對“直接寫答案”的考題的命題探討

陸月平 陸祥雪

[摘? 要] 近年來，許多地方的中考數學試卷解答題中，出現了“直接寫答案”的設問，即在主觀試題中融入客觀試題. 文章通過對2019年、2020年中考數學中此類問題的研究，探討相關命題的緣由，思考此類命題的價值，以期達到對平時教學工作及命題活動的指導.

[關鍵詞] 中考試題;直接寫答案;命題探討

不知從什么時候開始，各地中考試卷在一些解答題中出現了“直接寫答案”式的設問，這相當于在主觀題中融入客觀試題. 筆者分析了2019年、2020年全國45份中考試卷后發現，2019年有21份中考試卷含有這樣的試題，而2020年則有15份中考試卷含有這樣的試題，比例分別達到46.7%和33.3%，且有些試卷出現多道這樣的設問，其中大多在壓軸題中出現. 這種命題方式是基于怎樣的考慮？此類命題的價值何在？本文主要對這類試題進行探討.

基于考查幾何直觀

考題呈現 （2019·重慶A卷）在初中階段的函數學習中，我們經歷了“確定函數的表達式——利用函數圖像研究其性質——運用函數解決問題”的學習過程. 在畫函數圖像時，我們通過描點或平移的方法畫出了所學的函數圖像. 同時，我們也學習了絕對值的意義a=a（a≥0），-a（a<0）.

結合上面經歷的學習過程，現在來解決下面的問題：

在函數y=kx-3+b中，當x=2時，y=-4;當x=0時，y=-1.

（1）求這個函數的表達式;

（2）在給出的平面直角坐標系中，請用你喜歡的方法畫出這個函數的圖像，并寫出這個函數的一條性質;

（3）已知函數y= x-3的圖像如圖1所示，結合你所畫的函數圖像，直接寫出不等式kx-3+b≤ x-3的解集.

考題分析? 本題先通過閱讀材料來復習解決新問題的相關知識及方法，再用這些知識來解決問題，既考查了一次函數、一元一次不等式、二元一次方程組等知識及數形結合思想、分類思想等，又考查了學生的現場學習能力. 第（3）問的要求是結合圖像解不等式，直接寫出解集，命題者之所以這樣設問，主要是為了考查學生的幾何直觀能力，即把“圖像特征”轉化為用“代數表示”，借助圖像直觀求得解集，而非用不等式的性質去求解集. 題目本身已經給出了求解的方法——圖像法，也就是要求通過直觀判斷來解，所以沒有必要寫出嚴格的演算過程. 實際上寫過程也應該寫觀察圖像的方法.

類似的試題還有：

（2020·北京）在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像由函數y=x的圖像平移得到，且經過點（1，2）.

（1）求這個一次函數的解析式;

（2）當x>1時，對于x的每一個值，函數y=mx（m≠0）的值大于一次函數y=kx+b的值，直接寫出m的取值范圍.

基于考查合情推理

考題呈現？搖（2019·北京）在△ABC中，D，E分別是△ABC兩邊的中點，如果DE上的所有點都在△ABC的內部或邊上，則稱 為△ABC的中內弧. 例如，圖2中 是△ABC的一條中內弧.

（1）如圖3，在Rt△ABC中，AB=AC=2 ，D，E分別是AB，AC的中點，畫出△ABC的最長的中內弧 ，并直接寫出此時 的長.

（2）在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點.

①若t= ，求△ABC的中內弧 所在圓的圓心P的縱坐標的取值范圍;

②若在△ABC中存在一條中內弧 ，使得 所在圓的圓心P在△ABC的內部或邊上，直接寫出t的取值范圍.

考題分析? 此題是以“新定義”為背景的代數與幾何的綜合性試題，突出考查學生獲取知識的過程及學生的綜合解題能力，涉及幾何直觀、數形結合及分類討論思想，對考生分析與解決問題的能力及數學素養要求很高. 其題目設計大體為：第一步，結合圖形通過解答一個條件具體的數學問題來達到對新定義“三角形中內弧”的初步認識;第二步，引入坐標系，與代數綜合，通過進一步解答特殊的數學問題來初步形成確定△ABC的中內弧的關鍵要素“圓心”的方法及結論. 設 所在圓的圓心為P，由△ABC的中內弧的定義，可知 上的點在△ABC的內部或邊上，這樣進一步轉化為⊙P與△ABC三邊的位置關系. 我們可以得到如下結論.

結論1：圓心P在DE的垂直平分線上.

結論2：①如果⊙P與BC相離或相切，與AB相切或相交的另一個交點在D上方，與AC相切或相交的另一個交點在E點上方，那么DE下方的 即為△ABC的中內弧;②如果⊙P與AB相切或相交的另一個交點在點D的下方，⊙P與AC相切或相交的另一個交點在點E的下方，那么DE上方的 是△ABC的中內弧.

結論3：①如圖4，如果⊙P與BC相離或相切，且∠PDA≤90°，∠PEA≤90°，那么DE下方的 即為△ABC的中內弧;②如圖5，如果∠PDB≤90°，∠PEC≤90°，那么DE上方的 是△ABC的中內弧.

結論4：①如圖4，如果DE下方的 為△ABC的中內弧，那么⊙P與BC相離或相切，且∠PDA≤90°，∠PEA≤90°;②如圖5，如果DE上方的 是△ABC的中內弧，那么∠PDB≤90°，∠PEC≤90°.

對于考題第（1）問，學生可以先畫出△ABC的中內弧 ，對 的長短進行探索，于是可直觀判斷出當DE是 所在圓的直徑時， 最長（如圖6），且長度為π. 這里，結論的得到是通過操作發現的，是借助幾何直觀，通過合情推理、猜想得到的，體現了數學的發現，但要成為數學結論，還需要進行證明，即從實驗幾何到論證幾何，以體現數學的嚴謹特性.

對于考題第（1）問，若要嚴格推理說明，可能所用知識已完全超出初中數學的范疇. 設 所在圓的圓心為P，由結論4可知，①當DE下方的 是△ABC的中內弧時，圓心P在DE上或DE上方（如圖7）;②當DE上方的 就是△ABC的中內弧時，∠PDB=∠PEC≤90°，則圓心P在DE下方（如圖8）. 設 所對的圓心角為2α（α是用弧度制表示）.

在 的長度計算公式l=2αr中，因為r= ，所以l= . 從表達式中我們可以看到，當α是銳角時，sinα隨α的增大而增大，這樣分子、分母同時增大，據此我們無法判斷l隨α變化的情況. 要判斷l隨α變化的情況，需要用高中的導數來解決. 因為l′= ′= ，又（2sinα-2αcosα）′=2cosα-2（cosα-αsinα）=2αsinα，α∈0， ，而當α∈0， 時，2αsinα>0，所以2sinα-2αcosα在區間0， 內單調遞增. 所以2sinα-2αcosα>0. 所以當α∈0， 時，l′>0，即l= 在區間0， 上單調遞增. 所以當α= 時，l最長，即當DE是 所在圓的直徑時，DE下方的半圓弧 最長，且最長值為π.

從上述解答過程可以看出，將問題設計成“直接寫答案”是合情合理的.

對于考題第（2）問，網上及一些中考復習資料上的解答都是借助直觀來解決的. 其實此問的第①小題可以用結論1和結論2來解決. 如圖9，連接DE，圓心一定在線段DE的垂直平分線上. 作DE的垂直平分線FP，垂足為F，作EG⊥AC交FP于點G. 當圓心P在DE上或在DE上方時，只有DE下方的弧才符合要求. 此時⊙P與BC相切或相離就行，所以點P的縱坐標m需滿足m≥1，m≥ ，解得m≥1. 當點P在DE下方時，設PF交AC于點M（如圖10），⊙P與AC相切或相交且另一個交點在E點的下方即可，因為∠PME=45°，所以∠EPF≤45°. 因為AC所在直線的函數解析式為y=-x+2，所以M ， . 因為PE≥ME，由勾股定理知PF≥MF，即1-m≥ ，所以m≤ . 綜上所述，滿足條件的點P的縱坐標m的范圍為m≥1或m≤ .

考題第（2）問第②小題也可以用結論1和結論2來解決. 設P（t，m），則⊙P的半徑為 ，點P到BC的距離為m. 若點P在DE上或在DE上方（如圖11，K，L分別是DE的垂直平分線與BC，AC的交點），則當⊙P與BC相離或相切時， 是△ABC的中內弧，即m≥ ，所以t2≤2m-1. 因為AL=LE= EC，所以KL= OA= ，L點的坐標為t， . 因為點P在△ABC的內部或邊上，所以1≤m≤ . 所以0

從上述解答過程可以看出，對于考題第（2）問第②小題，如果要完整地表達出解題過程，要花費不少精力與時間，對學生的表達要求也比較高，部分學生會解但表達能力較弱，此時他們就會感到困難，所以這里用“直接寫答案”的設問，有面對大多數考生情況的考慮，當然可能還有便于閱卷的原因. 如果考生表達得不明晰，那么就會給教師閱卷及評分帶來不便. 直接寫答案能讓考生直奔答案而去，命題者此時充分考慮了考生所處的時空環境及考查目的.

2020年北京中考數學第28題第（3）問同樣采用了“直接寫答案”的設問，注重考查學生的直觀猜想、合情推理能力，同樣地，要將第（3）問清晰地表達出來也不容易. 具體的題目如下.

在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點，AB=1. 給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分別為A，B的對應點），線段AA′長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”.

（1）如圖13，平移線段AB得到⊙O的長度為1的弦P P 和P P ，則這兩條弦的位置關系是？搖_______;在點P ，P ，P ，P 中，連接點A與點_______的線段的長度等于線段AB到⊙O的“平移距離”.

（2）若點A，B都在直線y= x+2 上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d ，求d 的最小值.

（3）若點A的坐標為2， ，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d ，直接寫出d 的取值范圍.

基于學生整卷用時

考題呈現？搖 （2019·河南）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α.點P是平面內不與點A，C重合的任意一點.連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉α得到線段DP，連接AD，BD，CP.

（1）觀察猜想：如圖14，當α=60°時， 的值是________，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是________.

（2）類比探究：如圖15，當α=90°時，請寫出 的值及直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數，并就圖15的情形說明理由.

（3）解決問題：當α=90°時，若點E，F分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時 的值.

考題分析? 此題屬于圖形變化問題，考查了圖形中一些變中不變的內容，及變中有變的特征. 由第（1）問變到第（2）問，△PAC∽△DAB的關系沒有變，只不過第（1）問中是相似的特殊情形——全等. 將第（1）問設計成填空題，命題者的意圖可能是一方面這個問題比較容易，另一個方面第（2）問與第（1）問的解法類似，且第（2）問比第（1）問難度大. 對于整道題來說，第（1）問為第（2）問做了鋪墊，沒有必要重復寫出解答過程，直接以填空題的形式出現，可為考生節約一點時間，讓考生將時間花在更具有思考性、挑戰性的問題上，有利于有實力的考生取得好成績. 當然，第（1）問的這兩個答案也容易被考生猜到，不過任何一份試卷對某一考生的效度、信度都不可能是100%的.

對于第（3）問，我們先來看看它的解答. 因為點P在直線EF上，故將點P分三種情況來考慮，即點P在FE的延長線上，點P在EF上，點P在EF的延長線上，其中點P在EF的延長線上的情況是不可能的，這樣就只用分兩種情況：

如圖16，當點P在線段EF上時，因為∠APC=∠APD=90°，E為AC的中點，所以PE=AE.所以∠PAE=∠APE. 因為E，F分別為AC，BC的中點，所以EF∥AB. 所以∠APE=∠PAB. 所以∠PAE=∠PAB=22.5°. 所以∠BAD=22.5°. 所以∠CAD=67.5°. 因為∠ACD=90°-∠PAE=67.5°，所以∠CAD=∠ACD. 所以DA=DC. 設PA=a，則CD=AD= a，CP=CD-PD= a-a= -1a. 所以 = =2+ .

如圖17，當點P在FE的延長線上時，AD=CD仍然成立，這是一個變中的不變. 設PA=a，則CD=AD= a，CP=CD+PD= a+a= +1a. 所以 = =2- .

從上述解答過程不難看出，第（3）問要求省略過程，直接寫出答案，一方面是為考生的時間讓路，另一方面，可能是兩種情況的解答有類似之處，若要寫過程，會感覺是重復一遍，沒有必要.

結語

綜上所述，關于解答題設計“直接寫答案”的問題，基本上是基于下列情況：一是側重考查學生的幾何直觀、合情推理能力;二是考查內容的重點不在解答的顯性過程;三是題目解答過程冗長、重復，說理時不易清晰表達;四是考生的時間有限. 在2020年的山西、河北、廣東的中考試題中，“直接”兩個字的下方還加了著重號，用于提示學生節約時間.

結合以上關于解答題中“直接寫答案”考題的分析，我們認為有以下幾個方面值得思考.

1. 教學思考

這種命題的設問方式，有客觀性試題的特點. 解題時，要有合理的分析和判斷，要求推理、運算的每一步驟都正確無誤. 這種命題的設問方式，從題型看是小題，實則都是一些具有探索性、思考性、綜合性的大問題，它們大多在壓軸題部分出現. 教師在講解時，要盡量講清解答的過程，做到“講清道明”，充分發揮題目對培養學生思維能力及數學素養的作用，引發學生對題目的深度思考. 對學生來說，做題時也要寫出過程，注意平時練習與應試作答的區別，以達到對問題的清晰認識，而非霧里看花.

2. 命題思考

這些設問一般都出現在試卷的壓軸題中，作為一道解答題，看不到解答過程，似乎與我們通常對解答題的一般要求相違背，當然，不拘泥于形式，注重考查的實質也無可厚非. 但缺少解答過程，會讓不少解題思路正確，甚至解題方法非常優美的學生，因算錯答案而遺憾地失去過程的得分，也會使通過審讀考生的詳細解答過程，評估考生的真實水平成為空話，且這樣還訓練了學生的應試策略. 如上述考題中的2019年河南中考題，對于第（3）問，學生可以通過設“PA=1”這種不嚴格的方法得到結論，或者有學生直接用22.5°的正切值來快速得到答案;對于第（1）問，學生也容易猜到答案，所以我們在命題時，采用這種設問方式時，還是應盡量避免出那些通過應試技巧就能得到答案的問題，比如靠“猜、蒙、量”等方式得到答案的問題，要綜合考慮整套試卷的設計，以及考題考查的內容、重點、思想、方法等方面的因素，合理使用這種設問方式. 筆者認為，考查學生的幾何直觀、合情推理能力時，采用這種設問方式比較合適.

3. 價值思考

從正面來看，如前考題分析所述，此處不再贅述. 數學作為一門嚴謹的學科，直觀猜想只是數學發現的方式，發現的結論還是必須經過論證才能得到確認，否則總歸是猜想. 而我們在評判時，只要求學生猜到正確結論. 如果學生可以清晰地說明猜想，那我們是否采用“直接寫答案”的命題方式，還需權衡利弊，綜合考慮;如果學生不能清晰地說明猜想，那么教師在講解時，必須先對題目進行深入的研究，否則如何對待學生的追問？此外，我們是否還有其他題目可以替代對學生合情推理能力的考查？這些都值得我們進一步探討.