小學生推理能力培養的三個階段

文 唐少雄

《數學課程標準（2011年版）》明確指出：“推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。”推理作為學生數學學習的一個基本能力，受到了空前的重視。早在2001年的實驗版課標中就把“推理能力”列為六個核心詞語之一，2011年版的課標更是賦予“推理能力”全新的解釋，并明確了推理能力的教學價值與目標要求。邏輯推理是高中學生發展的六大核心素養之一，進一步明確了推理能力的學科地位和價值取向。可見，小學數學應把學生推理能力的培養和發展作為教學的出發點和歸宿，貫穿在學生數學學習的全過程。推理是學生學習的基本能力，是學生數學學習的基礎和保障，是重要的學習方法和數學思想，教師應重視學生推理能力的培養和發展。

一、小學生推理能力培養的總體目標

從基本內涵看，邏輯推理是指從一些數學已有的事實和命題出發，依據規則推出其他的事實和命題。一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發，讓學生憑借知識經驗和數學直覺，通過歸納和類比等推斷其他的數學事實；演繹推理是從已有的事實（包括概念、規律和性質等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則加以證明。小學階段以合情推理為主，演繹推理為輔，把對學生推理能力的培養貫穿于學生整個學習過程，在解決實際問題中，這兩種推理經常相輔相成、合二為一。合情推理用于探索思路，蘊含在學生的數學探究中，引導學生在操作中發現結論；演繹推理則用于一些簡單的數學證明。合情推理的基本形式有歸納、類比，是一種從特殊到一般的推理；演繹推理則是從一般到特殊的推理，借助一般的數學事實推導出其特殊性，并加以證明。

《數學課程標準（2011年版）》對學生推理能力的培養有具體明確的目標要求，在第一學段中要著力培養學生“在觀察、操作等活動中，能提出一些簡單的猜想”“會獨立思考問題，表達自己的想法”；第二學段則要“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果”“會獨立思考，體會一些數學的基本思想”。從目標要求看，第一學段重在培養學生的問題意識，能結合數學活動提出猜想，關注學生創造性思維的培養；第二學段重在培養學生的合情推理能力，培養學生良好的思維習慣和創新意識。這就決定了，推理能力的發展具有一定的階段性，每個階段要有明確的目標要求和滲透重點。

二、小學生推理能力培養的三個階段

在教材的編排上，人教版以《數學課程標準（2011年版）》為指導，把推理貫穿學生整個學習活動過程，從一年級上冊就開始有意識地滲透推理。教材的編排思路主要是逐步滲透、螺旋上升，突顯邏輯推理的階段性和發展性，根據學生的年齡特征和思維習慣，人教版教材對邏輯推理的滲透分三個階段，每個階段有明確的目標要求。

第一階段：啟蒙階段。

人教版教材對推理的滲透從一年級上冊就開始了，主要的編排特征是逐步滲透，重在啟發學生學會思考，培養學生良好的思維習慣。如《9 加幾》一課中，由于學生之前已經在《10 的組成》中學會了湊十，而且也學會了連加的計算，這些是學生學習本課的學習基礎，而“湊十法”是本課教學的重點，是正式引入推理的載體。教材以“9＋4”為例，先引導學生擺小棒進行計算，體驗“接著數”的基本方法；接著，引導學生感受“湊十法”，即“9＋1＋3”的過程，這個過程是學生推理的理論基礎，引導學生把4 分成“1＋3”再進行湊十；最后，形成嚴謹的歸納推理（如下圖）。

這是人教版滲透推理的雛形，也是正式引入推理的開始，比較完整地引導學生進行數學思考，學會有理有據地推理。從一般的數學思考“接著數”，到有依據地數學思考“湊十法”，重在引導學生學會思考，促進他們思維的發展，培養良好的思維習慣。像這樣零散的推理在后續的“8、7、6 加幾”“5、4、3、2 加幾”比比皆是，這些數學思維都是“湊十法”的延續和發展，是類比推理思維形式的豐富與發展，到了一年級下冊《20 以內的退位減法》更是“湊十法”的反思與推理，在“想加算減法”的基礎上借助“破十法”進行退位減法，體會一般的歸納推理。一年級下冊“數學廣角”安排了《找規律》一課，奠定了“推理”的基礎地位，讓學生在找規律中體驗歸納與類比的推理過程，感悟推理的基本思想，培養和發展學生的合情推理能力。

第二階段：形成階段。

人教版二年級下冊的“數學廣角”編排了獨立單元“推理”，主要的編排特征是正式引入“推理”，讓學生結合具體的情境，初步學會用推理的思維進行判斷，學會簡單的數學推理，重在感受推理的基本形式，學會有理有據地數學思考，體會推理的應用價值。《推理》一課安排了兩個例題，例1 以小紅、小麗和小剛三人分別拿了語文、數學和品德與生活三本書為情境，讓學生在活動中體會推理的思維形式。

教學中，讓學生學會從信息本身尋找解決問題的突破口，讀懂信息背后蘊含的信息。首先，要從既定的事實出發。“小紅拿的是語文書”這一信息是確定的，可以作為解決問題的突破口，并以此為判斷依據，也可以進一步理解剩下的兩本書分別是數學和品德與生活。其次，要從其他的信息尋求思路。“小麗拿的不是數學書”這一信息背后蘊藏著兩條信息，一是小麗拿的不是數學書，二是剩下數學和品德與生活兩本書，這兩條信息是相互關聯的，是進一步推理的基礎和前提。最后，進行合情推理。剩下的兩本書是數學和品德與生活，因為小麗拿的不是數學書，所以，小麗拿的肯定是品德與生活。那么，剩下一本數學書就是小剛拿的。在看似簡單的推理中蘊含推理的基本形式，讓學生明白簡單推理的思維形式，能確定的要先確定，能排除的要排除，要讀懂信息，還要讀懂信息背后的隱藏信息。同時，在邏輯推理時，要注意適當地抽象，引導學生用形式化的語言表達，如用畫圖、列表等方法幫助學生梳理信息、理解信息，實現更好的推理。

例2 是例1 的豐富和發展，是在稍復雜情境中對信息的甄別與分析，培養學生尋找解決問題的突破口，從推理的角度進行思考和分析。

教材要求在16 宮格中判斷B 是幾，讀懂基本要求“每個數在每行、每列都只出現一次”，因此要引導學生思考：哪一個空格所在的行和列出現了三個不同的數？這樣就把“A 是幾”作為解決問題的關鍵，A所在的行有了2，所在的列有了1 和3，這就有了推理的依據，A 就是4，把能確定的先確定下來。用同樣的推理方式，引導學生思考B 所在的行和列各有哪些數？找到行和列有2、3、4，所以B 應該是1，接下去，讓學生自己嘗試推理其他的空格。教學中，要盡量引導學生學會使用“因為……所以……”“再因為……所以……”的句式表達自己的推理過程，學會有理有據地推理。

在形成階段，教師首先要注重引導學生讀懂信息，發現推理的關鍵信息；其次要尋找突破口，找到最先能確定的既定信息，尋找推理的重要依據；接著，嘗試根據已有的信息合情推理，探尋推理的一般方法；最后，學會用一定的邏輯思維有依據地推理，形成推理的一般表達習慣，學會嚴謹有條理的推理過程，培養良好的思維習慣。

第三階段：發展階段。

人教版教材六年級下冊總復習編排了“數學思考”獨立內容，意在對第二學段所滲透的邏輯推理作梳理、總結和提升，為第三學段的數學探究提供思維基礎和方法保障，培養和發展學生的邏輯推理能力。六年級下冊總復習中的“數學思考”集中安排了四道例題，涵蓋小學階段所涉及的合情推理和演繹推理兩種思維形式（見下表），這四道例題所采用的素材不一樣，呈現的形式也不一樣，但是其教學的內涵是一樣的，都蘊含著推理的思想方法。

例1 找規律 合情推理例2 列表推理演繹推理例3 等量代換例4 簡單的幾何證明

這四道例題的編排思路由易及難、相互關聯、相互補充，完整呈現了小學階段的邏輯推理形式。

例1 的找規律是一年級簡單找規律的高級形式，要求平面上幾個點可以連多少條線段，讓學生從簡單入手通過尋找增加的點數和增加的線段數之間的關系，利用枚舉和數列，尋找蘊含其中的數學規律，推理出點數與線段數之間的關系，是一種典型的合情推理。例2 的列表推理是對二年級推理形式的發展，從簡單的列表推理到復雜情境中的列表推理，讓學生通過列表，逐步縮小與A 同班的人的范圍，最終確認唯一符合要求的人。讓學生在列表推理中不斷排除矛盾、推出必然結果的思維方式，是一種演繹推理。例3的等量代換，在之前的編排中雖有涉及，但不系統，這里結合實例幫助學生理解等量代換時，可以用一個與它相等的量去代替，它是演繹推理的基礎，為第三學段解方程的方法、發展代數思想做準備。例4 是一道經典的用演繹推理來進行證明的幾何題，小學階段的數學沒涉及證明，通過本例題教學可以發展學生的推理能力，積累證明的基本經驗，有利于中小學教學的良好銜接。

在小學的整理和復習階段，安排了以“推理”為主線的這幾個內容，讓學生系統地經歷從特殊到一般的合情推理、從一般到特殊的演繹推理的過程，讓學生在觀察、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，培養學生學會有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果。這樣的編排有利于培養學生學會思考、獨立思考，體會一些數學的基本思想，還有利于培養學生的邏輯思維，結合實例體會推理的應用價值和實踐意義。