讓自己的數學“慢生長”
——關于切點弦問題的探究

南師附中秦淮科技高中高二（2）班 陳思成

一、源頭

在假期“刷題”時，我遇到了這樣一題：

引例已知圓O：x2y2+=9，P為直線x+y2?9=0 上一動點，過點P向圓O引兩條切線PA，PB，A，B為切點，求證：直線AB恒過定點．

經過分析，不難發現兩種思路：

其一，切點弦AB可以看作圓O和以OP為直徑的圓相交所得的弦．兩圓方程相減即可獲得直線AB的方程，那么解決直線AB過定點就自然而然．

其二，不妨設A(x1,y1)，尋求A的軌跡(直線)．由，由圓的切線的性質易得設P(x0,y0)，則于是有即x0x1+y0y1?(x12+y12)=0．又因為點A坐標滿足方程x2+y2=9，點P坐標滿足方程x+2y?9=0，于是x0=9?2y0，從而y0(y1?2x1)+9x1?9=0．要使得y0“失效”，可得直線AB過定點D(1,2)，當PA斜率不存在時，經驗證其也過D．得證．

二、出新

引例分析完了，我心中難以平靜：既然引例中圓的切點弦過定點，那么與圓形狀上相似的橢圓，它的切點弦是否也過定點？

1、探尋思路

例1已知橢圓C：P為直線x+2y?9=0 上一動點，過點P向C引兩條切線PA，PB，A，B為切點，則直線AB是否過定點？

引例中的解題方法是否可用？

結論是：在橢圓中，不能再利用兩圓方程求公共弦方程，只能從思路二入手：即設A(x1,y1)，求點A的軌跡方程．設P(x0,y0)，則有直線AP的斜率為那么，直線AP的斜率可否用另一種形式表示？如類似引例中的思路二“由圓中切線的性質得

2、突破難點

當前的主要問題就變成了：

有三種思路可以解決該問題．

思路一：由圓類比橢圓，如果題干中的曲線是圓x2+y2=r2，則過A的切線方程為x1x+y1y=r2，可以看作將圓方程中的“x2”寫成“x?x”，將其中一個x替換為x1，同理一個y替換為y1．通過類比推理，可以得到過A點的橢圓的切線方程為所以

思路二：判別式法，設過A的橢圓切線方程為y?y1=k(x?x1)，與橢圓聯立得到方程令?=0，解得

思路三：隱函數求導，將y視為關于x的函數，對橢圓方程兩邊同時求導，于是有所以

3、解決問題

回到例1，解題過程如下：

解法一設A(x1,y1)，P(x0,y0)，則

又因為A(x1,y1)滿足橢圓方程同時P(x0,y0)滿足直線方程x+2y?9=0，于是x0=9?2y0?y0(3y1?2x1)+9x1?9=0．

要使得y0失效，可求直線AB過定點

當PA斜率不存在時，驗證其也過點D．

綜上，直線AB恒過定點D．

4、溯源化歸

在例1 中，曲線由圓變為橢圓，由于橢圓和圓具有相似性質，于是嘗試將例1 化歸為引例，筆者想到了“換元”，這樣就有了:

解法二令于是橢圓方程轉化為x′2+y′2=1．

直線方程x+2y?9=0 對應轉化為

橢圓的切點弦問題便化歸為圓的切點弦問題，解得圓的切點弦過定點

當PA斜率不存在時,驗證其也過點D．

綜上，直線AB恒過定點D．

回顧反思：左邊的過程，其實是將原坐標系中x,y分別變為原來的倍和倍，得到x′,y′，也就是將坐標系進行伸縮，將橢圓變換為圓，這樣的變換，稱作平面直角坐標系中的伸縮變換．

三、遷移

研究了橢圓，筆者不由聯想到另一種圓錐曲線——拋物線，其切點弦是否也與圓和橢圓具有相似性質呢？

例2已知拋物線C：y2=4x，P為直線y=3x+2上一動點，過點P向C引兩條切線PA，PB，A，B為切點，則直線AB是否過定點？

解析“照葫蘆畫瓢”，設A(x1,y1)，尋求A的軌跡(直線)，設P(x0,y0)，則根據判別式或隱函數求導等方法，可求得過點A的切線斜率為

又因為點A滿足方程y2=4x，同時點P滿足方程y=3x+2，其切點弦方程為：2x1?2y1+x0(2?3y1)=0，易求弦AB過定點

當AP斜率不存在時，驗證其也過點D．

綜上，直線AB恒過定點D．

可見對于拋物線也是有類似結論的．

當然，在以上研究的問題中，直線與曲線都無公共點，否則直線上的動點移動到曲線內部時，無切線，也就談不上切點弦過定點．

四、展望

在探究了圓、橢圓和拋物線的相關問題后，不由讓人猜想：雙曲線是否也有上述性質呢？利用例2 的方法，可以判斷當直線上的點在雙曲線外部(不在漸近線上)時，切點弦過定點；直線上的點在雙曲線外部(漸近線上)時，只有一條切線，沒有切點弦．

回顧本次研究，完全是我做完了引例后自然的聯想，我想這就是老師常說的“生長”的數學觀，對提升我的數學素養與能力水平有重大意義．

研究看上去是“慢步暢思”，但從長遠看，必然超越“奔跑的先鋒”，由此可見，快和慢，在一定條件下是可以相互轉化的．慢下來，是為了更快．我想我們要有企鵝的秉性，抗拒嚴寒，沉下去，潛入水中，聚精會神地積蓄能量．遠大前程，又怎是一蹴而就的呢？