和解決問題，使他們能夠在獨立思考與合作學(xué)習(xí)交流中解決學(xué)習(xí)中的問題，從而學(xué)會學(xué)習(xí)和思考。教師營造了一個思維場，讓學(xué)生的思維活躍、自然擴張。

3.對數(shù)學(xué)思維形成過程的再設(shè)計。

數(shù)學(xué)教育不僅僅是把數(shù)學(xué)知識傳授給學(xué)生，更是通過數(shù)學(xué)教學(xué)讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待問題，用數(shù)學(xué)的思維理性思考問題，促進深度學(xué)習(xí)，這將使學(xué)生終身受益。然而目前的課堂教學(xué)，教師在數(shù)學(xué)思想方法的滲透與傳遞過程中往往缺乏必要的教學(xué)側(cè)重，對教學(xué)重點、難點的思辨大多停留在知識與技能層面，對于“數(shù)學(xué)思考”“問題解決”“情感態(tài)度價值觀”等隱性的更高階的教學(xué)目標(biāo)，往往缺乏必要的輕重權(quán)衡與取舍思辨。數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“學(xué)習(xí)任何東西，最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。”直接告訴學(xué)生知識，可以讓學(xué)生在短時間內(nèi)獲得更多知識，但很難讓學(xué)生得到“如何思考”的智慧。拉長知識形成過程，讓學(xué)生經(jīng)歷“操作—猜想—驗證”的過程，其中，鼓勵學(xué)生大膽猜想，教師及時追問，設(shè)計開放性問題等，都是發(fā)展學(xué)生思維的重要元素，而且讓學(xué)生在“慢”中獲得真實體驗，對學(xué)生而言，這樣的體驗最終將會轉(zhuǎn)化為學(xué)生認(rèn)識世界的智慧?？觳褪降膶W(xué)習(xí)，刪減了問題探究的歷程，制約了學(xué)生的深度思考，阻礙了學(xué)生思維的發(fā)展。

在我們周圍不乏這樣的現(xiàn)象：教師不點不會，一點學(xué)生馬上就恍然大悟。其實這正是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)低、數(shù)學(xué)能力差的表現(xiàn)。要改變這種現(xiàn)象，就需要拉長思維過程，讓學(xué)生自己先想、先做，放手讓他們主動去探究；讓學(xué)生圍繞課堂核心問題不斷自我建構(gòu)，類比遷移已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，分析問題并解決問題，進行深層次思考，不斷提升自己的思維水平。在課堂教學(xué)中，教師要把發(fā)現(xiàn)問題的機會，分析、解決問題的機會讓給學(xué)生，讓他們有足夠的時間去消化與積累，在看似“慢速”的課堂進程中，頓悟式地“快速”感悟數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在適當(dāng)?shù)墓?jié)奏中去體驗數(shù)學(xué)的本真，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的自然生長。