剖析計算失誤原因，提出教學建議

王松英

[摘? 要] 文章以4的平方根計算失誤為例，具體闡述在初中數學計算中常見的失誤原因有思維定式的影響、新舊認知沖突與程序跳躍性錯誤等. 為了避免這些問題對計算的影響，筆者從順應學生認知發展需求，認識計算與結果的關系和建立概念與符號的認識三方面出發提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 平方根;計算;思維定式

運算能力是初中學生必備的基本技能之一. 新課標明確提出：“要注重學生的符號意識、數學感覺與運算能力等的培養[1] . ”計算作為體現運算能力的重要指標之一，在數學教學中具有舉足輕重的作用. 但從當前學生的實際計算水平來看，總存在著一些不盡如人意的地方，不少學生在一些簡單的計算中出現失分的現象讓人感到十分惋惜. 鑒于此，筆者以4的平方根計算失誤為例，具體剖析計算失誤常見的原因，并提出幾點教學建議.

常見計算失誤原因

1. 思維定式的影響

從心理學角度來看，思維定式是一種習慣性的反應，它具有促進問題解決與阻礙問題解決的雙重效應. 在初中數學計算中，學生受小學計算經驗的影響，容易出現一些因思維定式產生的計算錯誤. 筆者在教學中發現高頻率出現的受思維定式影響的計算錯誤有：（a+b）2=a2+b2;sin（A+B）=sinA+sinB;4的平方根為2等.

出現4的平方根為2的錯誤，從思維定式的角度分析，主要因小學時期對數的認識僅僅停留在正數上，對有理數尚未形成一個完備的體系，習慣性地認為4的平方根為2，而忽略了-2這個結論.

2. 新舊認知的沖突

新知的構建都是建立在舊知的基礎上的，而新知替代舊知必須經歷一個矛盾沖突的過程，有些學生在此過程中容易產生計算上的錯誤. 在對算術平方根有一定認識的基礎上學習平方根時，在概念模糊的狀態下，學生更傾向于用已有的知識結構代替新知，或將兩者合二為一地使用.

計算4的平方根時，學生因無法清晰地辨識平方根與算術平方根這兩個概念，而將它們混為一談，在模棱兩可中出現偷梁換柱的現象. 理所當然地認為2的平方為4，那么4的平方根必然為2.

3. 程序跳躍性錯誤

教學中，我們常發現一些計算能力較強的學生在計算時條理清晰，過程明朗. 但一些運算能力較弱的學生，計算的精確度就大打折扣，尤其是涉及混合運算的計算，有些學生懶得書寫計算步驟，從而出現程序跳躍性錯誤，這也是初中數學計算中最常見的錯誤原因之一. 如一元二次方程的計算，一些學生未能掌握移項、去括號、合并同類項等計算順序，導致因程序混亂而出現計算錯誤.

平方根概念的形成主要建立在方程思想上，而方程思想又建立在代數結構的基礎上形成一種正序或倒序的綜合體，這種綜合體是正向思維與逆向思維的體現. 表征4的平方根時需要動用逆向思維，這給部分學生帶來了一定的思維障礙，從而出現程序跳躍性的錯誤，單純地認為4的平方根為2.

避免計算錯誤的教學建議

學生出現的任何錯誤信息表征都與教學有著千絲萬縷的聯系. 作為教師，應剖析學生計算錯誤形成的根本原因，從而改進教學設計與教學方式，以提高學生的運算能力. 筆者在近些年的教學中，著手研究了如何避免計算錯誤發生的教學方法. 在此，提出以下幾點教學建議.

1. 順應學生認知發展需求

皮亞杰的認知發展理論中提到：兒童認知發展的第三和第四階段是具體運算階段與形式運算階段. 其中，第三階段（即具體運算階段）的兒童思維活動離不開具體事物或內容的支持，而第四階段（即形式運算階段）的兒童思維則不需要具體事物或內容支撐 [2].

例如平方根這部分知識的學習，該時期學生的認知水平還處于具體運算階段或三四階段的交界處. 此時若想獲得平方根知識，自然離不開具體事物或內容的支持. 因此，教師可借助具體的事物幫助學生實現平方根知識的內化.

在練習中，教師也不能將眼光只停留在問題的答案是否正確上，更重要的是鼓勵學生將概念獲得的過程與結果完整地表述出來. 如求出4的平方根，可鼓勵學生如此表達：因為（±2）2=4，所以4的平方根為±2. 將所表達的信息看作一種習慣或固定形式來執行，就容易形成一種條件反射. 學生在個案中強化對概念的認識，對于一些習慣于過程型導向的學生效果尤為明顯.

將整體學習分解為一個個局部記憶，學生在“刺激——反應”的慣性中逐漸實現量變到質變的飛躍，這為提升學生的思維搭建了良好的平臺. 因此，順應學生認知發展的規律，完整學生計算練習的過程是避免計算錯誤發生的基礎.

2. 認識計算與結果的關系

為了讓學生理解計算規律，掌握計算技巧，教師真可謂是費盡心機. 不少教師將學生引入他們所熟悉的運算領域，利用類比的方法來進行各種計算，如加減法或乘除法的逆運算等. 在平方根教學時，將開平方與乘方的逆運算放在一起思考，這種做法無可厚非，但開平方與乘方還是有區別的，乘方的計算與結果是一一對應的關系，而開平方則不一定，這就要看運算形式的域與運算結果的域是否在同一范圍內.

如有理數范圍內的加法，其結果對應有理數，而開平方的作用的域是非負實數的范圍，其結果卻是全體實數，此時就會出現關于0對稱的正負實數，式子與結論不是逐一對應的關系.

為了讓學生理解這種非一一對應的關系，教師可通過數形結合（見圖1）的方式加深學生的印象. 這種不是一一對應的關系與后期所學的點與實數在數軸上是一一對應的內容形成類比. 在平方根階段強調對應思想可為后期的函數思想做鋪墊，這對后期涉及函數中自變量x的值與y一一對應的教學大有裨益.

平方根的重要性質之一就是計算結果具有不唯一性的特征，教師強調計算與結果不是逐一對應的關系，就是強化學生對此性質的理解. 此知識點的教學需用一定數量的計算來訓練學生的熟練性，學生在練習中感悟開平方與普通運算的區別，以形成開平方的條件反射，提高計算正確率.

3. 建立概念與符號的認識

符號意識是新課標提出的十個關鍵詞之一，主要指在理解的基礎上用符號來表示數學現象的變化規律或數量關系. 符號意識的建立是實現數學表達與思考的重要形式之一. 符號作為理學科特有的表現形式，其形成經歷了漫長而又曲折的過程，具有深厚的文化底蘊與內涵. 符號可視為一種特殊的記號，反映了數學現象或事物的邏輯關系或內在結構，是誘導學生思維發展的刺激物 [3].

平方根的概念就是通過符號信息與文字信息進行組合闡述的，在表征平方根信息時可借助符號的功能. 例如表征的主問題是開4的平方根，可先寫± ，再將要執行的4代入根號內，這樣就能減少丟掉-2的可能. 用這種方式表征的前提是要有良好的符號與概念對應意識，將± 與平方根準確地對應起來.

從廣義上來看，數學學習并不完全是為了知識，知識是文化的表現形式，因此，數學學習從根本上來說就是文化的傳承. 教師從這個高度來看待數學教學、設計教學活動，就會真正起到教書育人的效果. 而傳統的教學模式是機械式地向學生介紹 這個符號，這就顯得過于生硬，學生也難以消化. 教師可鼓勵學生參與平方根符號的設計活動或講述平方根符號形成的歷史文化等，以此為鋪墊引出平方根的符號與概念. 因有數學文化的潤澤和活動的支撐，學生對平方根概念與符號的認知建立會更加牢固.

總之，學習是一個訓練心理與行為能力的復雜過程. 教學中的任何一個細節都會對學生的認知產生一定的影響. 作為數學教師，應立足于學生的認知發展需求與規律，重視學生計算能力的培養，根據學生的興趣全方位地關注整個教學過程，避免因思維定式、新舊知識互相影響以及程序錯誤而導致一些計算錯誤的發生.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 全日制義務教育數學課程標準[S]. 北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]鄭毓信，梁貫成. 認知科學——建構主義與數學教育[M]. 南京：江蘇教育出版社，1999.

[3]張慶林. 走進學生心靈? 把握教學細節——談輕負高質的數學教學策略[J]. 初中數學教與學，2016（16）.