利用數學史料，解決復雜問題，發展綜合能力

李建良 林永偉

【摘? ?要】勾股定理是數學中的重要定理，人教版教材五年級上冊“總復習”中安排的這一內容，存在“問題較為綜合，學生缺乏相關經驗;素材形式單一，學生無法深入體驗”等問題。結合相關史料，借鑒初中數學的一些做法，通過“以等腰直角三角形作為導入素材，借助‘勾三股四弦五進行進一步探究，利用‘趙爽弦圖嘗試進行實驗證明”這樣三個教學任務，使學生經歷從特殊到一般的過程，發現并驗證勾股定理，引發學生的深入思考，發展學生的綜合能力。

【關鍵詞】勾股定理;數學史料;綜合能力

“勾股定理”是一個基本的幾何定理，它的發現與證明都具有悠久的歷史。以往，這是初中數學的經典內容，而2013年教育部審定的人教版小學數學教材在五年級上冊“總復習”中安排了與此相關的內容。筆者在對該內容做較為深入解讀的基礎上嘗試開展相關教學。

一、現有教材內容的分析與思考

相關內容在教材第114頁上。該內容分為兩部分，第一部分是出示邊長為3cm、4cm、5cm的直角三角形（勾三股四弦五），求分別以這三條邊為邊長所作的正方形的面積，并研究它們之間的關系;第二部分是對第一部分所作的進一步拓展，期望學生從三個實例中得出規律。

仔細分析教材提供的素材可以發現，學生的學習會因為以下兩方面的問題遇到阻礙。

（一）問題較為綜合，學生缺乏相關經驗

教材中的第一個問題包含了三個步驟，分別是：①以直角三角形的三邊（3cm、4cm、5cm）為邊長畫三個正方形;②計算這三個正方形的面積;③探索這三個正方形面積之間的關系。雖然步驟①由教材直接提供，但是在以往的教學中，學生沒有類似的作圖經驗，因此要理解三個正方形的面積與直角三角形三條邊的關系，需要投入一定的精力。步驟②難度不大。步驟③中，由于這三個正方形從空間位置上，沒有非常直接、明顯的關系，因此，學生不容易想到兩個較小正方形的面積之和等于較大正方形的面積。

（二）素材形式單一，學生無法深入體驗

教材只提供了三邊分別為3cm、4cm、5cm的直角三角形和以這三邊為邊長所作的正方形的相關圖示，此外沒有提供更多的素材。剩余的兩組數據（6cm、8cm、10cm和5cm、12cm、13cm）該如何處理，教材沒有做任何提示。假設對于剩下兩組數據的探索，仍然以觀察、計算的結果為依據，那么在這一過程中，教師是仍舊提供圖示，還是提供可以操作的學具？這些方法能否激發學生進一步探索的意愿？換一個角度思考，如果其余兩組數據三條邊長之間關系的探究，是在對3cm、4cm、5cm這三邊關系的探究基礎之上的遷移，即根據第一組數據中得到的猜想，對后面兩組數據進行計算驗證，那么整個學習過程就顯得過于單調，學生的體驗也不夠全面、深入。

二、基于歷史視角選擇學習素材

為了更加科學、合理地設計教學活動，筆者對學習素材、探究活動做了重新選擇與設計。

探究活動一：以等腰直角三角形作為導入素材

等腰直角三角形是直角三角形中的一種特例，以其三邊為邊長，作出的三個正方形面積之間的關系比較簡單、直觀，適合作為五年級學生第一次接觸該問題的素材。教師在網格圖上呈現兩腰為1的等腰直角三角形，并分別以它的三條邊為邊長各畫一個正方形。請學生通過數格子的方法發現，以直角邊為邊長畫出的正方形面積都是1，以斜邊為邊長畫出的正方形的面積剛好是2，進而提出猜想——以斜邊為邊長的正方形面積剛好是兩個以直角邊為邊長的正方形面積之和。據說這一特例，是古希臘數學家畢達哥拉斯首先發現的，發現過程非常具有故事性。把這一內容作為學習素材的一部分，能夠很好地激發學生的學習興趣。但是，這種特例有其自身的局限性，當直角邊為1時，斜邊為[2]。因此，在教學中只能將這一素材用于“導入新課”和“初步感知”，需要避免[2]這個無理數帶來的不必要的困擾。

探究活動二：借助“勾三股四弦五”進行進一步探究

可以用“勾三股四弦五”作為素材繼續開展研究，其優勢在于它的各邊長都是整數，有利于學生從定量的角度進一步探究直角三角形的三邊關系。這種情況與上述特例相比，難度有所增加。這使探究活動更加富有挑戰性，能在綜合運用多邊形以及組合圖形面積的相關知識和技能解決問題的過程中培養空間觀念和推理能力。在此基礎上，可以用字母表示各邊長，結合上述兩類特殊的直角三角形三邊的關系，進行初步的猜想。

探究活動三：通過“趙爽弦圖”嘗試進行實驗證明

關于勾股定理的證明，古今中外有許多巧妙的方法。其中有些方法，需要借助大量的計算或幾何證明，步驟較為復雜。而“趙爽弦圖”相對來說更適合小學生進行探究，如果能將“趙爽弦圖”制作成可供操作的學具，將會使證明的過程變得簡單、直觀。因此，這一環節的教學目標定位為：通過操作活動，引導學生嘗試將“趙爽弦圖”進行等積變形，使得原本的c2變為a2與b2之和。借助這一活動，讓學生直觀感知、體驗勾股定理的證明方法，使證明活動有了實現的可能。

雖然探究或證明勾股定理的方法、途徑有很多，但從小學生的學習特點考慮，可選擇或設計以上三個活動。其中活動三可以直接取材于相關的數學史料;活動一借鑒了初中教材內容和教學思路;活動二結合了小學生的已有水平和認知特點。這些活動有機整合，循序漸進，形成了一條由特殊到一般、由直觀到抽象的學習路徑，它既符合學生的學習起點，又能調動學生的學習興趣，還能使學生的水平在原有基礎上得到較大程度的提升。

三、課堂實踐與教學分析

（一）借助故事，引導學生初步感知

師：古希臘數學家畢達哥拉斯到朋友家做客。朋友家地磚上的圖形引起了他的注意（課件出示帶有對角線的網格圖），他發現了什么圖形？

生：他發現了等腰直角三角形。

生：他發現了正方形，有小一點的，也有大一點的。

生：三角形也有大的和小的。

師：數學家善于把不同的事物聯系起來，你能找到和這些三角形有關的正方形嗎？

（課件出示三個等腰直角三角形）

生：這三個三角形每一條邊上都可以畫一個正方形。

（根據學生回答，課件出示相應的圖形）

生：我發現這些組合圖形雖然大小不一樣，但它們的形狀很像。

師：那么三角形和正方形之間有什么聯系呢？

生：三角形的邊就是正方形的邊長，正方形的面積是邊長乘邊長。

師：看看每組圖形中的各個正方形，它們的面積之間好像存在某種聯系。請你們在練習紙上算一算、寫一寫。

（生計算，匯報，師出示）

生：我發現兩個小正方形的面積加起來就等于大正方形的面積。左上角這個圖形中兩個小正方形的面積都是1cm2，大正方形的面積是2cm2。

生：我和他的發現是一樣的，但我是通過數格子得出的，左上角這個圖形中小正方形有4個小三角形，大正方形有8個這樣的小三角形，4+4=8。

生：右上角這個圖形中，0.5+0.5=1（cm2）。

生：最下面這個圖形中，每個小正方形相當于兩個1cm2的格子，大正方形相當于4個1cm2的格子，所以加起來相等。

課堂導入部分以故事引入，并以較為簡單的圖形作為研究素材，主要目的是降低學習起點，吸引全體學生參與，并使學生迅速把目光聚焦在圖形之間的關系上，突出強調“關系”。在這一環節中，學生通過活動，還發現了等腰直角三角形直角邊上的兩個正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積。教學過程中，學生對圖形以及圖形之間的關系較為敏感，為后續開展深入學習奠定了基礎。

（二）聚焦關系，引發學生的數學猜想

師：同學們已經發現了這些圖形中的秘密，我們換一種直角三角形試試。請看圖（），如果這個直角三角形也符合剛才的規律，那么這個大正方形的面積應該是多少？三角形的斜邊又是多少？

課件出示直角邊分別為3cm、4cm的直角三角形，以及相應的三個正方形。

生：我想大正方形的面積可能是25cm2，因為根據剛才的規律，兩個小正方形的面積是9cm2和16cm2，那么大正方形的面積應該是9cm2+16cm2=25（cm2）。

生：我覺得不一定，因為現在這個三角形的形狀跟剛才的三角形不一樣。

師：如果是25cm2，你有什么好辦法可以證明嗎？如果不是，也請你證明?？梢援嬕划嫞阋凰恪?/p>

（生嘗試證明，師個別指導，全班匯報）

生（出示自己畫的圖）：我從這個正方形里面發現了4個一樣的三角形，它們的面積都是4×3÷2=6（cm2）。除了這4個三角形，中間還有1個小正方形，是1cm2，合起來剛好是25cm2。

生（出示自己畫的圖）：我還發現，在外面畫一個大正方形，面積是49cm2，再減去角上的4個三角形，每個是6cm2，所以中間剩下25cm2。

師：既然這個正方形的面積是25cm2，那這條斜邊是多少？

生：這條斜邊是5cm，因為5×5=25（cm2）。

師：是的，我們發現52= 32+42。請看這兩組圖形，如果用a、b、c三個字母分別表示直角邊和斜邊，你能得出它們三者之間的關系嗎？

生：a2+b2=c2。

對于五年級的學生來說，得出直角三角形的三邊關系a2+b2=c2固然重要，但更為重要的是經歷整個探究過程。在初步感知三角形三條邊上的正方形的面積關系之后，學生借助空間想象，通過畫圖、計算等方法，用了兩種方法證明兩條直角邊分別為3cm和4cm的直角三角形，斜邊上的正方形面積是25cm2，因此發現32+42=52。最后借助字母，通過對兩組圖形的概括，得出了a2+b2=c2的猜想。在問題解決的過程中，學生進行了豐富的數學思考，充分展現了空間觀念與推理能力，并使之得到了進一步的發展。在解決問題的過程中，學生經歷了從不斷嘗試，到有所突破，再到最后豁然開朗的過程，積累了大量的活動經驗，也享受了成功的喜悅。這可以說是本堂課最能發揮學生主體性、最有價值的一個活動，也是本堂課的核心環節。

（三）動手操作，驗證自己的猜想

師：剛才同學們得出了a2+b2=c2的猜想，這在我國古代數學著作《周髀算經》中就有記載，這就是有名的“勾股定理”。同學們畫的圖，與三國時期的數學家趙爽以及后來的數學家畫的圖一樣，他們都做過類似的研究用以證明“勾股定理”。

（課件出示“勾股定理”和“趙爽弦圖”）

師：“趙爽弦圖”很奇妙，它將4個直角三角形和1個小正方形組成了一個大正方形，面積是c2。你能通過平移、旋轉等方法將這5個部分重新進行組合，使它們變成兩個正方形，面積恰好是a2+b2嗎？請四人小組合作，用學具袋中的“趙爽弦圖”模型一起來試一試。

（學生小組合作操作、上臺展示，教師通過課件進行梳理）

在這一環節中，教師試圖幫助學生通過操作實驗對勾股定理進行一般化的證明。在諸多方法中，利用“趙爽弦圖”進行證明更適合五年級學生。因為證明過程中只需將其中各個部分通過旋轉、平移等方法進行重組，再利用各條邊之間的關系，就能得出重組前后圖形之間的面積關系。操作過程蘊含著學生對圖形特點以及相互之間關系的思考，是學生數學素養的綜合體現。最后的展示過程則讓學生通過圖形，感受到不同的直角三角形，其三邊都符合勾股定理，學生也由此進一步體會到研究勾股定理以及其他數學問題時一般要經歷觀察、猜想、證明的過程，研究過程中所選取的素材需要遵循從特殊到一般的規律。

四、教學反思

通過上述教學設計與實踐，筆者有了以下體會。

（一）恰當的素材有助于學生思考與解決問題

“勾股定理”的教學，如果按照教材提供的素材，很可能難以發揮它應有的教學價值。但是，如果素材選用恰當，活動組織合理，則能在很大程度上激發學生的數學思考。本堂課中，學生在三種不同的學習素材的幫助下，通過觀察、畫圖、計算、操作等方法，不斷地思考，逐步發現了直角三角形三條邊中包含的數量關系，也體會到了問題解決的一般過程。

（二）挑戰性問題更能發展學生的綜合能力

對于五年級的學生來說，“勾股定理”的發現與證明，無疑具有相當大的挑戰性。但適當的挑戰，能激發學生的學習動力，促使學生全面思考，在綜合運用各種已經掌握的知識和技能的過程中，發展自身的能力。課堂活動充分體現了學生對面積、組合圖形的面積、圖形的運動等知識和技能的理解與掌握情況，以及在全新的問題面前，激活并運用這些知識與技能的能力。這種運用已有知識，解決新的問題的能力，也正是我們數學教學所追求的重要目標。

參考文獻：

[1]汪曉勤.HPM：數學史與數學教育[M].北京：科學出版社，2017.

[2]吳增生，鄭燕紅，李宏彥，等.勾股定理教學實驗研究：讓學生真正經歷勾股定理的“再發現”過程[J].數學教育學報，2017，26（1）.

（1.浙江省杭州市蕭山區夾灶小學? ?311247

2.杭州師范大學經亨頤教師教育學院? ?311121）