由一道高考解析題展開的思考

袁玉娟

【摘要】本文以一道高考解析題的一題多解、一題多變為例，通過背景探究、追蹤溯源發現問題的本質，透過邏輯反思演繹出對稱問題的結論.整體脈絡上體現了從特殊到一般的邏輯推理的核心素養，達成了從一題多解到多題一解的化歸.解析幾何占據了高考壓軸題的半壁江山，思維量大、難度高，所以學生學習時要做到“做一題、歸一類、得一法”.

【關鍵詞】解法探究;變式探究;等角定理;對稱進階

一、出示例題

設橢圓C：x22+y2=1的右焦點為F，過F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）.

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程.

（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

分析：解析幾何中證明角相等常用到斜率相等或互為相反數、角平分線定理、余弦定理等.觀察圖形容易看出∠OMB 恰好為直線MB的傾斜角，∠OMA恰好為直線MA的傾斜角的補角，所以只需證kMA+kMB=0.

（1）略.

（2）解法一：當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°.

當l與x軸不重合時，設l的方程為x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

由x=my+1，x22+y2=1得（m2+2）y2+2my-1=0，

所以y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2，Δ>0，

所以直線MA，MB的斜率之和為kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2=2my1y2-（y1+y2）（x1-2）·（x2-2）=0.

故直線MA，MB的傾斜角互補，所以∠OMA=∠OMB.

評注：此種方法將角披上了三角函數家族中正切的外衣，將角相等轉化為斜率互為相反數.先由角及“斜”，再通過數學運算由因導果.羅增儒教授說過，“問題一旦獲解，就立即產生感情上的滿足，從而導致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯過了提高的機會，這無異于‘入寶山而空返”.解析幾何可謂數學思想的戰場，課堂教學不只要 “會” 解一題，更重要的是讓學生“匯”解一題.學生要學會從多角度挖掘題目中潛在的深層結構，由一個問題能聯想到不同的知識，這有利于學生形成優化的認知結構.

解法二：（原點到直線MA，MB的距離）由解法一可得MA：y=y1x1-2（x-2），MB：y=y2x2-2（x-2），

所以y1x+（2-x1）y-2y1=0，y2x+（2-x2）y-2y2=0，

所以dO-AM=2y1y21+（2-x1）2，同理dO-BM=2y2y22+（2-x2）2，

所以d2O-AM-d2O-BM=4y21y21+（2-x1）2-4y22y22+（2-x2）2=4（y1-y2）（y1+y2-2my1y2）[y21+（1-my1）2][y22+（1-my2）2]=0，

所以∠OMA=∠OMB.

評注：核心素養水平中“數學運算水平三”指出，“在綜合的情境中，能夠把問題轉化為運算問題，確定運算對象和運算法則，明確運算方向.能夠對運算問題，構造運算程序，解決問題”.實際教學中發現，大部分學生無法明確運算方向，明確不了運算對象，還有學生則是怯于運算.此種點斜式方程的設法也較為常見，利用了解析幾何中點到直線的距離公式，從結論出發，充分調動了學生的邏輯思維及數學分析能力.

解法三：（角平分線定理）欲證∠OMA=∠OMB，

只需證AFBF=AMBM=y1y2=（x1-2）2+y21（x2-2）2+y22，

因為y21y21+（x1-2）2-y22y22+（x2-2）2=（y1-y2）（y1+y2-2my1y2）y21+（1-my1）2[y22+（1-my2）2]=0，

所以∠OMA=∠OMB.

評注：解析幾何的研究對象是幾何圖形，所用的研究方法主要是代數方法.解決問題的基本過程：根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系;根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化為代數問題;根據對幾何問題（圖形）的分析，探索解決問題的思路;運用代數方法得到結論;給出代數結論對應的合理的幾何解釋，解決幾何問題.解析幾何是幾何，得意忘形學不活.圖形直觀數入微，數學本是數形學.利用數形結合進行解題，形象、直觀，但很多時候卻不易想到，這就需要學生打破知識間的壁壘，充分發揮想象力.

二、背景探究

我們觀察例題中點F與點M的橫坐標，進一步展開思考，不難發現點F的橫坐標與點M的橫坐標之積等于a2，以及此題的出題背景是橢圓的等角定理，下面我們來證明橢圓的等角定理.

橢圓的等角定理：過橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0） 長軸上任意一點N（t，0）的一條弦的端點A，B與對應點Ga2t，0的連線所成角被焦點所在直線平分，即∠OGA=∠OGB（如圖）.

證明：設直線AB的方程為x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），

將直線與橢圓方程聯立x=my+t，x2a2+y2b2=1，得（a2+b2m2）y2+2mtb2y+b2t2-a2b2=0，

所以y1+y2=-2mtb2a2+b2m2，y1y2=b2t2-a2b2a2+b2m2，

所以kAG+kBG[ZK（]=y1x1-a2t+y2x2-a2t=2my1y2+t-a2t·（y1+y2）x1-a2t·x2-a2t=0，[ZK）]

所以∠OGA=∠OGB.

評注：邏輯推理是數學學習中的基本的思維方式，也是生活中常用的思維方式.邏輯推理的一般過程是：首先，在熟悉的情境中，用歸納或類比的方法發現數量或圖形的性質、關系;其次，在關聯的情境中發現并提出問題;最后，用數學語言予以表達.在邏輯推理中，歸納、類比是發現和提出數學問題的重要途徑.