關于線性變換教學的注記

虞志堅

（臺州學院 電子與信息工程學院，浙江 臨海 317000）

0 引言

線性變換是高等代數里非常重要的一個概念[1-11]。在線性空間里取定一組基后，線性變換在這組基下和一個矩陣是一一對應的，這是高等代數里很重要的一個結果。但是，對于基礎比較薄弱的學生，他們往往只記住了這個結果，至于線性變換和矩陣到底是如何一一對應的卻不是很清楚。教學中經常有學生會問：“線性變換和矩陣一一對應是否意味著向量經過線性變換后等于的對應的矩陣和向量相乘？”這些學生注意到了n階方陣可以與線性空間Pn（這里P是一個數域）中的一個向量直接相乘，而且有時候上述情形是成立的。所以他們才會問到：“通常情況下線性變換作用于這個向量是否就等于對應的矩陣與這個向量視為矩陣時的乘積？”但是，有些時候上述情形又是不成立的。以微分變換為例，一個多項式經微分變換變成了次數降低一次的另一個多項式，可一個矩陣怎么能和一個多項式相乘？此外，對于Pn上的一個向量經線性變換后，如果不等于對應的矩陣與原向量的乘積，那么究竟等于什么？在什么情況下線性變換作用于向量等于對應的矩陣與原向量相乘？下面我們將舉例詳細地進行闡述，文中的素材取自本校高等代數課程所使用的教材，即文獻[12]。

如果沒有特別說明，下文中線性空間Pn中的向量都是指列向量，(x1,x2,…,xn)T示Pn中行向量(x1,x2,…,xn)經轉置后得到的列向量。此外，若一個向量經線性變換成為另一個向量，我們將變換前的向量稱為原像，變換后得到的向量稱為像?！?br>