課堂教學(xué)中學(xué)生易犯“錯誤”的原因分析和解決策略探索

尹士月

[摘? 要] 由于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和學(xué)生的審題不細(xì)心，在解題過程中總會出現(xiàn)各種各樣的錯誤解法，而這些錯誤解法的確能反映學(xué)生學(xué)習(xí)方法的問題和思維問題，通過對學(xué)生這些所犯的錯誤進(jìn)行分析研究，從而能得到一些有用的方法和策略，可以幫助教師改進(jìn)教學(xué)，也能幫助學(xué)生更好地掌握知識，避免常犯錯誤，變盲目性為嚴(yán)密性，變直覺思維為邏輯思維.

[關(guān)鍵詞] 思維誤區(qū);反思錯誤;提煉精華

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常會犯一些錯誤，教師一定要正確對待. 其實，學(xué)生出錯是知識形成過程中正常的認(rèn)知現(xiàn)象，哲學(xué)家黑格爾先生說過“錯誤本身乃是達(dá)到真理的一個必然環(huán)節(jié)”;《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也強調(diào)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度等方面的表現(xiàn)不是孤立的，在日常學(xué)習(xí)的全過程中，包括課堂學(xué)習(xí)、作業(yè)、復(fù)習(xí)和改錯的環(huán)節(jié). 學(xué)生要在教師的指導(dǎo)下及時改錯，或通過自己的反思及時改錯，分析自己錯誤的原因，提煉正確的方法，從而達(dá)到學(xué)習(xí)的目的.

知識點理解模糊，認(rèn)知結(jié)構(gòu)不完善

在課堂教學(xué)中，由于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識背景不同，他們的理解水平和表達(dá)水平也不一樣，因此出錯就在所難免. 在糾正錯誤時要加深學(xué)生的印象，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，完善學(xué)生對此知識點的理解，提高課堂的教學(xué)效果.

課堂教學(xué)片段展示一：

案例1 七年級數(shù)學(xué)上冊“冪的乘方和積的乘方”一節(jié)檢測概念掌握情況：計算（1）3x2·2x2;（2）3x2+2x2. 講授同底數(shù)冪的乘法時，計算3x2·2x2，學(xué)生容易出現(xiàn)的錯誤答案：5x2，6x2，5x4;計算3x2+2x2，學(xué)生容易出現(xiàn)的錯誤答案：5x4.

原因分析：這是學(xué)生對有理數(shù)的乘法和同底數(shù)冪的乘法等知識點掌握不熟悉而導(dǎo)致的錯誤，屬于概念界定不清產(chǎn)生的知識間的相互混亂. 計算3x2·2x2應(yīng)該是單項式和單項式相乘，分為“系數(shù)與系數(shù)相乘”和“同底數(shù)冪相乘”. “系數(shù)與系數(shù)相乘”也就是有理數(shù)乘法，“同底數(shù)冪相乘”依據(jù)的是同底數(shù)冪的乘法法則——底數(shù)不變，指數(shù)相加. 在教學(xué)過程中幫助學(xué)生弄清楚題中含有哪些運算，運用哪些法則，涉及哪些知識點，它們運算的順序和邏輯是什么，為什么要這樣去算. 如同底數(shù)冪的乘法法則——底數(shù)不變，指數(shù)相加，為什么呢？要弄清楚法則的來源，理解它們的意義，幫助學(xué)生理解、消化，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而也就不會犯這樣的錯誤了.

課堂教學(xué)片段展示二：

案例2 七年級數(shù)學(xué)上冊“余角、補角、對頂角”一節(jié)內(nèi)容，設(shè)計以下習(xí)題來檢測學(xué)生對補角的掌握情況：如圖1，若∠AOC與∠BOC是鄰補角，OD，OE分別是∠AOC，∠BOC的平分線，OF是OE的反向延長線，則∠AOE的補角是_____.

錯解1：很多學(xué)生說出答案∠BOE.

錯解2：∠BOE和∠COE.

教師問：滿足什么條件的兩個角互補？

學(xué)生答：和為180°.

教師再問：此題中有沒有其他的角加上∠AOE的和為180°？

學(xué)生思考了一會，回答：還有∠COE.

教師緊跟著問：為什么？

學(xué)生回答：因為OE是∠BOC的平分線，所以∠BOE=∠COE.

教師接著問：圖中還有沒有和∠BOE相等的角呢？

學(xué)生邊看題邊思考……

學(xué)生過了一會兒回答：還有∠AOF也是.

教師再問：那么正確答案是——

學(xué)生回答：∠BOE，∠COE和∠AOF.

教師表揚：這就對了嘛，探究得不錯.

變式訓(xùn)練：

教師緊跟著問：圖1中與∠AOD互余的角是——

學(xué)生想了想，回答：∠BOE，∠COE和∠AOF.

教師總結(jié)：要認(rèn)真審題，我們要把角平分線構(gòu)成的相等的角和對頂角構(gòu)成的相等的角都找出來，并驗證是否滿足互補或互余的條件. 考慮問題要全面，把所有滿足條件的角都找出來，不要漏掉任何一個條件，不要丟掉任何一個答案，更不要憑直覺解題，要注意解題的邏輯性和嚴(yán)密性.

應(yīng)用數(shù)學(xué)思考，防止直覺錯誤

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)思考是指運用“數(shù)學(xué)方式的理性思維”進(jìn)行的思考，在教學(xué)過程中要培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光看世界，從數(shù)學(xué)的角度去分析問題的素養(yǎng)，學(xué)會數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)思維，建立數(shù)感和符號意識，初步形成運算能力，建立空間觀念和數(shù)學(xué)模型，形成幾何直觀，發(fā)展形象思維和抽象思維，采用合情推理和演繹推理來嚴(yán)格證明.

課堂教學(xué)片段展示三：

案例3 如果用一根很長的繩子沿地球赤道繞一圈，然后把繩子放長30米，想象一下，這時繩圈與地球赤道之間的縫隙有多大（精確到1米）？假設(shè)各處的縫隙是均勻的，一只老鼠能穿過嗎？一只大象呢？

這個問題一拋出，學(xué)生便七嘴八舌，有的說能，有的說不能，有的說老鼠能穿過大象不能.

教師叫其中的一位同學(xué)A回答.

同學(xué)A：當(dāng)然不能.

教師問：為什么？

同學(xué)A：你想想看，赤道那么長，約40076千米，放長30米，相當(dāng)于沒有放長，沒有什么區(qū)別.

教師又問：那你說放長多少合適？

學(xué)生A：……

學(xué)生B：算一下就知道了.

學(xué)生C：設(shè)赤道半徑為R米，繩子放長30米后與地球赤道之間的縫隙為x米，根據(jù)外圈繩長減去赤道周長等于30米，通過這個等量關(guān)系列方程2π（R+x）-2πR=30，解得x= ≈5. 所以一只老鼠能穿過，一只大象也能穿過.

教師總結(jié)：通過計算，我們發(fā)現(xiàn)縫隙與地球的半徑R無關(guān)，以后我們解題時可不能跟著感覺走，有時我們的第一感覺即直覺思維是錯誤的，要通過嚴(yán)格的計算和邏輯推理進(jìn)行驗證，從數(shù)學(xué)的角度，用數(shù)學(xué)的思維去分析考慮問題.

分析錯誤原因，提煉有效方法

教師憑借多年的教學(xué)經(jīng)驗，能猜測到學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能會發(fā)生的一些錯誤. 然后從錯誤入手，逐步推進(jìn)，層層深入，把學(xué)生帶到預(yù)先設(shè)計好的陷阱中，當(dāng)學(xué)生知道中計了，再回過頭找原因，從而對錯誤有了再認(rèn)識. 學(xué)生通過“操作”“觀察”“實驗”“探究”等一系列活動發(fā)現(xiàn)和解決問題，思維在正確和錯誤之間不斷地碰撞，逐漸形成自己的方法和正確的認(rèn)識. 在這個過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生把直接經(jīng)驗和間接經(jīng)驗相結(jié)合，經(jīng)過自主的探究、論證、合作交流，抽絲剝繭，一步一步從不完善走向完善，從而對學(xué)習(xí)留下深刻的印象.

課堂教學(xué)片段展示四：

案例4 講解新課“直角三角形全等的判定”.

新課導(dǎo)引：PPT展示，問題：在△ACB和△A′C′B′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′，△ACB ≌△A′C′B′嗎？為什么？

師生開始探討.

教師：同學(xué)們，這兩三角形全等嗎？

學(xué)生：全等.

教師：那我們證明一下（教師板演）：因為∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′，所以△ACB≌△A′C′B′（SSA）.

教師：同學(xué)們，對嗎？

有學(xué)生說對，也有學(xué)生說不對，學(xué)生開始議論.

教師提問：請同學(xué)A談?wù)剬@道題證明過程的看法.

學(xué)生A：這個命題是對的，但證明過程是錯的，因為三角形的識別里沒有“SSA”，因此，這樣證明不對.

大部分學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)證明過程有問題，三角形全等判定方法應(yīng)該出了.

教師又問：那這兩個三角形不全等嗎？若全等，該如何證明呢？

學(xué)生開始討論……

過了一會兒，有學(xué)生舉手，教師說道：請同學(xué)B回答.

同學(xué)B：我們把這兩個三角形相等的邊AC和A′C′重合，因為∠C=∠C′=90°，所以B，B′，C（C′）三點共線，得到△ABB′是等腰三角形，從而得到∠B = ∠B′，可以用“AAS”“SAS”或“ASA”來證明兩直角三角形全等.

教師對同學(xué)B的回答比較滿意，并給予贊揚.

教師總結(jié)：通過同學(xué)們討論、分析和比較、推理和驗證，得到了對特殊的兩個直角三角形，只要滿足兩條邊相等就可以證明這兩個直角三角形全等，從而引出“直角三角形全等的判定方法（HL）”，并及時回顧一般三角形的全等判定方法，讓同學(xué)們從錯誤（SSA）中走出來，也對判定直角三角形全等的判定方法（HL）有了更深印象.

課堂教學(xué)片段展示五：

案例5 七年級上冊“平面圖形認(rèn)識 線段、射線、直線”通過習(xí)題鞏固概念.

已知線段AB=6，在直線AB上取一點P，恰好使 =2，點Q為PB的中點，求線段AQ的長.

很多學(xué)生在解題時只考慮P點在線段AB上的情況，求出AQ=5，而忽視了“在直線AB上取一點P”這個條件，從而丟掉了一種情況，因此出錯了. 針對這種情況，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生再次審題，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)P點還可能在線段AB的延長線上，滿足條件 =2，從而知道B為AP的中點，BP=AB=6，很快求出AQ=9，所以AQ的長為5或9.

在這里教師還可以繼續(xù)提問：P點會在線段AB的反向延長線上嗎？為什么？引導(dǎo)學(xué)生思考時，不能忽視條件和圖形，因為 =2，結(jié)合圖形，可知AP>BP，因此P點不可能在線段AB的反向延長線上. 找出它們的內(nèi)在聯(lián)系，探索出一般規(guī)律，思維方式不能單一，對前兩類進(jìn)行細(xì)化分類，這樣在糾錯的過程中培養(yǎng)學(xué)生運用分類討論的數(shù)學(xué)方法解決問題的能力，同時通過剖析錯因，滲透一些常用的數(shù)學(xué)思想和方法，讓解題思路更縝密，解題過程更嚴(yán)謹(jǐn).

在學(xué)生探求知識的過程中難免會有漏解錯解，這是學(xué)習(xí)過程中知識生長的正常的過程，就像學(xué)走路的過程中難免會摔跤，不能因為摔跤而停滯不前，反而要找到導(dǎo)致摔跤的原因，找到克服的方法，便于以后走穩(wěn)走好. 教師要善于把握學(xué)生學(xué)習(xí)中易犯的錯誤，應(yīng)用自己的教學(xué)智慧精心設(shè)計、巧妙引導(dǎo)，能使之成為學(xué)生走向正確的階梯，加深學(xué)生的印象，提升課堂效果.

反思錯誤，提煉精華

俗話說“失敗是成功之母”，“錯誤”有時是到達(dá)正確的必經(jīng)之路. 因此，在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生偶爾犯錯是可以理解的，不犯錯也是不可能的，我們不僅要正視學(xué)生所犯的錯誤，而且要認(rèn)真地分析錯誤，反思：“為什么會犯這個錯誤呢？當(dāng)時是怎么想的呢？為什么會這么想？通過如何做以后才能不犯類似的錯誤？”采取合理的方法來規(guī)避錯誤，有時還要感謝錯誤，因為錯誤才能讓我們對問題再深刻思考、再重新認(rèn)識. 錯誤與正確有時僅一步之遙，“知己知彼，百戰(zhàn)百殆”，通過對錯誤的再探究、再挖掘、再巧妙地加以利用，發(fā)現(xiàn)錯誤背后的價值所在，從錯誤中找出合理性和存在性，并能輕松跨越錯誤走向正確，透過現(xiàn)象直擊本質(zhì)，從而對知識的理解再次升華，所謂“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”.