理解本質 獲得經驗 發展想象
——《圖形的運動（三）》第一課時重組思考與實踐

文|徐曉良 黃陳辰

20世紀80年代，幾何圖形運動的內容大幅度進入歐美各國的小學數學課程，原因是學生在生活中常常有機會接觸翻轉、平衡、旋轉并積累了有關的經驗。我國在21世紀的數學課程改革中，也將此內容納入到數學課程中。目前在小學中，圖形運動分別有三個內容：軸對稱、平移和旋轉。在編排這塊內容時，按從易到難、螺旋上升的原則進行編排。“旋轉”是人教版五年級下冊第六單元《圖形的運動（三）》中的內容，它是小學階段圖形運動板塊的最后一個學習內容，“旋轉”與對稱、平移相比更抽象，涉及到的要素更多。因此，在實際教學中，旋轉的本質是什么？教師存在哪些困惑？學生學習的難點在哪？單元內容三課時的學習序列怎么安排？通過對這些問題的思考，可以更好地從動態系統角度出發整體重組學習內容。

一、圖形運動（三）旋轉教學的困惑

1.在圖形的運動中，旋轉的本質是什么？

平面圖形有三種基本的運動方式——對稱、平移和旋轉。什么是旋轉？旋轉就是圖形或物體圍繞某一點或軸進行圓周運動。其運動方式的特點是物體上的各點都繞著中心點做圓周運動。旋轉是繞一個定點沿某個方向旋轉了一定的角度，那個定點叫做旋轉中心，旋轉的角度叫做旋轉角。旋轉與旋轉的點、方向、位置和角度有關，旋轉不改變圖形的形狀和大小，改變圖形的位置和方向。在旋轉的過程中，圖形上所有點或線段的旋轉方向相同，旋轉角度相同。值得注意的是旋轉角不一定是一周，也不一定是180°。

2.素材默認中心旋轉，中心點學習如何突破？

在數學素材的選擇上，教材一般多以鐘面或升降桿的旋轉為例題，這兩個素材能形象直觀地刻畫旋轉方向和旋轉角度，學生也能較好地理解與掌握。但教材中提供的素材學生在學習中潛意識里默認了鐘面或升降桿的中心點，所以在探究旋轉中心時常陷入困境，往往只能得到旋轉的兩要素，只能在教師的適時點撥下注意到中心點。而完整描述旋轉以及繪畫圖形旋轉時，中心點其實是第一關鍵要素。所以，如何基于教材創新學習素材，讓學生能整體感知旋轉的三要素，需要深入思考。

3.圖形旋轉類別多，起始課如何安排？

作為第二階段旋轉運動的單元教學，如何把握本單元的重點，既能將旋轉的關鍵三要素在輕松愉悅的氛圍下循序漸進地呈現與鞏固，又能恰當地讓學生進行分層練習，在確保掌握基礎內容的同時讓學有余力的學生進行拓展延伸，這也是教學中需要重點關注的。旋轉所涉及的內容和知識點較多，而對于較復雜的面的旋轉，從常見的直角三角形到任意三角形，進一步探究一般圖形的旋轉。對于四邊形、五邊形等較復雜圖形的旋轉，直角三角形繞銳角頂點的旋轉以及圖形中特殊點的旋轉等問題，是否也需要在第一課時選擇性呈現？

4.操作與想象結合，如何實現新重組？

圖形運動的教學，既要深入認識旋轉現象，也要學會畫出平面圖形旋轉后的圖形，這對學生的思維水平和空間觀念提出了較高的要求。要讓學生會畫旋轉，首先得讓他們會想旋轉。在畫圖前讓學生先進行想象，可以有效提升學生的空間想象能力。課堂上將人教版課本中的例2 和例3 進行獨立板塊教學時，學生的學習處于被動應答狀態，缺乏主動探究意識，學習成效不高。如何適當調整教材編排序列，實現章節內容的重組，將例2 和例3 相融合，將想象與操作、畫圖相結合，提高課堂效率的同時也讓知識點變得更有連貫性，多感官同時參與，從而有效激發學生的學習興趣？

以上教學困惑的破解，需要深入地分析教材，透過教材理解編者的意圖與知識點的本質，更需要找準學生的學習起點，設計學習終點。

二、不同教材分析，給單元重組帶來新啟示

綜合比較五個版本的數學教材后發現《圖形運動——旋轉》分布在不同的年級，涉及知識的側重點有所不同，第一課時的安排也各有差異，詳見表1。

表1 《圖形的運動——旋轉》在各版本中的分布

北師大版分圖形的旋轉（一）和（二）兩節課內容，和人教版一樣，在第一課時中強調對旋轉三要素的理解，強化對線段旋轉的認識，為第二課時面的旋轉打下扎實的基礎。冀教版在第一課時中強調線段的旋轉，認識旋轉方向和角度，關注簡單圖形旋轉90°后的位置。蘇教版將此內容安排在四年級下冊，并在第一課時中呈現線和面的旋轉，將難點放置于三角形的旋轉，課時內容相對密集，對學生的思維能力要求較高。

浙教版中“圖形旋轉”在四年級上冊和四年級下冊的“幾何小天地”單元中對圖形的旋轉進行了分階段、分層次的梯度探究。四年級上冊第一課時通過風車以及簡單圖形的旋轉引導學生觀察旋轉中心及旋轉方向，讓學生對旋轉有了初步的感知。四年級下冊第一課時中不僅需要學生掌握線段的旋轉和平面圖形的旋轉，還在畫線段旋轉和圖形旋轉中都增加了難度，對于線段的旋轉，在角度的設置上除了常規的90°之外，還選擇了學生操作有一定困難的45°和135°，并讓學生畫出線段旋轉時所經過的路線。在圖形旋轉中以長方形旋轉為例，引導學生畫出除中心點之外的其余三個頂點旋轉后的位置后連點成面。這些都對學生的空間想象能力提出了挑戰。

各版本教材都注重從學生熟悉的生活情境和數學情境出發，采用從具體到抽象的方式遵循兒童認知規律，通過動手操作的活動培養空間觀念也強化了描述旋轉時的語言表述。人教版注重培養學生問題解決的能力，蘇教版注重知識技能的獲得，冀教版注重空間觀念的培養，北師大版注重培養空間想象能力和應用意識，浙教版注重思維的訓練。

五個不同版本的教材對比分析后得到新的啟示。

啟示一：圖形的旋轉都將線段作為主要學材。

各版本教材中都關注了線段的旋轉，并以此為基礎，上升至圖形的旋轉。大多數教材以實物研究為主，浙教版教材是直接進行線段旋轉軌跡的探討。怎樣的引入方式能讓學生更好地感悟旋轉要素，并牢固掌握線的旋轉？在對各版本教材的對比及對浙教版的研究中得到啟發，專注線段旋轉，深挖旋轉的三個關鍵要素，通過觀察、操作、探討、比較、總結等方式進行線段旋轉的深入學習，多素材進行強化鞏固，在研究平面圖形的旋轉中自然進行聯想，將圖形進行線段的拆分，突破教學難點。

啟示二：圖形的旋轉落腳點在于線段旋轉。

對比各版本教材，對于圖形的旋轉，人教版是通過先確定旋轉后對應點的位置，再連成三角形的方法畫圖；蘇教版、北師大版和冀教版都是通過先旋轉兩條邊，再連成三角形的途徑作圖；浙教版也是根據線段旋轉的方式畫圖，并以線段旋轉確定對應點的位置。根據以上教材分析以及課堂上學生的解題思路，結合新授課后對學生進行的個別訪談，落腳于線段的旋轉對于學生而言更加直觀，也可以通過用筆或用手比劃的方式輔助理解，降低對于學生思維的挑戰。對于方格圖中特殊點的旋轉，學生更傾向于通過數格子的方法畫出旋轉后線段的位置，再畫出對應點。對應點與對應線段之間可以相互轉化，建立在學生的認知基礎和操作習慣上的教學，更有助于學生理解與掌握。

啟示三：圖形的旋轉需要學生掌握簡單圖形的旋轉。

教材中通過觀察、對比的方式，呈現出旋轉三要素。感悟到旋轉要素后，蘇教版進一步過渡到了簡單圖形的旋轉，針對直角三角形繞直角頂點的旋轉進行了探究，并以長方形繞頂點的旋轉作為鞏固練習，溝通了面的旋轉與線段旋轉之間的聯系，有助于學生思維的拓展和知識的整合；浙教版的教學中也將線和面的旋轉有效結合，深入激活學生思維，發展空間觀念，提高教學成效。合理轉變學習方式，調整教學內容板塊，讓教學素材更貼近學生實際學情，充分發揮學生的學習主動性，進行知識點的整合，將線與面旋轉的融合教學，有助于學生知識的同化和吸收。

啟示四：圖形的旋轉需要從線段到面的深入淺出。

對于面的旋轉，從直角三角形繞直角頂點出發，循序漸進地提升難度。無論是從點的旋轉、線段旋轉的角度出發，將三角形進行有效拆分，還是通過實物操作具體感知后再畫圖，關鍵都在于引導學生發現旋轉前后的共同點，找到對應線段（對應點）之間的關系，化繁為簡進行作圖，將學生潛意識里認為較“難”的知識，轉化為從本質出發可以較“易”操作的問題。在面的旋轉學習過程中，還要注意滲透培養學生的空間想象能力，在想象圖形運動的位置變化過程中，發展空間觀念。對于三角形繞銳角頂點的旋轉，在第一課時中可不作為畫圖必須掌握的內容，通過設計發散性練習，讓學有余力的學生進行創作和突破，展現學生作品的多樣化，體現分層教學。

三、學習起點分析

學生對旋轉有著豐富的生活經驗，也有一定的空間觀念。對本校五年級3 班45 名學生進行前測。兩道前測題，分別是線段的旋轉和鐘面上的旋轉，用時5分鐘。

第一題：畫出線段AB 繞點A 順時針旋轉90°后的線段，學生的正確率是64.4%。從統計結果可知，60%多的學生并不覺得線段的旋轉很困難，可以根據原有知識進行同化。錯誤原因大致可分為以下幾類：1.題意理解不清，不知從何畫起（3 人）；2.旋轉中心點沒有找準（5 人）；3.旋轉方向為逆時針（7 人）；4.旋轉角度為180°（1 人）。

第二題：鐘面上的時針從6:00 到9:00 旋轉了（ ）°；從3:00 到8:00 旋轉了（ ）°；從1:00 到（ ）旋轉了60°，學生的正確率是77.8%。統計分析錯誤原因主要是對于鐘面上一大格是30°理解不到位，無法形成正確的解題思路。

從前測分析發現，基于二年級旋轉現象的初步感知以及圖形運動之平移、軸對稱的進一步深入學習，五年級學生對于旋轉已有了一定的理解，對于旋轉方向和角度的認識比較充分，對于鐘面上旋轉角度的運算只需學生反饋后稍加點撥糾正。所以對于第一課時，可以適當進行課程整合，重組教材結構，融入圖形旋轉的內容，這既是對線段旋轉的運用與升華，也能將線和面的旋轉有效結合，讓學生在課堂中更有收獲。

四、基于知識結構的課時重組路徑

基于對教材和學生的分析，圖形運動——旋轉的教學可以建立在學生已有知識的基礎上，根據其心理特點和已有知識結構，第一課時的主要任務是通過線段旋轉的素材讓學生理解旋轉的三要素，再由線段和指針的旋轉（線的旋轉）上升到三角形的旋轉（面的旋轉），通過自主思考、小組討論等活動，充分發揮學生學習的主動性，學生知識建構的過程由淺入深，循序漸進。

在教學中讓學生想一想、擺一擺、畫一畫、說一說，關注學生對知識的體驗和探索過程，經歷數學知識的生長過程，注重教學的層次性，以直觀教學為主，逐步從形象思維向抽象的空間想象過渡，讓學生主動建構知識，進一步發展學生的空間觀念，也為后續學習圖形的變換打好基礎。重組教材，在例題教學和鞏固練習中巧妙融入數學知識，具體安排見表2。

表2 圖形運動——旋轉的教學重組方案

1.圍繞線段旋轉，做足“旋轉中心”的探究。

從線段的旋轉出發，創設開放性問題情境，故設“中心點”缺失信息，讓學生對于線段順時針旋轉90°后的圖形呈現多樣化答案。根據學生的生成故作疑問，引發學生思考，讓學生大膽質疑為什么同一道問題會有多種答案，激起思維的碰撞。在小組合作探討的氛圍中生生互動，感悟旋轉中心的關鍵作用，避免了生搬鐘面或升降桿旋轉模型時較難生成旋轉中心的局面。

新課伊始，讓學生沉浸在問題的思考中，恰當運用反饋與討論，使教學知識變得“活”起來，在輕松開放的氛圍中激活學生思考，吸引學生的注意力，強調旋轉中心，在對順時針旋轉加以完整描述及對逆時針旋轉加以鞏固練習后，順勢引出旋轉的三要素，通過對數學素材的靈活把握加深學生對旋轉要素的理解性記憶，也為接下來平面圖形的旋轉打下基礎。

2.巧用轉化思想，突破“圖形旋轉”的難點。

旋轉教學中不僅要學生領悟解決問題的方法，培養空間觀念也是非常重要的環節。三角形的旋轉對于學生來說是一大難點，對于平面圖形的旋轉，需要一定的空間想象能力。運用三角尺體驗旋轉不僅能讓學生通過直觀感知了解圖形旋轉后的大致位置與形狀，也在動手操作中豐富了學生的空間想象。

豐富線段旋轉的教學，讓學生有深入的理解，進一步引導學生用畫一畫、擺一擺的方式，合理運用轉化思想，將抽象的內容、較復雜的旋轉過程轉化為線段旋轉的知識，經歷獨立思考、同桌交流、動手操作、全班分享的過程，在觀察、實踐、想象、對比等活動中讓學生不斷體驗、感悟旋轉的要素，積累平面圖形旋轉的經驗，對于提高學生的表達能力，對比分析發散思維，促進空間觀念的發展都起到了推動作用。

3.激活發散思維，體現“圖形運動”的延伸。

圖形的旋轉對學生來說有一定的抽象性，也是體現學生差異的分水嶺。課堂上，關注學生思維的差異性，為不同程度的學生提供學習平臺，引導學生積極思考，拓寬學習思路，提升空間觀念也是需要滲透與加強的。開放性問題的設計，既可以激發學生的學習興趣，從學生的實際出發，起到復習鞏固新授知識的作用，又可以為思維敏捷的學生提供契機，聯想到繞銳角頂點的旋轉。

開放題的設計，讓學生對旋轉三要素進行靈活變更，發散學生的思維，提升問題的挑戰性。對于設計作品分享環節，在學生理解并能精準表述圖形旋轉的基礎上，既可以讓原創作者講述具體畫圖的過程，進一步深化對線段旋轉的運用，也可以請看懂的學生進行闡釋，起到輻射帶動作用，讓更多的學生參與到討論的氛圍中，深化對圖形運動的拓展延伸，讓課堂更有深度，耐人尋味。