數學史融入“長方形和正方形的認識”的課堂教學

宦銘里 李紹平 洪燕君

【摘? ?要】基于相關數學史料的研究，對“長方形和正方形的認識”的教學按照“長方形→正方形→四邊形”的探究順序進行重構。實踐證明，在研究史料以及重構教學的過程中，教師的知識儲存和教學方法得到了豐富，教學中知識鏈的呈現更加和諧，學生探究的趣味性增強了。史料及其蘊含的數學思想成為教學實施的有力支撐。

【關鍵詞】數學史;長方形;正方形;微視頻

“長方形和正方形”是人教版教材三年級上冊的內容，教材中知識的呈現順序是“四邊形→長方形→正方形”。根據教材中知識的呈現順序進行教學，過程一般是：（1）通過“認一認、畫一畫”，介紹四邊形的概念;（2）給出長方形、正方形的“長、寬、邊”的概念;（3）基于學生對長方形和正方形的感性認識，通過操作等方式引導學生了解長方形和正方形的特征，要求學生從邊和角兩個維度對長方形、正方形的屬性進行準確的數學描述;（4）通過“畫一畫”“剪一剪”，進一步強化學生對長方形、正方形特征的理解。

筆者對某地區209名小學數學教師進行了問卷調查，結果顯示，83.2%的教師會遵循教材順序設計教學程序。個案訪談中，有教師提到，教學中往往會急于讓學生通過實際度量去發現幾何圖形的性質，對如何將學生的注意力由單純的“動手”引向“動腦”，以有效發展學生的空間觀念存在困惑。

美國數學史家卡約黎（F. Cajori）認為“學生所遭遇的困難往往是相關學科的創建者經過長期思索和探討后所克服的實際困難”，即知識在發生、發展過程中具有“歷史相似性”。他指出：數學史是數學教學的有效工具。由此，借鑒歷史，我們擬定了“長方形→正方形→四邊形”的知識探究順序進行教學重構。實踐證明，數學史融入課堂教學解決了教師的思想困惑，有助于培養學生的空間觀念，促進教學目標的達成。

下面，筆者從“史料梳理→古今聯系→擬定目標→設計實施→反饋與反思”的實踐程序來介紹“長方形和正方形的認識”的教學過程。

一、史料梳理

上古時期的中國，人們對平面圖形已有一定的認識，在西安半坡遺址出土的制作于約公元前4000年的各種陶器上就有諸如矩形、三角形等圖形。成稿于約公元前100年的古籍《周髀算經》里提到“方出于矩”，趙爽有注：“矩，廣袤也?！睆V與袤是矩的兩條直角邊，矩是用作畫方的工具?！耙谰禺嫹健迸c紅山遺址的考古研究成果吻合。趙爽的“句股圓方圖說”以及劉徽在《九章算術注》里提到的計算面積時有“勾實之矩，以股弦差為廣，股弦并為袤”之說，都是指將曲尺形化為長方形，由此學者曲安京認為“矩”本意就是指“長方形”。《九章算術》“方田章”里，正方形被稱為“方田”，長方形被稱為“直田”。公元前300年左右歐幾里得的《幾何原本》中給出了“正方形→長方形→菱形→斜方形→任意四邊形”的概念順序，且長方形和正方形的定義與我們現在使用的教材一致。《數學手冊》一書中對圖形面積計算給出了“矩形→菱形→平行四邊形→梯形→任意四邊形”的出場順序。

綜上所述，經咨詢史學研究專家，再結合對農耕文化的了解，遵循“特殊到一般”的發現規律，我們得到古人對長方形、正方形的認識早于四邊形，又考慮到“正方形是特殊的長方形”，從學生的心理認知序列特點出發，經訪談一線教學名師，擬定教學活動的探究順序為“長方形→正方形→四邊形”。

二、古今聯系

“古今聯系”的目的是促進歷史與現實的溝通，使知識的歷史發展順序、教材的知識邏輯順序與學生的認知發展順序融合起來，讓知識的發生、發展自然而然。

根據波利亞（G. Pólya）“主動學習、最佳動機、階段序進”以及克萊因（M. Kline）“興趣、動機、直觀、文化”等教學原理，本著教學必須建立在學生認知基礎之上，且符合學生的生活經驗和認知規律的理念，我們著眼于知識的銜接順序和知識的探究順序，采用附加式、重構式把數學史融入教學中。

先把梳理過的關于長方形和正方形的史料制成約2分鐘的微視頻作為教學引入，再回到現實生活中，按照“長方形→正方形→四邊形”的順序引領學生進行探究，根據課堂生成，注重知識的內部關聯和外部現實的拓展，使學生積累數學活動經驗，獲得數學家那樣成功的體驗，汲古潤今，讓知識的生成和拓展一脈相承。

三、擬定目標

基于上述分析，教學時先教學“長方形和正方形的認識”，并將教學目標設置為：（1）通過觀看數學史微視頻了解長方形和正方形的由來和發展，提升數學學習的興趣和信心;（2）對于由生活實例抽象出來的數學圖形，知道圖形的邊、對邊、長和寬等概念，能初步感受長方形與正方形的聯系和區別;（3）經歷“量、比、折”等探究活動，積累圖形學習的經驗，體會“方出于矩”的數學思想，并能解釋長方形和正方形的特征，發展空間觀念;（4）體會圖形與現實生活的聯系，能根據圖形特征判斷長方形、正方形，并能從邊和角的維度對圖形屬性進行準確的數學描述。

四、設計實施

依據現實原則，我們選取某區二年級學生作為研究對象，學生已經學習過測量長度，具有接受新知識的相關儲備。經驗豐富的L老師分別在兩個平行班進行授課，講課思路一致，兩次課的教學都達到了預期的效果?，F將第一次教學過程呈現如下。

（一）微視頻引趣

教師播放數學史微動畫視頻。視頻先介紹基于中國農耕文化產生的《周髀算經》和《九章算術》等數學典籍;然后提到《幾何原本》這一幾何學的奠基之作如何深遠地影響著我們的生活，介紹幾何學在現代生活中的用途;最后將《九章算術》中的“直田、方田”與現在的“長方形、正方形”進行比較，借助設問引導和啟發學生觀察思考。

（設計意圖：微動畫視頻的引入能激發學生的學習興趣，且教師對視頻內容進行設問，引領學生鞏固知識，并啟發學生對接下來的知識學習進行思考，承上啟下非常自然。）

（二）探究知趣

1.第一項活動：找長方形

教師在每張課桌上提前放置一個裝著幾何圖形紙片的信封。要求學生4人一組，每組找出1個長方形、1個正方形紙片，貼到黑板上。教師提問：“大家找出來的這些圖形，大小不一樣，樣子也不一樣，為什么都叫長方形？”引導學生觀察“邊”和“角”。當學生回答“上邊和下邊比較長，左邊和右邊比較短”時，教師把圖形依次旋轉90度、60度，讓學生明白用“上下左右”這樣的語言不能準確描述圖形的屬性，順勢給出“邊”和“對邊”的概念，并鼓勵學生對他們提出的“對邊相等、4個角是直角”的猜想進行驗證。

（設計意圖：教學始終圍繞學生的課堂生成來展開，這中間既有學生的理解又有知識的聚焦。教師引導學生經歷從猜想到驗證的過程，有利于培養學生的批判性思維和科學精神。）

2.第二項活動：探究長方形的特點

對長方形特點的探究從角和邊兩個維度展開。

（1）探究角的特點。學生對“長方形4個角都是直角”有直觀的認識。學生可以通過比和折的方法介紹自己的探究過程。在比的時候多數學生用三角板中的直角把長方形的每一個角都進行了比對，個別學生通過1次折疊發現角能重合，于是用三角板進行了2次比對，經教師啟發引導，有2個學生一橫一豎折疊了2次使得4個角重合，用三角板只進行了1次比對。

（2）探究邊的特點。與角的直觀性相比，如何說明對邊相等對學生來說略顯抽象。多數學生先用尺子測量、比較4條邊的長度;受之前折疊的啟發，部分學生又通過上下邊對折重合，左右邊對折重合，得到“對邊相等”的結論。隨后，教師給出“長、寬”的概念，并再次轉換圖形的方向讓學生進行判別，以強化學生對“長、寬”概念的理解。

（設計意圖：“折”是探究活動中的一個難點，尤其是一開始學生在認知上不太容易想到“折2次”，教師需要循循善誘。教師變換圖形方向，利用變式加強學生對概念的理解，對發展學生的空間觀念大有裨益。）

3.第三項活動：探究長、正方形關系

教師在白板上展示方格紙上的一個長方形，并水平拖動其中的一條邊使得長方形長和寬的長度慢慢相等，于是長方形變成了正方形（如圖1）。教學實踐表明，動態演示活動使得學生更容易理解和掌握長方形與正方形的聯系和區別。

教師引導：視頻里，我國古老的數學著作《周髀算經》中提到“方出于矩”，是說用有直角的尺子可以畫出長方形、正方形，不過用我們現在的語言來看， “方”就是指正方形，“矩”就是指長方形，看看剛才演示的這個動態圖，“方出于矩”可理解成正方形從長方形中來，因此我們說正方形是特殊的長方形（畫包含關系圖）。我們再來看看長方形具有的特點，正方形是不是也都有呢？

（設計意圖：動態演示讓學生對長方形與正方形的聯系和區別更容易理解，教師把課堂生成與古籍進行關聯解讀，拓寬了學生的文化視角，使整個教學脈絡更為流暢，搭建起了歷史和現實的橋梁。）

4.第四項活動：探究正方形特點

基于對長方形“邊、角”的探究經驗，學生通過“比、折”，驗證了“正方形有4個直角”;對于“4條邊都相等”，大多數學生通過直尺測量也很快得到了驗證。

師：除了直尺測量，大家還有不同想法嗎？

生：用折的方法。上下對折重合，上下邊相等;左右對折重合，左右邊相等。

師：上下邊重合，說明上下邊相等，那么相鄰的邊要怎么折才能重合？看來還缺這關鍵一折，怎么折？

生：斜著折。

師（演示對角線對折）：這樣相鄰的兩邊也重合了，說明這兩邊也相等，所以——（教師停頓）

生（眾）：所以正方形的4條邊都相等。

師：還可不可以再折？之前長方形折了幾次，想一想？

生（激動）：斜著折，再折一下，4條邊都重合，都相等。（演示：對角線對折再對折）

師：對。剛才同學們利用不同的方法得到正方形確實是4條邊相等。既然正方形的4條邊都相等，我們就把每條邊的長叫作正方形的邊。（板書：邊）

（設計意圖：教師圍繞“折”不斷設疑，牽引學生在不同角度的“折”的過程中充分感知圖形的具象，把握長方形和正方形的特點，促進學生對知識的內化，幫助學生發展空間觀念。）

（三）活動展趣

教師請兩個學生拿著長方形和正方形模型，上講臺向大家展示并描述這兩個圖形的特征，之后教師指出，“直田、方田”作為長方形和正方形的古代稱謂，就是突出考慮了“邊、角”的特點得來的。

（設計意圖：這個活動考查學生能否準確使用數學語言從邊和角的維度認識和刻畫圖形屬性。當學生對圖形的特點非常了解后，再來理解“直田、方田”就順理成章了。）

（四）練習激趣

教師首先出示—個大信封，里面裝了不同形態的幾何圖形紙片，要求學生通過慢慢露出的部分來猜測是長方形還是正方形，并說明判斷理由;然后，教師從生活物品中抽象出圖形讓學生進行識別;最后，教師布置課后作業：動手在一個長方形里畫出一個最大的正方形。

（設計意圖：“猜信封”活動既檢驗了學生對長方形和正方形特征的掌握情況，又幫助學生厘清了判斷圖形的步驟，使學生對知識的理解從直觀感覺上升到了理性分析，完成了由“動手”到“動腦”的提升。接下來的聯系實物進行判別，拉近了實際生活與數學問題的距離，加深了學生對數學學習本質的理解。最后的課外作業，進一步幫助學生內化長方形與正方形的關系。）

（五）總結升趣

師生一起，從看微視頻環節開始，回顧和梳理整個學習過程，并歸納了“量、比、折、畫”等認識圖形的方法。之后，教師從信封里拿出1個平行四邊形，把它和黑板上的長方形、正方形放在一起，請學生給這些圖形取個統一的名字。有學生說“平行四邊形”，教師馬上又拿出1個梯形放到黑板上，一學生說“有4條邊，叫四邊形”，教師說：“這節課我們就是在研究邊、研究角，既然這些圖形都有4條邊、4個角，那為什么不叫‘四角形？同學們，這個問題大家回去再想一想，我們下節課再來討論?！?/p>

（設計意圖：這節課雖然探究活動多，但環環相扣，教學主線明晰，最后的問題為下節課的演繹和歸納教學埋下了伏筆。）

五、反饋與反思

（一）問卷反饋

課后筆者對學生進行了問卷調查。調查結果顯示，有69%的學生對數學微視頻的內容“完全理解”，26%的學生“基本理解”，5%的學生“一般理解”;所有學生都表示“很喜歡”這樣的上課方式，因為它“生動有趣”;最喜歡“猜信封”活動，對穿插數學歷史故事的環節印象深刻;能分清長方形、正方形的特點和區別;對最后提出的“四邊形”概念感興趣。

（二）結論與反思

本節課在講“四邊形”的內容前，先進行“長方形和正方形的認識”教學，調整了教材上知識的呈現順序。雖然面對的是低年級學生，但學生對知識的理解從直觀感覺上升到理性分析的過程非常和諧，完成了由“動手”到“動腦”的提升，教學目標順利達成。

課后，筆者在對授課教師的訪談中了解到，數學史的融入為教師提供了新知引入的話題，為學生提供了探究活動的素材，對史料及其蘊含的思想、方法等進行重構后應用于課堂教學，能有效解決教學中的困惑;同時微視頻是一種比較便捷的運用數學史的方法，有助于促進數學史從歷史形態走向教育形態，能提高學生的學習興趣。

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