課堂教學中學生易犯“錯誤”的原因分析和解決策略探索

尹士月

[摘? 要] 由于學生的認知結構和學生的審題不細心，在解題過程中總會出現各種各樣的錯誤解法，而這些錯誤解法的確能反映學生學習方法的問題和思維問題，通過對學生這些所犯的錯誤進行分析研究，從而能得到一些有用的方法和策略，可以幫助教師改進教學，也能幫助學生更好地掌握知識，避免常犯錯誤，變盲目性為嚴密性，變直覺思維為邏輯思維.

[關鍵詞] 思維誤區;反思錯誤;提煉精華

在數學課堂教學中，學生在學習過程中經常會犯一些錯誤，教師一定要正確對待. 其實，學生出錯是知識形成過程中正常的認知現象，哲學家黑格爾先生說過“錯誤本身乃是達到真理的一個必然環節”;《義務教育數學課程標準（2011年版）》也強調，學生在數學學習過程中，知識技能、數學思考、問題解決和情感態度等方面的表現不是孤立的，在日常學習的全過程中，包括課堂學習、作業、復習和改錯的環節. 學生要在教師的指導下及時改錯，或通過自己的反思及時改錯，分析自己錯誤的原因，提煉正確的方法，從而達到學習的目的.

知識點理解模糊，認知結構不完善

在課堂教學中，由于學生的認知結構和知識背景不同，他們的理解水平和表達水平也不一樣，因此出錯就在所難免. 在糾正錯誤時要加深學生的印象，提高學生的學習效率，激發學生的學習興趣，完善學生對此知識點的理解，提高課堂的教學效果.

課堂教學片段展示一：

案例1 七年級數學上冊“冪的乘方和積的乘方”一節檢測概念掌握情況：計算（1）3x2·2x2;（2）3x2+2x2. 講授同底數冪的乘法時，計算3x2·2x2，學生容易出現的錯誤答案：5x2，6x2，5x4;計算3x2+2x2，學生容易出現的錯誤答案：5x4.

原因分析：這是學生對有理數的乘法和同底數冪的乘法等知識點掌握不熟悉而導致的錯誤，屬于概念界定不清產生的知識間的相互混亂. 計算3x2·2x2應該是單項式和單項式相乘，分為“系數與系數相乘”和“同底數冪相乘”. “系數與系數相乘”也就是有理數乘法，“同底數冪相乘”依據的是同底數冪的乘法法則——底數不變，指數相加. 在教學過程中幫助學生弄清楚題中含有哪些運算，運用哪些法則，涉及哪些知識點，它們運算的順序和邏輯是什么，為什么要這樣去算. 如同底數冪的乘法法則——底數不變，指數相加，為什么呢？要弄清楚法則的來源，理解它們的意義，幫助學生理解、消化，完善學生的認知結構，從而也就不會犯這樣的錯誤了.

課堂教學片段展示二：

案例2 七年級數學上冊“余角、補角、對頂角”一節內容，設計以下習題來檢測學生對補角的掌握情況：如圖1，若∠AOC與∠BOC是鄰補角，OD，OE分別是∠AOC，∠BOC的平分線，OF是OE的反向延長線，則∠AOE的補角是_____.

錯解1：很多學生說出答案∠BOE.

錯解2：∠BOE和∠COE.

教師問：滿足什么條件的兩個角互補？

學生答：和為180°.

教師再問：此題中有沒有其他的角加上∠AOE的和為180°？

學生思考了一會，回答：還有∠COE.

教師緊跟著問：為什么？

學生回答：因為OE是∠BOC的平分線，所以∠BOE=∠COE.

教師接著問：圖中還有沒有和∠BOE相等的角呢？

學生邊看題邊思考……

學生過了一會兒回答：還有∠AOF也是.

教師再問：那么正確答案是——

學生回答：∠BOE，∠COE和∠AOF.

教師表揚：這就對了嘛，探究得不錯.

變式訓練：

教師緊跟著問：圖1中與∠AOD互余的角是——

學生想了想，回答：∠BOE，∠COE和∠AOF.

教師總結：要認真審題，我們要把角平分線構成的相等的角和對頂角構成的相等的角都找出來，并驗證是否滿足互補或互余的條件. 考慮問題要全面，把所有滿足條件的角都找出來，不要漏掉任何一個條件，不要丟掉任何一個答案，更不要憑直覺解題，要注意解題的邏輯性和嚴密性.

應用數學思考，防止直覺錯誤

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學思考是指運用“數學方式的理性思維”進行的思考，在教學過程中要培養學生以數學的眼光看世界，從數學的角度去分析問題的素養，學會數學抽象、數學推理、數學思維，建立數感和符號意識，初步形成運算能力，建立空間觀念和數學模型，形成幾何直觀，發展形象思維和抽象思維，采用合情推理和演繹推理來嚴格證明.

課堂教學片段展示三：

案例3 如果用一根很長的繩子沿地球赤道繞一圈，然后把繩子放長30米，想象一下，這時繩圈與地球赤道之間的縫隙有多大（精確到1米）？假設各處的縫隙是均勻的，一只老鼠能穿過嗎？一只大象呢？

這個問題一拋出，學生便七嘴八舌，有的說能，有的說不能，有的說老鼠能穿過大象不能.

教師叫其中的一位同學A回答.

同學A：當然不能.

教師問：為什么？

同學A：你想想看，赤道那么長，約40076千米，放長30米，相當于沒有放長，沒有什么區別.

教師又問：那你說放長多少合適？

學生A：……

學生B：算一下就知道了.

學生C：設赤道半徑為R米，繩子放長30米后與地球赤道之間的縫隙為x米，根據外圈繩長減去赤道周長等于30米，通過這個等量關系列方程2π（R+x）-2πR=30，解得x= ≈5. 所以一只老鼠能穿過，一只大象也能穿過.

教師總結：通過計算，我們發現縫隙與地球的半徑R無關，以后我們解題時可不能跟著感覺走，有時我們的第一感覺即直覺思維是錯誤的，要通過嚴格的計算和邏輯推理進行驗證，從數學的角度，用數學的思維去分析考慮問題.

分析錯誤原因，提煉有效方法

教師憑借多年的教學經驗，能猜測到學生在學習過程中可能會發生的一些錯誤. 然后從錯誤入手，逐步推進，層層深入，把學生帶到預先設計好的陷阱中，當學生知道中計了，再回過頭找原因，從而對錯誤有了再認識. 學生通過“操作”“觀察”“實驗”“探究”等一系列活動發現和解決問題，思維在正確和錯誤之間不斷地碰撞，逐漸形成自己的方法和正確的認識. 在這個過程中，教師引導學生把直接經驗和間接經驗相結合，經過自主的探究、論證、合作交流，抽絲剝繭，一步一步從不完善走向完善，從而對學習留下深刻的印象.

課堂教學片段展示四：

案例4 講解新課“直角三角形全等的判定”.

新課導引：PPT展示，問題：在△ACB和△A′C′B′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′，△ACB ≌△A′C′B′嗎？為什么？

師生開始探討.

教師：同學們，這兩三角形全等嗎？

學生：全等.

教師：那我們證明一下（教師板演）：因為∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′，所以△ACB≌△A′C′B′（SSA）.

教師：同學們，對嗎？

有學生說對，也有學生說不對，學生開始議論.

教師提問：請同學A談談對這道題證明過程的看法.

學生A：這個命題是對的，但證明過程是錯的，因為三角形的識別里沒有“SSA”，因此，這樣證明不對.

大部分學生很快發現證明過程有問題，三角形全等判定方法應該出了.

教師又問：那這兩個三角形不全等嗎？若全等，該如何證明呢？

學生開始討論……

過了一會兒，有學生舉手，教師說道：請同學B回答.

同學B：我們把這兩個三角形相等的邊AC和A′C′重合，因為∠C=∠C′=90°，所以B，B′，C（C′）三點共線，得到△ABB′是等腰三角形，從而得到∠B = ∠B′，可以用“AAS”“SAS”或“ASA”來證明兩直角三角形全等.

教師對同學B的回答比較滿意，并給予贊揚.

教師總結：通過同學們討論、分析和比較、推理和驗證，得到了對特殊的兩個直角三角形，只要滿足兩條邊相等就可以證明這兩個直角三角形全等，從而引出“直角三角形全等的判定方法（HL）”，并及時回顧一般三角形的全等判定方法，讓同學們從錯誤（SSA）中走出來，也對判定直角三角形全等的判定方法（HL）有了更深印象.

課堂教學片段展示五：

案例5 七年級上冊“平面圖形認識 線段、射線、直線”通過習題鞏固概念.

已知線段AB=6，在直線AB上取一點P，恰好使 =2，點Q為PB的中點，求線段AQ的長.

很多學生在解題時只考慮P點在線段AB上的情況，求出AQ=5，而忽視了“在直線AB上取一點P”這個條件，從而丟掉了一種情況，因此出錯了. 針對這種情況，教師應該引導學生再次審題，學生會發現P點還可能在線段AB的延長線上，滿足條件 =2，從而知道B為AP的中點，BP=AB=6，很快求出AQ=9，所以AQ的長為5或9.

在這里教師還可以繼續提問：P點會在線段AB的反向延長線上嗎？為什么？引導學生思考時，不能忽視條件和圖形，因為 =2，結合圖形，可知AP>BP，因此P點不可能在線段AB的反向延長線上. 找出它們的內在聯系，探索出一般規律，思維方式不能單一，對前兩類進行細化分類，這樣在糾錯的過程中培養學生運用分類討論的數學方法解決問題的能力，同時通過剖析錯因，滲透一些常用的數學思想和方法，讓解題思路更縝密，解題過程更嚴謹.

在學生探求知識的過程中難免會有漏解錯解，這是學習過程中知識生長的正常的過程，就像學走路的過程中難免會摔跤，不能因為摔跤而停滯不前，反而要找到導致摔跤的原因，找到克服的方法，便于以后走穩走好. 教師要善于把握學生學習中易犯的錯誤，應用自己的教學智慧精心設計、巧妙引導，能使之成為學生走向正確的階梯，加深學生的印象，提升課堂效果.

反思錯誤，提煉精華

俗話說“失敗是成功之母”，“錯誤”有時是到達正確的必經之路. 因此，在學習過程中，學生偶爾犯錯是可以理解的，不犯錯也是不可能的，我們不僅要正視學生所犯的錯誤，而且要認真地分析錯誤，反思：“為什么會犯這個錯誤呢？當時是怎么想的呢？為什么會這么想？通過如何做以后才能不犯類似的錯誤？”采取合理的方法來規避錯誤，有時還要感謝錯誤，因為錯誤才能讓我們對問題再深刻思考、再重新認識. 錯誤與正確有時僅一步之遙，“知己知彼，百戰百殆”，通過對錯誤的再探究、再挖掘、再巧妙地加以利用，發現錯誤背后的價值所在，從錯誤中找出合理性和存在性，并能輕松跨越錯誤走向正確，透過現象直擊本質，從而對知識的理解再次升華，所謂“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”.