玩轉高考真題
——概率篇

蘇 玖

真題再現 （2020·浙江卷16）一個盒子里有1 個紅球、1 個綠球、2 個黃球共4個除顏色外相同的球，每次拿1 個，不放回，拿出紅球即停，設拿出黃球的個數為ξ，則P(ξ=0)_______，E(ξ)______．

思維延伸先確定ξ=0 對應的事件，再求對應概率的結果；第二空，先確定隨機變量，再求對應概率，最后根據數學期望公式求結果．

改編1

可以改編為求方差，于是有：

一個盒子里有1 個紅球、1 個綠球、2 個黃球共4 個除顏色外相同的球，每次拿1 個，不放回，拿出紅球即停，設拿出黃球的個數為ξ，則D(ξ)=______．利用方差公式的變形形式很快求解，由于展開化簡可以得用它求解方差可以減少計算量．

改編2

真題中的黃球可以推廣到n 個，于是有：

一個盒子里有大小、形狀、質地相同的1 個紅球，1 個白球，n個黃球(n≥ 2)，每次從中任取一個球，不放回，直到取到紅球為止，記取到黃球的個數為ξ，求ξ的概率分布列，數學期望和方差．

先利用擋板插空方法求出總的排法，第二步求紅球前放k個黃球，然后將1 個白球放入前k+1個空位上，第三步求出紅球前有k個黃球的概率，第四步利用期望與方差公式求解．

改編3

如果有兩個白球，可以改編為：

一個盒子里有大小、形狀、質地相同的1 個紅球，2 個白球，3 個黃球，每次從中任取一個球，不放回，直到取到紅球為止，記取到黃球的個數為ξ，求ξ的概率分布列，數學期望和方差．

求解本題的關鍵：一是求出這些球的總的排列數，二是正確求出紅球前有k個黃球的排列數，白球可以放的位置有多少，這樣就可以確定紅球前有k個黃球的概率．

改編4

如果有m 個白球，n 個黃球，又可以得到：

一個盒子里有大小形狀相同的1 個紅球，m個白球，n個黃球，每次從中任取一個球，不放回，直到取到紅球為止，記取到黃球的個數為ξ，求ξ的概率分布列，數學期望和方差．

求解本題的關鍵：首先從m+n+1 個位置選一個位置先放紅球，再選出m個位置放白球，余下n個位置放黃球，求出所有的排列數；其次就是研究紅球前有k個黃球的排列數，對于每一種紅球與黃球的排列，利用插空法一個一個放入白球，每放入一個白球就多產生一個空擋，這樣就可以求出黃球在紅球前的排列數，即可求出相應的概率．

改編5

如果紅球的個數為2 個，白球和黃球個數2 個或2 個以上，又可以得到：

一個盒子里有大小形狀相同的2 個紅球，2 個白球，3 個黃球，每次從中任取一個球，不放回，直到取到紅球為止，記取到黃球的個數為ξ，求ξ的概率分布列，數學期望和方差．

抓住問題的本質，第一個紅球前黃球的個數對應的排列數求法，第一個紅球前黃球個數依次為0，1，2，3，但對于每一種情況，又要考慮白球的排列問題，在紅球前白球的個數也是隨機變量，即可以放0 個白球、1 個白球、2 個白球，利用排列組合知識即可求解．

改編6

對于隨機變量的分布列也可以設置參數，滿足一定條件，研究新的問題．

已知隨機變量X的分布列為:

其中a，b，c為常數且成等差數列，求隨機變量X數學期望的取值范圍和方差的最大值．

利用分布列的性質和等差數列，將三元問題轉化為一元(如用c表示a，b)問題，并求出c的取值范圍，將數學期望和方差建立關于C的函數，最后利用函數知識求解．

改編7

也可以把等差數列改為等比數列，于是有：

已知隨機變量X的分布列如表所示：

X 0 1 2 P a b c?

若4a，b，c成等比數列,則D(X)的最大值為（ ）

先建立a，b，c的方程組，再寫出方差的表達式，觀察變量之間的關系，再尋求求解策略．

做中悟道：從浙江的一道填空題出發，從如下幾個層次進行改編，一是改編問題的方式，即將求數學期望改編為求方差，這樣既復習數學期望公式，又復習方差知識；二是紅球個數為1，對另兩種顏色球的個數進行推廣，如改編題2-4；三是增加紅球個數為2 個，再研究分布列、數學期望與方差，這樣問題的難度有所增加，需要有一定的數學思維能力才能完整解答；四是結合生活生產的實際情境和統計知識，如分層抽樣方法，相當于先求出各種顏色球的個數，再利用古典概型求出分布列；五是在分布列中設置參數，結合代數相關知識求數學期望與方差的范圍或最值問題，如改編題7，8.

點撥解析

真題：因為ξ=0 對應事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，所以隨機變量ξ=0,1,2，所以

改編1：由方差公式及真題解析的過程知，其中μ=Eξ(ξ)，因此所以隨機變量的方差為

改編2：ξ的所有可能取值為0，1，2，…，n．1 個紅球，1 個白球，n個黃球排成一列有種排法．設第1 個紅球前有k個黃球，k=0,1,2,…n，此時可看作將n個黃球排列后，紅球只有1 種放法．n個黃球和1 個紅球產生(n+2)個空檔，選1 個位置放白球，有種排法．所以P(ξ=k)=分布列略．

改編3：ξ的所有可能取值為0，1，2，3．1 個紅球，2 個白球，3 個黃球排成一列有=60種方法．

設第1 個紅球前有k個黃球(k=0,1,2,3)，其中這些排列中，在紅球和黃球排列好后，有五個空擋．（1）我們從中選兩個空擋各放一個白球，共有種方法，（2）選一個空擋放兩個白球有=5種方法這樣共有15 種方法．

P(ξ=k)=k=0,1,2,3．ξ的分布列略．

改編4：ξ的所有可能取值為0,1,2,,…n．1 個紅球，m個白球，n個黃球（共m+n+1 個球）排成一列有種排列方法．

其中紅球前有k個黃球(k=0,1,2,…,n)的排法是：

在紅球和黃球排列好后，有(n+2)個空擋，選一個空檔放一個白球，這時產生(n+3)個空擋，選一個空擋放白球，…，依次下去，共有(n+2)(n+3)…(n+m+1)種方法．

但是m個白球完全相同，無順序性，所以共有種方法．

所以紅球前有k個黃球的概率為P(ξ=k)=其中k=0,1,2,…,n．

分布列略，數學期望E(x)=

方差D(X)=

改編5：ξ 的所有可能取值為0,1,2．2 個紅球2 個白球3 個黃球排成一列可以理解為，從7 個位置選2 個位置放紅球，再從剩下5 個位置選2 個放白球，余下3 個放黃球，共有=210種方法．

（1）ξ=0，摸到紅球前沒有黃球，第一個紅球前白球個數為0，1，2．所以有=84種方法．

（2）ξ=1，摸到紅球前有1 個黃球，第一個紅球前白球個數為0，1，2．所以有=63種方法．

（3）ξ=2，摸到紅球前有2 個黃球，第一個紅球前白球個數為0，1，2．所以有=42種方法．

（4）ξ=3，摸到紅球前有3 個黃球，第一個紅球前白球個數為0，1，2．所以有=21種方法．

所以P(ξ=0)=

改編6：由概率分布的性質得a,b,c∈ [ 0,1],a+b+c=1．①

又因為a，b，c為成等差數列，所以有2b=a+c②．

（1）E(X)=a+2b+3c=+2c，因為所以因此

改編7：依題意，有則b2=4c(1?b?c)，即(b+2c)2=4c．

注意到E(X)=b+2c，E(X2)=b+4c，則D(X)=E(X2)?(E(X))2=(b+4c)?(b+2c)2=(b+4c)?4c=b．由基本不等式，得從而D(X)的最大值為當且僅當時取等號．故選項C 正確．