環(huán)形缺口小沖桿試樣結(jié)合內(nèi)聚力模型提取斷裂韌性參數(shù)

張 宇， 劉海亭， 翁 琳， 沈 耀

(上海交通大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院, 上海 201100)

在高溫高壓或者輻照的惡劣環(huán)境下，材料長期服役會導(dǎo)致其力學(xué)性能退化，容易引發(fā)事故[1].對于核電設(shè)備材料而言，輻照后組織和性能的均勻性顯著降低，如果韌性不足則會造成斷裂[2].所以從安全以及經(jīng)濟(jì)效益方面考慮，評價在役設(shè)備和輻照材料的斷裂韌性至關(guān)重要.常見的斷裂韌性指標(biāo)為臨界應(yīng)力強(qiáng)度因子KIC或斷裂韌度JIC，可通過常規(guī)力學(xué)性能試驗(yàn)獲得.然而，某些在役設(shè)備和輻照材料取樣條件有限，無法滿足常規(guī)試驗(yàn)樣品的尺寸要求[3]，因此需要采用小樣品外推獲取.小沖桿測試作為小樣品技術(shù)的一種，最早由Baik等[4]提出，它有著近乎無損取樣、耗材少等優(yōu)點(diǎn)[5]，可以在任何承壓設(shè)備的表面取樣，且無需對設(shè)備進(jìn)行修補(bǔ)，彌補(bǔ)了常規(guī)力學(xué)性能試驗(yàn)因材料不足而無法進(jìn)行的缺陷.起初，小沖桿測試技術(shù)用于核反應(yīng)堆殼體材料輻照后的脆化評定，大幅度節(jié)省了輻照樣品的取樣量.到20世紀(jì)90年代，小沖桿測試技術(shù)開始應(yīng)用到各個工程領(lǐng)域，可以用來評估材料的屈服強(qiáng)度、抗拉強(qiáng)度以及斷裂韌性等力學(xué)性能，這對在役設(shè)備的剩余壽命預(yù)測有著重要意義.

基于小沖桿試驗(yàn)提取材料斷裂韌性的主要方法主要有經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)法[6]、應(yīng)變能密度法[7]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[8]以及反向有限元法[9].經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)法對一系列小沖桿試驗(yàn)和標(biāo)準(zhǔn)斷裂韌性試驗(yàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，建立兩者之間的關(guān)系.但關(guān)聯(lián)公式因人而異，受試驗(yàn)設(shè)備、試樣類型和尺寸的影響很大.應(yīng)變能密度法最早由Petersen等[10]提出，他們將應(yīng)變能密度定義為應(yīng)力應(yīng)變曲線下的面積，啟裂點(diǎn)處的值對應(yīng)為臨界應(yīng)變能密度.當(dāng)裂尖附近最小應(yīng)變能密度超過臨界值時，裂紋發(fā)生擴(kuò)展[11]，但是該方法的啟裂點(diǎn)確定比較困難.人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法需預(yù)先構(gòu)造一個包含很多材料參數(shù)及其對應(yīng)有限元模擬結(jié)果的數(shù)據(jù)庫，再利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過試驗(yàn)結(jié)果從數(shù)據(jù)庫中找出相匹配的材料參數(shù).該方法雖然準(zhǔn)確度高，但前期準(zhǔn)備工作量大，訓(xùn)練過程復(fù)雜.反向有限元法基于某種回歸算法調(diào)整模型材料參數(shù)，使模擬曲線逐漸逼近試驗(yàn)結(jié)果，當(dāng)兩者之間的差別滿足設(shè)置的精度要求時，便可獲取材料參數(shù).與前3種方法相比，反向有限元法有著更高的精度，且實(shí)現(xiàn)過程相對容易.Yang等[12]采用基于黃金分割搜索算法的反向有限元方法提取材料參數(shù)，很好地預(yù)測了材料的屈服應(yīng)力和硬化指數(shù).但是想要預(yù)測材料的斷裂性能，還需對算法進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化.

采用反向有限元法提取材料的斷裂韌性需要引入具體的損傷模型.目前比較常見的損傷模型有GTN模型和內(nèi)聚力模型.GTN模型是最初由Gurson提出，而后由Tvergaard和Needleman發(fā)展和完善的細(xì)觀韌性斷裂模型[13].GTN模型能夠顯式考慮材料的塑性損傷，包含9個模型參數(shù)，其中需要標(biāo)定的參數(shù)有3個，每個參數(shù)影響載荷位移曲線的不同階段[14].內(nèi)聚力模型將材料分為無損傷連續(xù)基體和內(nèi)聚力單元兩部分[15]，能夠顯式描述材料內(nèi)部的裂紋擴(kuò)展行為.相比于GTN模型，內(nèi)聚力模型中與斷裂相關(guān)的控制性參數(shù)少，只有極限分離應(yīng)力σc與斷裂能Γ0兩個參數(shù)，有利于提高反向有限元法的準(zhǔn)確性.

常規(guī)的小沖桿樣品在加載過程中不會產(chǎn)生應(yīng)力集中，適用于提取彈塑性本構(gòu)關(guān)系.若要獲取材料的斷裂韌性，需要采用預(yù)制缺口的小沖桿試樣.常見的預(yù)制缺口有中心貫穿孔型、直線型和環(huán)形.本文采用環(huán)形缺口試樣，因其最接近于小沖桿試樣的軸對稱特征[16].為確保反向有限元法的精度，需對樣品的幾何尺寸和缺口尺寸進(jìn)行優(yōu)化，以提升模擬載荷位移曲線對模型參數(shù)的敏感程度.

為了從小沖桿測試中準(zhǔn)確獲取被測材料的斷裂韌性，本文基于內(nèi)聚力損傷模型，對缺口樣品的尺寸優(yōu)化進(jìn)行了研究，對反向有限元法的算法進(jìn)行改進(jìn).首先，建立環(huán)形缺口小沖桿試驗(yàn)的有限元模型，從樣品的徑厚比、裂紋深度和有無預(yù)制裂紋3個方面分析內(nèi)聚力模型參數(shù)的敏感性.然后，采用基于遺傳算法的反向有限元法，驗(yàn)證樣品優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的反算準(zhǔn)確性.最后，結(jié)合隨機(jī)游走模型對收斂算法進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)一步提高反向有限元法的效率和精度.

1 理論模型

1.1 內(nèi)聚力模型

內(nèi)聚力模型最早是由Matos等[17]提出，它們將裂紋問題視為非線性邊值問題，適用于大變形[18]過程，可以很好地描述韌性斷裂和裂紋擴(kuò)展過程[19].在有限元中，內(nèi)聚力模型通過基于牽引分離模型的內(nèi)聚力單元實(shí)現(xiàn).牽引分離模型有很多種，包括雙線性模型、指數(shù)模型、常數(shù)模型和梯形模型[20]等.本文采用雙線性模型，該模型只有σc和極限分離位移δ0兩個控制性參數(shù)，兩者都與樣品的幾何形狀及尺寸無關(guān).考慮到雙線性模型中，Γ0(曲線下圍成的面積)可以用σc和δ0唯一確定，因此δ0可以和Γ0相互轉(zhuǎn)換.本文選取σc和Γ0作為有限元中內(nèi)聚力模型參數(shù)的輸入，采用反向有限元法將其提取后，可用于標(biāo)準(zhǔn)斷裂試樣的模擬，進(jìn)而獲得材料的斷裂韌性.

1.2 有限元模型

本文考慮的樣品為直徑3 mm的環(huán)形缺口小沖桿薄片，厚度d分別為0.1、0.2及0.3 mm.設(shè)計(jì)的缺口深度d′分別為各自厚度的0.4、0.5及0.6倍，缺口寬度為各自厚度的0.1倍.考慮到試樣為環(huán)形缺口的薄圓片，采用二維軸對稱的方式建模，有限元軟件為Abaqus.內(nèi)聚力模型采用零厚度的內(nèi)聚力單元實(shí)現(xiàn).以T91鋼的J2本構(gòu)模型作為有限元模型本構(gòu)參數(shù)的輸入.

在裂紋尖端附近，應(yīng)力梯度較大，網(wǎng)格要適當(dāng)密集，而遠(yuǎn)離裂紋尖端的部位，網(wǎng)格要適當(dāng)稀疏，這樣才能同時保證計(jì)算效率和精度.因此，本文采用過渡網(wǎng)格策略[21]進(jìn)行網(wǎng)格劃分.圖1為小沖桿試驗(yàn)的有限元模型，其中紅線為0厚度的內(nèi)聚力單元，單元類型為COHAX4，綠色網(wǎng)格為基體單元，單元類型為CAX4R.上夾具、下夾具和沖桿都設(shè)為解析剛體，RP-1、RP-2、RP-3分別為各自剛體的參考點(diǎn).沖桿的直徑為1 mm，上卡具的內(nèi)徑為1.02 mm，下卡具的內(nèi)徑為1.5 mm.接觸方式為面對面接觸，滑移方式為有限滑移，摩擦因子為0.1.

圖1 小沖桿試驗(yàn)二維軸對稱模型

1.3 算法模型

普通的回歸算法在處理最優(yōu)化問題時，容易陷入局部最優(yōu)解，為獲取全局最優(yōu)解，本文采用兩種智能算法：遺傳算法和隨機(jī)游走算法.遺傳算法在搜索過程中引入了隨機(jī)因素，能夠消除對初始值的依賴性.初始生成的參數(shù)組集合稱為初始種群，種群中每個參數(shù)組被稱為個體，每個個體都有自身的適應(yīng)度，本文將適應(yīng)度定義為殘差的倒數(shù).每一輪迭代根據(jù)適應(yīng)度的大小以幾何概率來選擇遺傳到下一代的個體，再根據(jù)概率進(jìn)行交叉和變異，產(chǎn)生下一代的種群.最終，末代種群產(chǎn)生最優(yōu)個體，得到全局最優(yōu)解.隨機(jī)游走模型需要一個參數(shù)組作為起點(diǎn)，通過隨機(jī)生成的n維單位向量，按照下式進(jìn)行游走：

(1)

圖2 算法流程圖

2 內(nèi)聚力模型的參數(shù)敏感性分析

反向有限元法的核心思想為基于某種回歸算法調(diào)整模型材料參數(shù)，使模擬曲線逐漸逼近試驗(yàn)結(jié)果.若改變模型參數(shù)對載荷位移曲線的影響較小，則反算結(jié)果難以收斂，進(jìn)而導(dǎo)致較大的誤差.因此，需要從樣品的幾何和缺口設(shè)計(jì)出發(fā)，對內(nèi)聚力模型參數(shù)作敏感性分析.本文首先根據(jù)未開缺口的小沖桿試樣的模擬結(jié)果優(yōu)選環(huán)形缺口的位置，再從試樣直徑與厚度的比例、缺口深度以及有無預(yù)制裂紋3個方面來分析內(nèi)聚力模型參數(shù)的敏感性.

2.1 小沖桿試樣的缺口位置

對無缺口的試樣進(jìn)行有限元模擬，研究試樣變形時最大主應(yīng)力點(diǎn)的位置以及應(yīng)力方向，以此優(yōu)選缺口的位置.

3種厚度d的無缺口小沖桿試樣有限元模擬結(jié)果如圖3所示.在變形的過程中，將最大主應(yīng)力Smax的位置標(biāo)記出來，觀察其移動軌跡.結(jié)果表明：當(dāng)加載位移到一定值后，3種厚度試樣最大主應(yīng)力的位置都不再變化，始終停留在圖中黃色圓點(diǎn)處.同時，從圖中可以看出，最大主應(yīng)力在徑向的分量較大，軸向的分量較小，因此斷裂以徑向拉開為主，符合環(huán)形缺口小沖桿試樣的斷裂規(guī)律.經(jīng)過測量可知，不同厚度試樣的最大主應(yīng)力的位置距離試樣中心都是0.3 mm左右，因此在距離試樣中心0.3 mm的圓周上開缺口較為合理.

圖3 無缺口小沖桿試樣最大主應(yīng)力分布圖

2.2 小沖桿試樣直徑與厚度的比例

內(nèi)聚力模型的參數(shù)需要在合理區(qū)間內(nèi)選取.參數(shù)值過高，內(nèi)聚力模型難以收斂；參數(shù)值過低，則載荷位移曲線過早下降，與實(shí)際情況不符.經(jīng)過嘗試，對于T91鋼，極限分離應(yīng)力取值約在800～1 200 MPa，斷裂能取值約在5～8 MPa·mm時，能夠較好滿足以上兩點(diǎn).因此，本文采用的5組內(nèi)聚力模型參數(shù)分別為(σc=900 MPa，Γ0=5 MPa·mm)、(σc=800 MPa，Γ0=8 MPa·mm)、(σc=1 100 MPa，Γ0=7 MPa·mm)、(σc=1 000 MPa，Γ0=8 MPa·mm)及(σc=800 MPa，Γ0=5 MPa·mm).

圖4為3種厚度試樣在不同參數(shù)下模擬得到的結(jié)果，圖中D為加載位移，F(xiàn)為加載反力.可以看到，其他條件相同時，厚度越小的試樣，對內(nèi)聚力模型參數(shù)的敏感性越強(qiáng).對于d=0.3 mm的試樣，改變參數(shù)對載荷位移曲線的影響不大，5條曲線幾乎重合.對于d=0.2 mm的試樣，5條曲線在斷裂之后的區(qū)別較為明顯，斷裂之前區(qū)分度不高，且(σc=1 100 MPa，Γ0=7 MPa·mm)和(σc=1 000 MPa，Γ0=8 MPa·mm)對應(yīng)的曲線較為接近.因?yàn)樵跀嗔堰^程中網(wǎng)格畸變嚴(yán)重，所以載荷位移曲線后期不太光滑.對于d=0.1 mm的試樣，5條曲線在斷裂前后的區(qū)別都很明顯，層次感分明，不同的參數(shù)組對應(yīng)不同的最大載荷及斷裂時刻的位移.由此可知，相比之下，d=0.1 mm的試樣對內(nèi)聚力模型的參數(shù)最為敏感.

圖4 厚度對內(nèi)聚力模型參數(shù)的影響

2.3 小沖桿試樣的缺口深度

考慮到0.1 mm厚度的試樣對內(nèi)聚力模型參數(shù)最為敏感， 所以使用0.1 mm厚度的試樣來分析缺口深度對參數(shù)敏感性的影響.缺口深度在厚度一半的附近選取，分別為0.04、0.05和0.06 mm.采用的內(nèi)聚力模型參數(shù)與3.2節(jié)相同.

圖5為3種缺口深度的試樣在不同參數(shù)下模擬得到的結(jié)果.可以看到，在其他條件相同的情況下，缺口深度越大，對內(nèi)聚力模型參數(shù)的敏感性越強(qiáng)，但是模型的收斂性會變差.對于缺口深度0.04 mm的試樣，(σc=1 100 MPa，Γ0=7 MPa·mm)和(σc=1 000 MPa，Γ0=8 MPa·mm)得到的兩條曲線幾乎一致，說明該樣品的參數(shù)敏感程度較低.對于缺口深度為0.05 mm和0.06 mm的試樣，5條曲線差別都比較明顯.然而，后者采用 (σc=800 MPa，Γ0=8 MPa·mm)和(σc=1 100 MPa，Γ0=7 MPa·mm)得到的曲線幾乎沒有下降的階段，說明缺口深度為0.06 mm試樣的內(nèi)聚力模型收斂較為困難.基于敏感性和收斂性兩個方面考慮， 擇優(yōu)選取的缺口深度為0.05 mm.

圖5 厚度0.1 mm試樣缺口深度對內(nèi)聚力模型參數(shù)的影響

2.4 有無預(yù)制裂紋

由于實(shí)際加工的不穩(wěn)定性，環(huán)形缺口小沖桿試樣的裂紋尖端可能不夠尖銳，應(yīng)力集中也可能偏離裂尖的正上方.為了能夠按照預(yù)期的路徑發(fā)生斷裂，可以考慮在缺口的正上方預(yù)制裂紋.但是，對于厚度較小的小沖桿試樣，在開缺口的基礎(chǔ)上預(yù)制裂紋難度很大.因此，有必要研究預(yù)制裂紋樣品的參數(shù)敏感性，以確定引入預(yù)制裂紋的必要程度.

緊湊拉伸型(CT)試樣中，預(yù)制裂紋的長度與剩余韌帶長度的比例約為1∶10.基于相同比例，小沖桿樣品的預(yù)制裂紋長度設(shè)為5 μm，如圖6(a)所示，其中紅色部分為內(nèi)聚力單元.以d=0.1 mm的試樣進(jìn)行模擬，內(nèi)聚力模型參數(shù)與3.3節(jié)相同，模擬結(jié)果如圖6(b)所示. (σc=1 100 MPa，Γ0=7 MPa·mm)和(σc=1 000 MPa，Γ0=8 MPa·mm)得到的曲線重疊，參數(shù)組(σc=900 MPa，Γ0=5 MPa·mm ) 和(σc=800 MPa，Γ0=5 MPa·mm)的結(jié)果也很接近，載荷位移曲線的區(qū)分度不高.與無預(yù)制裂紋的結(jié)果相比，開預(yù)制裂紋后的試樣對參數(shù)的敏感性有所降低.原因可能是有預(yù)制裂紋后，應(yīng)力集中更明顯，斷裂更加容易，改變參數(shù)對斷裂過程的影響變小.因此，預(yù)制裂紋對參數(shù)的敏感性的提升較小，且實(shí)際加工也較為困難，所以從經(jīng)濟(jì)效益和反算精度兩個方面來看，都無預(yù)制裂紋的必要.

圖6 厚度0.1 mm試樣開預(yù)制裂紋的有限元模型及模擬結(jié)果

上述3方面的參數(shù)敏感性分析表明，通過對小沖桿樣品進(jìn)行幾何尺寸的優(yōu)化能夠顯著提升模擬結(jié)果對內(nèi)聚力參數(shù)的敏感性.優(yōu)化樣品具有如下關(guān)鍵幾何特征：厚度為0.1 mm，缺口深度為0.05 mm，無需預(yù)制疲勞裂紋.

3 反向有限元法提取模型參數(shù)

3.1 反向有限元法的準(zhǔn)確性驗(yàn)證

理論上講，可以基于被測材料的試驗(yàn)載荷位移曲線獲取內(nèi)聚力模型參數(shù)，通過對比模型參數(shù)的理論值，驗(yàn)證反向有限元法的準(zhǔn)確性.然而，每種材料對應(yīng)的內(nèi)聚力模型參數(shù)具體數(shù)值未知，也無標(biāo)準(zhǔn)可查，難以判斷反算結(jié)果是否準(zhǔn)確.此外，某些在役設(shè)備和輻照材料的取樣條件有限，進(jìn)一步增加了試驗(yàn)驗(yàn)證的困難程度.因此，基于上述優(yōu)化樣品設(shè)計(jì)，本文以給定的 (σc=800 MPa，Γ0=5 MPa·mm，記為參數(shù)組1)和(σc=1 000 MPa，Γ0=6 MPa·mm，記為參數(shù)組2)進(jìn)行有限元模擬，再將模擬所得載荷位移曲線作為逼近目標(biāo)，采用反向有限元進(jìn)行參數(shù)提取.通過比較反算參數(shù)與給定參數(shù)之間的差別，對反向有限元法的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證.

殘差函數(shù)定義為目標(biāo)曲線和模擬曲線之間的面積差.基于遺傳算法的反向有限元計(jì)算結(jié)果如圖7和表1所示.可以看出，經(jīng)過 1 500 次左右的迭代后，模擬和試驗(yàn)的載荷位移曲線差別已經(jīng)很小，斷裂之前的部分幾乎重合，斷裂后的部分稍有差異.迭代過程中，殘差函數(shù)值整體呈下降趨勢，最終反算獲得的參數(shù)與給定參數(shù)較為接近，誤差在6%以內(nèi).可以看出，基于遺傳算法的反向有限元方法能夠較為準(zhǔn)確地提取內(nèi)聚力模型參數(shù).

圖7 遺傳算法的反算結(jié)果

表1 初始參數(shù)值與遺傳算法的反算結(jié)果

3.2 搜索算法的改進(jìn)

以上結(jié)果若是繼續(xù)以遺傳算法迭代，精度會有所提高，但是耗時過長，計(jì)算成本太高.所以將遺傳算法和隨機(jī)游走算法相結(jié)合，先將迭代解逼近到全局最優(yōu)解附近，再采用收斂速度較快的隨機(jī)游走算法，以達(dá)到縮短反算時間并提高精度的目的.采用種群內(nèi)最多的重復(fù)個體數(shù)量來判斷迭代解是否到達(dá)全局最優(yōu)解附近.遺傳算法是根據(jù)幾何概率進(jìn)行選擇，個體適應(yīng)度越大，被選擇的次數(shù)也就越多，遺傳到下一代就會出現(xiàn)重復(fù)的個體.經(jīng)過多輪遺傳，個體適應(yīng)度會越來越大，重復(fù)個體的數(shù)量也隨之增加.因此，當(dāng)種群內(nèi)最多的重復(fù)個體數(shù)量超過給定閾值后，便可認(rèn)為迭代解逼近已到達(dá)全局最優(yōu)解的附近.改進(jìn)算法后的結(jié)果如表2和圖8所示.可以看出，改進(jìn)算法的迭代次數(shù)和迭代時間均得到了大幅降低，降幅約為2/3；另一方面，模擬和試驗(yàn)曲線幾乎完全重合，反算所得參數(shù)與給定參數(shù)間的誤差減小至1%以內(nèi)，說明收斂精度得到了進(jìn)一步提升.可以看出，改進(jìn)搜索算法后的反向有限元法具有更高的計(jì)算效率和精度.

圖8 遺傳算法和隨機(jī)游走算法相結(jié)合的反算結(jié)果

表2 初始參數(shù)值與遺傳算法和隨機(jī)游走算法相結(jié)合的反算結(jié)果

4 結(jié)論

本文以環(huán)形缺口小沖桿試樣為研究對象，從試樣的徑厚比、缺口深度以及有無預(yù)制裂紋3個方面，系統(tǒng)地研究了內(nèi)聚力參數(shù)對模擬結(jié)果的敏感性，得到了優(yōu)化的缺口樣品幾何尺寸.在此基礎(chǔ)上，采用預(yù)先選取的內(nèi)聚力模型參數(shù)進(jìn)行模擬，并將載荷位移曲線作為目標(biāo)結(jié)果；利用改進(jìn)算法后的反向有限元法來提取模型參數(shù)，驗(yàn)證了反向有限元法的準(zhǔn)確性.主要結(jié)論如下：

(1) 對于直徑3 mm的無缺口小沖桿試樣，在加載后期，最大主應(yīng)力始終停留在試樣下表面的確定位置，距離圓心的距離為0.3 mm.將此處設(shè)為環(huán)形缺口位置較為合理.

(2) 試樣直徑與厚度的比例越大，缺口深度越大，對內(nèi)聚力參數(shù)的敏感性越高，反向有限元法的結(jié)果就越精確.但是缺口深度過大，內(nèi)聚力模型的收斂性會下降.從敏感性和收斂性兩方面綜合考慮，缺口深度選為厚度的一半.

(3) 預(yù)制裂紋對參數(shù)敏感性的提升較小，且實(shí)際加工困難，在樣品設(shè)計(jì)時不作考慮.

(4) 基于遺傳算法的反向有限元計(jì)算表明，反算所得參數(shù)與預(yù)先選取的參數(shù)之間誤差在6%以內(nèi)，模擬和目標(biāo)試驗(yàn)的曲線基本重合，驗(yàn)證了反向有限元法的準(zhǔn)確性.將遺傳算法和隨機(jī)游走算法相結(jié)合，對反向有限元法進(jìn)行優(yōu)化，誤差則減小到1%以內(nèi)，模擬和目標(biāo)試驗(yàn)的曲線幾乎完全重合.這說明，改進(jìn)搜索算法后反向有限元法的效率與精度都得到了大幅提升，也進(jìn)一步驗(yàn)證了樣品設(shè)計(jì)的有效性.