抓住本質 邊“破”邊“立”
——《倍的認識》教學實踐與反思

文|倪斌強

在一次和新思維教育科學研究院共同開展的教研活動中，我們連續聽了幾節《倍的認識》，課后感覺到學生學習“倍”有點困難，根本原因在哪里呢？經過與教研員的討論，認識到主要原因有三點。

第一，認識“倍”是學生從“加法結構”到“乘法結構”的一次質的轉化，而認知結構的轉變是學生學習的最大困難。

第二，“倍”在刻畫兩個量的關系時，要從絕對數量的多少比較轉變到相對數量的關系認識，這是很多學生不易想通的地方。

第三，日常的“倍”與數學上的“倍”稍有區別。日常的“倍”，商一般大于1，而數學上的“倍”，商大于、等于或小于1 都可以。

找到了學生學習“倍”的困難之處，教學中應設計哪些有效教學活動來突破學生學習的障礙呢？我們對《倍的認識》進行了重新設計，并進行實踐，取得了較好的效果。

一、初步認識“倍”

1.出示題目。

第一題：說說第一行的△和第二行的○有什么關系？

圖1

生：第一行比第二行少3 個。

生：第二行比第一行多3 個。

師：它們除了相差關系還有什么關系呢？這是我們這節課要研究的內容。

第二題：出示下圖，要求根據前三幅圖的規律，畫出第四幅圖第二行的圖形。

圖2

圖3

圖4

2.反饋交流。

師：說說你是怎么想的。

生：我畫了8 個☆，因為第一行幾個，第二行就比它多幾個。

生：我畫了8 個□，第一行的個數乘2 就是第二行的個數。

師：如果把第一幅圖中第一行三個△看為一份（邊說邊圈），那么第二行有這樣的幾份？

生：2 份！

師：另外幾幅圖，像老師這樣圈一圈，看看是不是都一樣。

（學生動手圈畫）

師：比較這幾幅圖有什么共同點？

生：都是第一行的個數為一份，第二行的個數有這樣的兩份。

師：那我們就可以說：第二行的個數是第一行的2 倍。

師：按“（ ）為一份，（ ）有這樣的（ ）份，（ ）是（ ）的2倍?！闭f一說。

3.提煉。

師：每組圖的東西不一樣，個數也不一樣，為什么都可以說第二行的個數是第一行的2 倍呢？

生：因為都是以第一行的個數為一份，第二行都有這樣的兩份。

師：對啊，不管什么物體，有幾個，只要以第一行為一份，第二行有這樣的兩份，都可以說第二行的個數是第一行的2 倍。

【設計意圖：1.課始出示第一行3 個△和第二行6 個○的圖片，讓學生說說第一行的△和第二行○的關系，學生說出相差關系后，教師引導學生說“除了相差關系還有什么關系呢？”打破學生的認知平衡（相差關系），激發學生學習的興趣（除了相差關系還有什么關系），為“破”加法結構“立”乘法結構做好了準備。2.學生根據前三幅圖畫圖時已初步體會到“倍”的結構，也就是第一行都有一份，第二行都有這樣的兩份。引出“倍”后，再讓學生異中求同——“每組圖東西不一樣，個數也不一樣，為什么都可以說第二行的個數是第一行的2 倍呢？”這樣逐步剝離“倍”的非本質屬性（與是什么物體、個數有幾個無關），顯現倍的本質特征——只要以第一行為一份，第二行有這樣的兩份，都可以說第二行的個數是第一行的2 倍。】

二、著力構建2 倍

1.課件把物體隱去，留下第一行一個圈圈，第二行兩個圈圈。

師：這兩樣比較的東西除了作業紙上的這些，還可以是什么？

生：還可以是鉛筆、書本、男生、女生……

師：個數除了1、2、3、4，還可以是幾個？

生：5、6、7、8……

2.畫一畫。

要求：畫的兩種量，一種量是另一種量的2 倍。并且盡量畫得與眾不同。

3.反饋交流。

（1）出示學生的各種畫法。

（2）比較這些圖：為何都可以說一種物體是另一種物體的2 倍？

4.提煉。

師：只要一種物體的個數為一份，另一種有這樣的兩份，都可以說兩份的物體個數是一份物體個數的2 倍。

師：一份的如果是20 個、50個、100 個，兩份的分別是多少？

師：一份的如果是a 個，那么兩份的有多少個？

生：b 個。

師：很好，能用字母來表示，但b 個能看出有這樣的兩份嗎？

生：不能。

師：那到底怎么表示呢？

生：2 個a。

【設計意圖：1.由于要求畫得不一樣，學生就會存同求異，出現了以第二行為標準量、不工整排等幾種變式情況，也就“破”了一定以第一行為標準量的思維定勢，更好地建立了“2 倍”的模型。然后又進行了異中求同的比較——“為何都可以說一種物體是另一種物體的2 倍”，使學生明白“只要一種物體的個數為一份，另一種有這樣的兩份，都可以說兩份的物體個數是一份物體個數的2 倍”。2.“一份的如果是a 個，那么兩份的有多少個？”嘗試在三年級就滲透用字母表示數，讓學生體會符號的含義。經過實踐，學生完全能夠接受，一開始很多學生會想到用“b”來表示，“但b 個能看出有這樣的兩份嗎？”經教師提醒，有部分學生會想到用“2 個a”來表示，這樣也就突破了低段學生只局限于具體數量的問題，出現了用代數符號表達的“2 倍”概念?！?/p>

三、拓展到幾倍

練習一：第一行△△△。

畫一畫：第二行的△是第一行的3 倍。

師：如果第二行的△是第一行的5 倍、10 倍，又怎么畫？

師：如果是1 倍呢？

練習二：

第一行△△△

第二行△△△△△△

師：第一行如果去掉一個△，第二行還是第一行的2 倍嗎？那是幾倍呢？為什么？

師：第一行如果去掉兩個△，第二行是第一行的幾倍呢？

練習三：

第一行△△△

第二行△△△△△△

師：如果以第二行為一份，第一行是第二行的幾倍呢？

（畫一畫、說一說）

生：半倍。

生：0.5 倍。

師：這幾位同學說得都對，這個我們以后會學到。

小結：如果以第一行的個數為一份，第二行有這樣的幾份，我們就說第二行的個數是第一行的幾倍。

【設計意圖：1.在這個環節有兩個“變”：一是標準量不變，比較量變化（即兩個量之間成正比例關系）。由于對“2 倍”有較為深刻的認識，所以對其他倍數，學生基本沒有問題。在此基礎上，引導學生認識較難理解的“1倍”，由于前期鋪墊充分，學生的理解也水到渠成。二是比較量不變，標準量變化（即兩個量之間成反比例關系）?！暗谝恍腥绻サ粢粋€△，第二行還是第一行的2 倍嗎？那是幾倍呢？為什么？”“第一行如果去掉兩個△，第二行是第一行的幾倍呢？”讓學生感受到比較標準的重要性，潛移默化地滲透反比例關系。在兩個變中尋不變，基于豐富的體驗，建立好“幾倍”的結構。2.第一行3 個△，第二行6 個△。如果以第二行為一份，第一行是第二行的幾倍呢？讓學生打破剛剛形成的商大于或等于1 的幾倍模型，滲透也有可能是不到1 倍的情況，為高段進一步學習分率（分數倍）做好鋪墊?！?/p>

四、變式練習

第一題：

（ ）看作1 份，（ ）有這樣的（ ）份，（ ）是（ ）的（ ）倍。

（ ）看作1 份，（ ）有這樣的（ ）份，（ ）是（ ）的（ ）倍。

空白部分的大小是陰影部分的（ ）倍，整個長條的大小是陰影部分的（ ）倍。

第三題：○○●●○●○○

○○○○●○○○

○的個數是●的（ ）倍。

【設計意圖：課的最后階段，進一步通過變式檢測和提升學生對倍的認識。分三個層次處理：第一題中的兩個量雖然仍上下分開擺放，但需要學生自己辨識誰是標準量，誰是比較量。第二題是融成一行，探討總體和部分之間的倍比關系。第三題是打亂了圖形的排列，需要學生自己概括出兩個量的關系。至第三題，學生完全擺脫了刻板的倍的圖示，建立了抽象的倍的圖式?！?/p>

類似于《倍的認識》這樣的概念起始課，學生數學認知的發生是本質性的躍升。在這樣的課中，學生對概念的理解程度，將深刻影響到后期學生解決問題、創造新知的水平。本節課設計的創新之處在于：一、學生在學習中，不斷經歷“破”與“立”的過程，層層剝離概念的非本質屬性，建立新的數量關系模型。二、處處為學生的后續學習做鋪墊?；凇氨丁钡母拍?，自然地聯系到字母符號意識的滲透、標準量的變化、分數（小數）倍的建立、正反比例的涉及等等。“前有基礎，中有突破，后有發展”是新思維數學的一貫理念，我們一線教師完全可以利用這樣的理念，創造性地組織和改編學習材料，邊破邊立，融通教學，讓概念教學更加扎實有效，真正促進學生數學思維的發展！