Heston模型下基于期權投資的魯棒最優控制

楊 璐, 朱懷念, 張成科

(1.廣東工業大學經濟與貿易學院,廣東廣州510520;2.廣東工業大學管理學院,廣東廣州510520)

1 引 言

資產–負債管理是金融風險管理領域的經典問題,它以研究負債情形下組合證券投資問題的最優投資策略和風險控制為目標,以實現資產最優配置和套期保值為目的的一種現代金融管理方法,在理論界和金融機構得到了快速發展.盡管資產負債管理問題在多個領域已經有了廣泛的運用,從現有的文獻可知,仍有兩個方面需要進一步的研究.

一方面是現有的文獻中很少涉及到期權,現實中,期權的投資可以有效的對沖金融風險.所以,投資者在金融交易過程中廣泛使用各種各樣的金融衍生工具,比如互換期權、遠期期權以及信用衍生品等.據貨幣監理署辦公室發布的銀行交易及衍生業務活動的季度報告顯示1https://occ.gov/publications/publications-by-type/other-publications-reports/semiannual-risk-perspective/semiannual-risk-perspective-fall-2016.pdf: 2016年第一季度來自于期權的信貸敞口增加,其凈信用風險敞口從651 億美元增加至4 601 億美元.因此,期權交易與投資是高度相關的.所以,在資產–負債管理問題中很有必要考慮期權問題.近年來,一些學者在投資組合中也考慮了期權問題,其中Liu 等[1]指出期權對提高投資者的福利至關重要.傅毅等[2]研究了含有期權的最優投資與比例再保險問題.Hsuku[3]研究了動態消費和遞歸效用函數下衍生證券的資產配置問題.Fu 等[4]在連續時間的Markov 機制轉移市場中研究了帶有期權的投資組合問題.Escobar 等[5]研究了投資股票和期權下風險厭惡者的最優投資策略問題.Zeng 等[6]研究了養老金管理者在隨機收入和隨機波動率下基于期權的魯棒最優投資策略.Shen 等[8]研究了Heston 隨機波動模型下基于均值–方差帶負債過程的最優控制問題,Li 等[7]在Shen 等[8]的基礎上增加了期權.

另一方面, 不斷有學者開始關注模型不確定性風險對最優投資策略的影響.在現實的金融市場中, 風險資產的期望回報率往往很難被精確估計,作為一個明智的決策者,當意識到模型中漂移參數的不確定風險時,應該將此因素考慮進來.所謂模型不確定性,是指由現實觀測數據所得到的估計模型可能會偏離于真實的模型, 我們將此估計的模型稱為參考模型, 而投資者對模型及其參數的不確定性持模糊厭惡態度.Ellsberg[9]是關于模糊厭惡的第一個研究者,后來Bossaerts 等[10]和Dimmock 等[11]研究了模糊不確定對投資行為的影響.Branger 等[12]研究了關于跳躍和擴散風險的模糊風險厭惡下的最優投資組合問題.Flor 等[13]在隨機利率的背景下,考慮了模糊風險厭惡投資者的最優投資策略.Munk 等[14]研究了在隨機利率風險和通貨膨脹風險下,模糊風險厭惡投資者的投資組合管理問題.Yi 等[15]、Zeng 等[16]和Zheng 等[17]研究了不同框架下的魯棒最優投資再保險問題.

由以上文獻可以看出,目前在資產–負債管理中把兩者結合起來進行研究的文獻幾乎沒有,然而期權在資產負債管理的投資中也越來越受歡迎,同時投資者一般也持模糊厭惡態度.本文在Zeng 等[6]研究的基礎上,把模型的不確定考慮進來,在期權效用最大化的準則下研究了帶有負債的魯棒最優投資問題.與本文研究相關的文獻是Li 等[7],他們在Heston 模型下研究了均值–方差型的負債管理問題,但是未考慮模型的不確定性.而魯棒性問題的文獻大都在最優投資再保險方面.所以,本文的創新之處是將模型的不確定性和期權投資考慮進資產–負債管理問題中,在Heston 模型下研究帶有負債過程的魯棒最優投資問題.

2 魯棒最優投資模型

2.1 金融市場

假設金融市場由無風險債券、風險股票和以股票為標的資產的期權構成,無風險債券的價格B(t)滿足

其中r 為無風險利率.

風險股票的價格過程S(t)服從股票價格波動的方差V(t)服從

其中W1(t),W2(t)是定義在概率空間上相互獨立的布朗運動.股票價格波動的方差V(t)是一個隨機過程,η1表示風險源W1(t)的市場價格參數,δ >0,κ>0,σ >0 分別為長期均值、均值回歸速度和股票方差波動率,ρ ∈(?1,1)為股票價格和股票價格方差之間的相關性.

此外,投資者也會投資于期權.根據文獻[17],設時刻t 期權的價格為O(t,S(t),V(t)).為了方便,簡記為O(t),則期權價格滿足

其中η2表示風險源W2(t)的市場價格參數,OS和OV分別是期權價格O(t)對于股票價格S(t)和股票價格方差V(t)的偏導數.對于給定的物理測度,在金融市場無風險資產和風險資產服從的隨機微分方程中存在唯一的風險中性測度,可以證明金融市場是完備的,并且存在唯一的定價核[7].

假設投資者在時間區間[0,T]內面臨一個不可控的與隨機波動有關的外生負債L(t),其演化過程服從如下隨機微分方程

其中μ≥0,α ≥0 是漂移系數,β1,β2和β3是波動系數,在此假設負債是不可控的,即投資者不能通過改變交易策略來決定其想要承擔負債的價值.

2.2 魯棒優化問題

以上的框架是傳統的投資組合模型,一般投資者是風險中性的.然而,現實中,投資者通常是模糊厭惡的,并且總想使自己免于最壞的情形,即擔心模型及其參數的不確定性風險.當投資者在投資組合問題中加入模糊厭惡的因素后,這里用與真實概率測度P 等價的可替代測度Q 來描述獲取投資者模糊性知識的參考模型, 認為參考模型只是真實模型的一個近似, 因而希望考慮用一個由所有可替代測度Q 構成的集合Q[18],使得Q:={Q|Q ～P}.這里將在可替代測度集合Q 中重新考慮模型.

定義Φ:={(φ1(t),φ2(t),φ3(t))}t∈[0,T],其滿足:

1)φ1(t),φ2(t)和φ3(t)在t ∈[0,T]上Ft–可測;

3)φ1(t)>0,φ2(t)>0,φ3(t)>0.

定義Θ 為滿足上述條件的所有可測過程構成的空間.根據Girsanov 定理, 對于每一個可替代測度Q ∈Q,將存在一個循序可測過程Φ,使得

其中

根據Φ 的定義,知{ΛΦ(t)|t ∈[0,T]}是一個Q–鞅.進一步,根據Girsanov 定理,在可替代測度Q ∈Q下標準布朗運動可以表示為

其中WΦ1(t),WΦ2(t)和WΦ3(t)是一維標準布朗運動.

顯然,在可替代測度下的擴散模型只會改變漂移參數.在可替代測度Q ∈Q 下,股票的價格過程、波動的方差過程和負債過程可以重新表示為

2.3 財富過程

對于任意的t ∈[0,T],假設Xπ(t)是投資者在時刻t 持有的財富,πS(t)和πO(t)分別是投資者在時刻t投資到風險股票和期權上的資金,Xπ(t)?πS(t)?πO(t)是投資者在時刻t 投資到無風險債券上的資金.用π = {(πS(t),πO(t))}t∈[0,T]表示投資者的一個投資策略,則投資者在時刻t 基于投資策略π 下的財富過程Xπ(t)為

在可替代測度Q ∈Q下,財富過程Xπ(t)可以表示為

扣除負債后投資者的凈資產為

定義1(容許策略) 稱策略π ={(πS(t),πO(t))}t∈[0,T]是可容許的,如果滿足如下條件

(i)π(t)是Ft–循序可測;

(iii)設O =[0,T]×R×R+×R+,?(t,y,v,l)∈O,隨機微分方程(1)具有路徑唯一的解{YΦ,π(t)}t∈[0,T].

定義Π 為所有可容許策略所構成的集合.

3 魯棒最優投資策略

假設投資者具有冪效用函數,投資者同時具有風險和模糊厭惡雙重特性.此時,投資者希望在最壞的市場環境中尋找最優投資策略實現魯棒性.所以,投資者面對如下的魯棒優化問題

命題1[5]存在唯一的函數H(t,y,v,l)滿足

其中

根據命題1,定義H(t,y,v,l)為效用最大化問題的值函數.為了便于分析,設,和是大于0 的模糊厭惡參數,它們用來描述投資者對模糊厭惡的態度.這里允許股票價格的不確定性程度與股票的波動性不同.記為投資者對股票市場回報率的模糊厭惡程度,為投資者對股票波動風險的模糊厭惡程度,為投資者對負債風險源的模糊厭惡程度.

下面主要研究魯棒優化框架下投資者的最優投資策略問題.令C1,2,2,2(O)表示由函數ψ(t,y,v,l)構成的集合，其中ψ(t,·,·,·)在t ∈[0,T]上一階連續可微,ψ(·,y,v,l)在y ∈R,v ∈R+,l ∈R+上二階連續可微.為了方便,φ(t) = (φ1(t),φ2(t),φ3(t)),π(t) = (πS(t),πO(t))和θ(t) = θ(θ1(t),θ2(t))分別簡記為φ = (φ1,φ2,φ3),π = (πS,πO)和θ = θ(θ1,θ2),對于任意(t,y,v,l) ∈O 和ψ(t,y,v,l) ∈C1,2,2,2(O),定義生成元為

其中ψt,ψy,ψv,ψl,ψyy,ψlv,ψvv,ψyl,ψyv分別表示函數ψ 對于不同變量的偏導數.

根據動態規劃原理,相應的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程[5]為

其中邊界條件為J(T,y,v,l)=U(y).

由文獻[5]知下述結論成立.

命題2如果存在一個函數J(t,y,v,l) ∈C1,2,2,2(O) 和一個控制(π?,Φ?) = {(π?(t),φ?(t))}t∈[0,T],{(π?(t),φ?(t))}t∈[0,T]∈Π ×Θ 滿足

3)AΦ?,π?J(t,y,v,l)=0, J(T,y,v,l)=U(y);

4) {J(τ,y,v,l)}τ∈?和是一致可積的, 其中ζ表示終止時刻τ ≤T 的集合,Φ?=則值函數為J(t,y,v,l) = H(t,y,v,l),最優策略為(π?,Φ?).

定理1對于魯棒最優投資問題,給定值函數(3)和扣除負債后的財富過程(1),其最優投資策略為

其中

相應的值函數為

其中

最壞的概率測度為

證明由式(5)可得

將式(7)左邊φ1,φ2,φ3的函數分別對φ1,φ2,φ3求偏導數,并令偏導數為0,所得方程的解為

將式(8)代入式(7)化簡整理得

將式(9)左邊θ1,θ2的函數分別對θ1,θ2求偏導數,并令偏導數為0,所得方程的解為

將式(10)代入式(9)化簡整理得

根據式(2)中的冪效用函數,推測式(11)中值函數的形式為

由式(12)可得

將式(13)代入式(11)化簡整理得

將式(14)拆分可得

解得

其中

推論1如果投資者是模糊中性的,即所有的模糊厭惡參數則最優投資策略和值函數分別為

其中

4 無期權下的魯棒最優投資策略

在不考慮期權的框架下,概率測度P 下的財富過程XΦ,π(t)為

投資者扣除負債后的凈資產為

最優投資問題為

相應的HJB 方程為

其中

下面的定理給出了無期權下的魯棒最優投資策略和最優值函數,由于定理2 的證明過程類似于定理1,囿于篇幅有限,此處不再給出詳細的證明過程.

定理2對于無期權交易時的魯棒投資策略問題,最優投資策略為

相應的值函數為

最壞的概率測度為

其中

5 數值模擬

為了分析模型參數對最優投資策略的影響及考慮魯棒性和期權交易對投資效用的影響,進行如下的數值模擬,其中參數取值來自Zeng 等[16],具體如表1 所示.

表1 參數的取值Table 1 Values of parameters

5.1 模型參數對魯棒最優投資策略的影響

下面基于定理1 主要分析均值回歸速率κ和波動系數σ對投資者魯棒最優投資策略的影響.

圖1 κ 和σ 對 和 的影響Fig.1 The effects of κ and σ on and

圖1 描述了股票價格波動的平均回復速率參數κ和波動系數σ對魯棒最優投資策略的影響.首先從圖中可以看到,隨著κ的增加,和的絕對值均隨之減少.這是因為κ為股票價格波動V(t)的平均回復速率,當ρ<0 時,股票價格波動V(t)與股票價格S(t)的運動方向相反,κ越大,V(t)波動的抵消效用就越弱,則意味著股票的價格波動增加,投資風險加大,故投資者會減持股票和衍生期權上的投資份額.其次,隨著σ的增大,和的絕對值均隨之減少,因為σ表示的是股票價格的波動率,σ增大,V(t)波動增大,意味著股票的價格波動增加,投資風險變大,故投資者會減持股票和衍生期權上的投資份額.

5.2 效用改善

在這一部分,將研究魯棒和期權交易對效用改善的影響,首先研究魯棒對投資者效用改善的影響,然后研究期權交易對投資者效用改善的影響.

對于第一種情形,主要研究魯棒對效用改善的影響,定義效用改善函數為

其中J(t,y,v,l),(t,y,v,l)如式(6)和式(15)～式(17)所示.

對于第二種情形,主要考慮是否要進行期權交易,定義效用改善函數為

圖2 κ 和σ 對 和 的影響Fig.2 The effects of κ and σ on and

圖2 描述了股票價格波動的平均回復速率參數κ 和波動系數σ 對投資者效用改善的影響.首先從圖中可以看到,和隨著κ 和σ 的變化而發生變化,且其值均大于0,說明考慮模型的魯棒性和期權投資均能增加投資者的效用.其次,從圖中可以發現,和均隨著κ 的增加而變小,隨著σ 的增加而增加,這是因為在股票價格波動過程中,取值較大的回復速率κ 和取值較小的波動參數σ 意味著股票價格波動的不確定性減少,因此投資者會面臨較低的波動率風險,故投資者的效用改善會隨著κ 的增加和σ 的減少而變小,這與Zeng 等[6]中的結論是一致的.

6 結束語

本文研究了隨機波動率模型下帶期權的資產負債管理的魯棒最優投資策略問題, 其中股票價格服從Heston 模型,投資人持模糊風險厭惡態度.為了應對波動性風險,投資者將自己的財富投資于期權.首先,獲得了冪效用準則下帶期權的資產負債管理的魯棒最優投資策略、最壞的概率測度及值函數的解析表達式和特殊情況無風險厭惡態度下的最優投資策略及值函數的解析表達式.然后,得出了無期權下魯棒最優投資策略、最壞的概率測度及值函數的解析表達式.最后,模擬了模型中的參數對投資策略和效用改善的影響.發現,在資產負債管理的魯棒最優投資策略中,有兩個因素起著重要作用.第一個因素是模糊風險規避,當一個投資者在參考模型中面臨模糊風險規避時,它通常會降低市場回報風險和波動風險的風險敞口,因為在一個不確定的環境中,采取保守策略是最優的.此外,投資者對股票和期權投資有明顯的模糊性.第二個因素是期權,期權具有提供頻繁交易機會和提高市場效率的便利性質,期權的投資可能會帶來巨大的效用改善.