化靜為動 動中思變 變中求聯(lián)
——《數(shù)對的變化特征》教學

文|朱曙光 高鵬飛

【教學內(nèi)容】

人教版五年級上冊“用數(shù)對表示物體位置”的拓展。

【課前慎思】

在一次練習參閱時，發(fā)現(xiàn)下圖的題目很有研究價值，既可以作為“位置”單元的復習，又可以用來拓展“數(shù)對”的知識。該題目體現(xiàn)了“解決問題教學重要的是基于學習材料，挖掘?qū)W習線索，引導學生經(jīng)歷探索、解決、拓展的問題研究全過程，幫助他們建構(gòu)完整的知識脈絡(luò)，促進數(shù)學知識的理解走向通透和高階思維的系統(tǒng)發(fā)展。”的意蘊。讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)對的變化特征，能用符號表示一條直線上數(shù)對的關(guān)系，感悟函數(shù)思想是本課的要點。基于此，筆者進行了嘗試。

【課中深思】

一、前置反饋，初步感知

師：課前，我們一起完成了“數(shù)對”的前置性作業(yè)，請同學們來說一說你們的想法。（出示部分學生的作業(yè)）

生：第一題：直線l 上的點可以用（1，2）（2，2）（3，2）等數(shù)對來表示，我發(fā)現(xiàn)這些點都在第2 行，列不確定。所以這些點可以用數(shù)對（a，2）來表示。

生：第二題：直線l′上的點可以用（1，5）（2，5）（3，5）等數(shù)對來表示，我發(fā)現(xiàn)這些點都在第5 行，列不確定。所以這些點可以用數(shù)對（a，5）來表示。

生：直線l 向上平移3 格，對應(yīng)點列不變，行加3。

生：這些直線上的點都是行一定，列不定。

【設(shè)計意圖：從簡單的水平直線入手，復習用數(shù)對表示點的位置，并經(jīng)過向上平移3 格來體會列不變、行加3 的規(guī)律。并能在行一定時，會用（a，2）（a，5）等數(shù)對表示平移前和平移后直線上的所有點。】

二、遷移類推，橫縱對比

師：如果將直線l 繞點A（2，2）旋轉(zhuǎn)90°，那么新直線的點怎么用一個數(shù)對來表示？

生：這條直線上的點都在第2 列，行不確定，用數(shù)對（2，a）來表示。

師：如果將這條直線向右平移3 格呢？

生：列加3，用數(shù)對（5，a）表示。

生：不管向左還是向右平移，這些直線上點的列一定，行不定。

師：與水平方向的直線相比，這些直線有什么不同？

生：水平方向直線上的點行一定，列不定；豎縱方向直線上的點列一定，行不定。

【設(shè)計意圖：從水平方向的直線延伸到豎縱方向的直線，并經(jīng)過向右平移3 格來體會行不定、列加3的規(guī)律，不管向左還是向右平移，豎縱方向直線上的點列一定，可用（2，a）（5，a）等數(shù)對表示，為后續(xù)學習做鋪墊。】

三、動態(tài)變換，變中求聯(lián)

1.一“轉(zhuǎn)”，用數(shù)對表示點的規(guī)律。

師：再把直線繞點（2，2）順時針旋轉(zhuǎn)45°，這條直線上的點還能用數(shù)對表示嗎？

生：（1，1）（2，2）（3，3）……

生：這些點所表示數(shù)對的行和列都相等，用（a，a）表示。

生：如果這個點在第a 行，那么一定也在第a 列。

【設(shè)計意圖：找點，標數(shù)對，并研究數(shù)對的特征，鍛煉學生的觀察、歸納能力。用一個數(shù)對表示所有點，對學生提出了更高的概括要求，促進學生的思考。】

2.二“升”，用數(shù)對表示線的變化。

師：如果把這條直線向上平移3 格，你打算怎么畫？

（學生匯報，教師將學生的反饋匯總?cè)氡砀瘢?/p>

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師：觀察表格，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：將直線向上平移幾格，對應(yīng)點的行就加幾，但列不變。

師：原因是什么？

生：因為直線只向上平移，所以列不變，行增加。

師：如果向上平移n 格呢？

生：列不變，行加n，這條直線上的點可以用數(shù)對（a，a+n）表示。

【設(shè)計意圖：通過畫圖指導，突破難點。先由學生自主確定向上平移的格數(shù)，再確定任意兩點向上平移后的位置，由這兩點確定一條直線。最后，標出三個點平移前、后的數(shù)對，觀察變化，找到規(guī)律。】

3.三“移”，整體感知數(shù)對的變化。

師：我們通過小組合作發(fā)現(xiàn)一條直線向上平移后相應(yīng)點的變化規(guī)律，如果把這條直線向下、向左、向右平移，又會有什么規(guī)律呢？我們來大膽猜想一下。（根據(jù)學生的回答板書）

師：是否果真如此，讓我們一起來驗證吧。算一算，填一填，畫一畫。

任務(wù)三：開放探究，驗證猜想。起始點 向（ ）平移（ ）格 （ ）格 （ ）格 …… n 格A（ ，）A1（ ，）A2（ ，）A3（ ，）…… An（ ，）B（ ，）B1（ ，）B2（ ，）B3（ ，）…… Bn（ ，）C（ ，）C1（ ，）C2（ ，）C3（ ，）…… Cn（ ，）…… …… …… …… …… ……（a，a）結(jié)論：

生：我們組研究的是直線向下平移，起始點是A（4，4）、B（5，5）、C（6，6），在平移的過程中列不變，行變化：向下平移1 格，行減1；向下平移2 格，行減2；向下平移3 格，行減3……向下平移n 格，行減n。

起始點向（下）平移（1）格 （2）格 （3）格 …… n 格A（4，4）A1（4，3）A2（4，2）A3（4，1）…… An（4，4-n）

B（5，5）B1（5，4）B2（5，3）B3（5，2）…… Bn（5，5-n）C（6，6）C1（6，5）C2（6，4）C3（6，3）…… Cn（6，6-n）…… …… …… …… …… ……（a，a）（a，a-1）（a，a-2）（a，a-3）…… （a，a-n）

生：我們組研究的是直線向左平移，起始點是A（5，5）、B（7，7）、C（9，9），在平移的過程中行不變，列變化：向左平移1 格，列減1；向左平移2 格，列減2；向左平移3 格，列減3……向左平移n 格，列減n。

向（左）平移（1）格 （2）格 （3）格 …… n 格A（5，5）A1（4，5）A2（3，5）A3（2，5）…… An（5-n，5）B（7，7）B1（6，7）B2（5，7）B3（4，7）…… Bn（7-n，7）C（9，9）C1（8，9）C2（7，9）C3（6，9）…… Cn（9-n，9）…… …… …… …… …… ……（a，a）（a-1，a）（a-2，a）（a-3，a）…… （a-n，a）起始點

生：我們組研究的是直線向右平移，起始點是A（1，1）、B（2，2）、C（3，3），在平移的過程中行不變，列變化，向右平移1 格，列加1；向右平移2 格，列加2；向右平移3 格，列加3……向右平移n 格，列加n。

向（右）平移（1）格 （2）格 （3）格 …… n 格A（1，1）A1（2，1）A2（3，1）A3（4，1）…… An（1+n，1）B（2，2）B1（3，2）B2（4，2）B3（5，2）…… Bn（2+n，2）C（3，3）C1（4，3）C2（5，3）C3（6，3）…… Cn（3+n，3）…… …… …… …… …… ……（a，a）（a+1，a）（a+2，a）（a+3，a）…… （a+n，a）起始點

小結(jié)：大家的分享都很優(yōu)秀，如果直線向上或向下平移n 格，相對應(yīng)點的列不變，行對應(yīng)加n 或減n；如果直線向左或向右平移n 格，相對應(yīng)點的行不變，列對應(yīng)減n 或加n。

師：如果一個點是（1，1），向左平移3 格后的對應(yīng)點是？向下平移3 格后呢？

生：向左平移3 格是（-2，1），向下平移3 格是（1，-2），但畫不了。

【設(shè)計意圖：在完成任務(wù)二的基礎(chǔ)上，提出更加開放的研究任務(wù)。學生自主選擇向下、向左或向右平移，經(jīng)歷猜想、驗證、結(jié)論的過程。匯報時，在不同組呈現(xiàn)不同方向平移的研究過程中，教師適時提出原數(shù)對格子圖不夠用，可以向左和向下拓展，就由第一象限拓展到第二、三、四象限，為后續(xù)的學習奠定了基礎(chǔ)。】

四、基于拓展，文化滲透

師：如果把直線向下平移5 格，你能說出點（2，2）所對應(yīng)的點的位置嗎？如果向左平移5 格呢？

生：是（2，-3）和（-3，2）。

師：想象一下，這兩個點分別在哪里？你能用一個數(shù)對表示它們所在直線上的所有點嗎？

生：在這個數(shù)對圖的下面和左面。（如下圖）

生：（a，a－5）和（a－5，a）。

師：看來數(shù)對所表示的點不僅僅在這個區(qū)域，它還可以在這、在這……我們的這個發(fā)現(xiàn)和著名數(shù)學家笛卡爾是一樣的，他當時就是從一個蜘蛛網(wǎng)想到了這個問題。（課件出示下圖）所以，數(shù)學來源于生活，關(guān)于數(shù)對的知識還有很多，我們以后會繼續(xù)研究。

【設(shè)計意圖：從第一象限拓展到第二、三、四象限，便于和之后學習“平面直角坐標系”的知識相銜接。】

五、回顧總結(jié)，反思提升

1.全課總結(jié)：說一說，這節(jié)課我們學習了什么？我們是怎么進行研究的？

（通過全課總結(jié)，形成板書）

2.課外探究：在坐標上任意畫一條直線，用一個數(shù)對表示線上的點；將直線上、下、左、右平移若干個單位后，這些點有什么變化？

【設(shè)計意圖：通過回顧與總結(jié)，提煉出從特殊到一般的數(shù)學學習方法；對所學知識進行建構(gòu)，加深印象，促進理解內(nèi)化，同時也是對學生反思能力的提升；將探究延伸到課后，研究其他的直線，拓展思維。】