善于歸納總結(jié) 利于落實(shí)雙基

李霞

[摘? 要] 某位數(shù)學(xué)大師語(yǔ)，“不善于歸納總結(jié)的課堂是‘形散且神散的課堂，善于歸納總結(jié)的數(shù)學(xué)課堂是‘雖形散，但神不散的課堂”. 由此可見(jiàn)，一堂好的數(shù)學(xué)課缺少不了在老師的引導(dǎo)下，由學(xué)生進(jìn)行知識(shí)和思想方法的總結(jié). 只有這樣的數(shù)學(xué)課堂才是有深度、有潛力的課堂.

[關(guān)鍵詞] 歸納總結(jié);落實(shí)雙基;坐標(biāo)求法

“在平面直角坐標(biāo)系中，探求符合一定條件點(diǎn)的坐標(biāo)”這一知識(shí)方法既是初中階段研究函數(shù)的基礎(chǔ)，也是高中階段研究解析幾何的必備知識(shí)，更是“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想運(yùn)用的典范. 然而，眾多學(xué)生面對(duì)那些立意新、既重“雙基”又重能力的求點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，卻往往力不從心. 這是因?yàn)椋麄兪栌趯?duì)基本知識(shí)和基本方法的總結(jié)與反思. 筆者試結(jié)合典型題目，歸納總結(jié)出求符合一定條件點(diǎn)的坐標(biāo)的具體方法，以期達(dá)到“既見(jiàn)樹(shù)木，也見(jiàn)森林”的目的，更希冀于初三專(zhuān)題復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)師生有所啟發(fā)和幫助. 若有不當(dāng)，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

一、 借助網(wǎng)格，直觀求解

例題1：如圖1，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），將線段OA繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到對(duì)應(yīng)線段OA′，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為_(kāi)______.

分析：線段OA繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，相當(dāng)于“3×2的矩形OBAC”繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到“2×3的矩形OB′A′C′”. 因此，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′坐標(biāo)易得為A′（-2，3）.

二、回歸定義——距離+符號(hào)

1. 從坐標(biāo)的定義可推出：求一點(diǎn)P的坐標(biāo)就是先求出點(diǎn)P到y(tǒng)軸、x軸的距離，這兩個(gè)距離分別作為點(diǎn)P橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，最后再根據(jù)點(diǎn)所在象限的符號(hào)規(guī)律求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

2. 反過(guò)來(lái)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P到x軸、y軸的距離分別為y，x.

例題2：若例題1隱去網(wǎng)格背景，那如何求點(diǎn)A′的坐標(biāo)呢？

分析：如圖2，分別過(guò)A、A′作AB⊥x軸，A′C⊥x軸. 因?yàn)锳（3，2），所以AB=2，OB=3. 易證△ABO≌△OCA′. 所以O(shè)C=AB=2，A′C=OB=3. 又因?yàn)辄c(diǎn)A′在第二象限，所以A′（-2，3）.

例題3：如圖3，矩形OABC的一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)A、C分別在y軸與x軸上，OB是矩形的一條對(duì)角線，已知OA=5 cm，OB=13 cm，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A開(kāi)始，以1 cm/s的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)O開(kāi)始，以2 cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng). 當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)便停止運(yùn)動(dòng). 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），過(guò)N作OC的垂線，交OB于P，連結(jié)MP.

（1）用含t的代數(shù)式表示P點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）略;

（3）略.

分析：因?yàn)镺N=2t，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2t. 欲求P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，只需求PN的長(zhǎng)度. 易知△ONP∽△OCB且OC=12 cm. 所以 = ，所以PN= ，所以P2t， .

【反思】 定義法（距離+符號(hào)）是最為基本也最為靈活的方法. 它涉及求線段、求角度等一些重要知識(shí)和方法，幾乎涵蓋了初中階段所有有關(guān)度量計(jì)算的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，因此，掌握定義法求點(diǎn)的坐標(biāo)是何等的重要. 另外，運(yùn)用此法常需過(guò)“已知點(diǎn)”和“所求點(diǎn)”向坐標(biāo)軸引垂線，以便構(gòu)建點(diǎn)坐標(biāo)定義的基本幾何圖形.

三、運(yùn)用函數(shù)解析式

1. 若點(diǎn)P（a，b）在函數(shù)y=f（x）圖像上，則P點(diǎn)坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，即有f（a）=b.

2. 若點(diǎn)P是函數(shù)y=f（x），y=g（x）兩圖像的交點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組y=f（x），y=g（x）的一組解.

例題4：對(duì)于例題3除了利用定義法，還有其他方法嗎？

分析：已知點(diǎn)P橫坐標(biāo)為2t，只需求出直線OB的解析式即可. 易求直線OB解析式為y= x，將x=2t代入，得y= ，所以P2t， .

例題5：如圖4，直線y=x-2與雙曲線y= 交于兩點(diǎn)A、B，求△AOB的面積.

分析：易求直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為C（2，0）. 根據(jù)S△AOB=S△AOC+S△BOC可知，只需求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可. 因?yàn)锳、B點(diǎn)是兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，所以y=x-2，y= ，解得A（3，1），B（-1，-3）. 所以S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4.

【反思】運(yùn)用此法需以點(diǎn)在函數(shù)圖像上為前提，求出函數(shù)解析式為關(guān)鍵.

四、運(yùn)用圖形變換下對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變換規(guī)律

1. 點(diǎn)P（x，y）? Q（x±a，y±b） P點(diǎn)沿x軸方向向右（左）平移a個(gè)單位，沿y軸方向向上（下）平移b個(gè)單位.

2. 點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)Q（x，-y） 點(diǎn)P、Q關(guān)于x軸對(duì)稱;

點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)Q（-x，y） 點(diǎn)P、Q關(guān)于y軸對(duì)稱;

點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)Q（-x，-y） 點(diǎn)P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

例題6：（2008年威海）如圖5，點(diǎn)A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函數(shù)y= 的圖像上.

（1）求m，k的值;

（2）如果M為x軸上一點(diǎn)，N為y軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數(shù)表達(dá)式.

分析：易求A（3，4），B（6，2）. 欲求符合條件的解析式，關(guān)鍵是確定點(diǎn)M、N的坐標(biāo). 據(jù)題意應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論.

①如圖5，當(dāng)M點(diǎn)在x軸的正半軸上，N點(diǎn)在y軸的正半軸上時(shí)，設(shè)M1點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，0），N1點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，y ）. 因?yàn)樗倪呅蜛N1M1B為平行四邊形，所以AB∥N1M1且AB=N1M1.

所以點(diǎn)A到點(diǎn)B的平移方式和點(diǎn)N1到點(diǎn)M1的平移方式一樣. 由A（3，4） B（6，2）知：點(diǎn)A沿x軸方向向右平移了3個(gè)單位，沿y軸方向向下平移了2個(gè)單位. 所以0+3=x1;y1-2=0，所以x1=3，y1=2，從而M1（3，0），N1（0，2）.

②如圖5，當(dāng)M點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，N點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)M2點(diǎn)坐標(biāo)為（x2，0），N2點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y2）. 因?yàn)锳B∥N1M ，AB∥M N ，AB=N M ，AB=M2N2，所以N1M1∥M2N2，N1M1=M2N2，所以易證△N1OM1≌△N2OM2. 所以N1O=N2O，OM1=OM2. 所以點(diǎn)M1與點(diǎn)M2，點(diǎn)N1與點(diǎn)N2均關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以M2（-3，0），N2（0，-2）.

【反思】運(yùn)用此法需要十分熟悉圖形在特定變換下對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)變換規(guī)律，而且更需要善于將新的問(wèn)題進(jìn)行化歸處理，例如“在平面直角坐標(biāo)系中，任意給定不在一直線上的三點(diǎn)，探求第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，使它們構(gòu)成平行四邊形”問(wèn)題，就可轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的平移”問(wèn)題來(lái)處理.

以上所列，是初中階段求點(diǎn)的坐標(biāo)的常見(jiàn)方法. 對(duì)于方法的靈活選擇問(wèn)題，還需教者立足“雙基”，對(duì)學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的鑒別能力，思維的靈活性、深刻性，從而真正達(dá)到數(shù)學(xué)育人的目的.

數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)得好：“怎樣把書(shū)讀薄？其實(shí)，就是要把書(shū)中的知識(shí)徹底消化，變?yōu)榉浅Ｖ庇^的、非常概括的材料，最后只留下最精髓的那一點(diǎn)，當(dāng)然書(shū)就變薄了. ”在現(xiàn)今“減負(fù)增效”的學(xué)校教育中，教師讓學(xué)生學(xué)會(huì)：①按數(shù)學(xué)的某一重要知識(shí)形成過(guò)程、所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法、與其他知識(shí)的聯(lián)系等方面進(jìn)行“知識(shí)系統(tǒng)型”總結(jié);②按為解決某個(gè)特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題而經(jīng)常采用的思想方法進(jìn)行“思想方法型”總結(jié);③或其他方面總結(jié). 作為數(shù)學(xué)教育工作者的我們，如果能采用這種教學(xué)策略，也應(yīng)該是有意義的！