函數圖像的繪制方法與技巧

何圣姿

【摘要】“數缺形時少直觀，形少數時難入微”.函數是數學的基礎，它貫串數學學習的始終.如果能作出函數的圖像，就能利用圖像的直觀性快速了解函數的形態特征.本文給出了幾種繪制函數圖像的方法與技巧，為研究函數的性質提供指導.

【關鍵詞】函數圖像;初等函數;變換;導數

隨著現代信息技術的發展，借助Matlab，Mathematica，GeoGebra，Excel等軟件可以方便地繪制各種函數的圖像.但如何指出圖像上的關鍵點，選擇作圖的范疇，從而進行人工處理，仍需要我們能夠手工繪制函數的簡圖.所謂簡圖即指圖像的基本樣式是正確的，但細微之處可以不太深究.下面給出幾種手工繪制函數簡圖的方法，并以實例呈現其使用技巧.

一、基本初等函數

當函數是基本初等函數，如，常函數y=c（c為常數）、一次函數y=kx+b（k≠0）、二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）、反比例函數y=kx（k≠0）、冪函數y=xa（a∈R）、指數函數y=ax（a>0且a≠1）、對數函數y=logax（a>0且a≠1），三角函數y=sin x，y=cos x，y=tan x，y=cot x，反三角函數y=arcsin x，y=arccos x，y=arctan x，y=arccot x等形式時可以直接快速繪制出其簡圖.

二、通過簡單變換繪制函數圖像

當所繪制的函數圖像可以由基本初等函數y=f（x）的圖像通過平移、對稱、翻折、伸縮等變換而得到時，可以用以下方法繪制出其簡圖.

1.平移變換

y=f（x）a>0時，向左平移a個單位a<0時，向右平移a個單位y=f（x+a）;

y=f（x）a>0時，向上平移a個單位a<0時，向下平移a個單位y=f（x）+a.

2.對稱變換

y=f（x）關于y軸對稱y=f（-x）;

y=f（x）關于x軸對稱y=-f（x）;

y=f（x）關于直線y=x對稱y=f-1（x）;y=f（x）關于原點對稱y=-f（-x）.

3.翻折變換

y=f（x）保留y軸右側圖像并作其關于y軸對稱的圖像再刪除在y軸左側的原圖y=f（x）;

y=f（x）保留x軸上方的圖像[]把x軸下方的圖像翻折到x軸上方y=f（x）.

4.伸縮變換

y=f（x）a>1時，橫坐標縮短為原來的1[]a00）;

y=f（x）a>1時，縱坐標伸長為原來的a倍00）.

例如，將函數y=2x的圖像沿x軸向右平移1個單位得到函數y=2x-1的圖像;將函數y=2x的圖像沿y軸向上平移1個單位得到函數y=2x+1的圖像;作函數y=2x的圖像關于x軸對稱的圖像可以得到函數y=-2x的圖像;作函數y=2x的圖像關于y軸對稱的圖像可以得到函數y=2-x的圖像;保留函數y=2x在y軸右側的圖像并作其關于y軸對稱的圖像，刪除在y軸左側的原圖得到函數y=2x的圖像.

例1 如何繪制函數y=31-x的圖像？

解：保留函數y=3x在y軸右側的圖像并作其關于y軸對稱的圖像，刪除在y軸左側的原圖可得到函數y=3x的圖像，再將函數y=3x的圖像沿x軸向右平移1個單位得到函數y=3x-1的圖像，亦即函數y=31-x的圖像.

三、利用導數繪制函數的圖像

數學研究的函數一般為基本初等函數或為由基本初等函數經過有限次四則運算或復合運算所構成的函數，通過基本初等函數的圖像變換可以快速畫出簡單函數的圖像.另外，我們還可以利用導數繪制一般形式的初等函數的圖像，下面介紹一下利用導數描繪函數y=f（x）圖像的一般步驟.

1.確定函數y=f（x）的定義域，討論函數的奇偶性、周期性等，并求出f ′（x）和f″（x）;

2.求出f ′（x）=0和f″（x）=0在函數定義域內的全部實根，并求出使函數y=f（x）無意義的點及f ′（x）和f″（x）不存在的點，用這些點把函數的定義域劃分成幾個子區間;

3.確定在這些子區間內f ′（x）和f″（x）的符號，并由此確定函數圖像的單調性和凹凸性、極值點和拐點.若在（a，b）內，f ′（x）>0，則函數f（x）在（a，b）上單調遞增，否則函數f（x）在（a，b）上單調遞減;若駐點或一階導不存在的點兩端一階導數符號相異，則該點為極值點;如果在（a，b）內，f″（x）>0，那么函數f（x）在（a，b）上是凹的，否則函數f（x）在（a，b）上是凸的;f″（x）=0的點或f″（x）不存在的點兩端二階導數符號相異，則該點為拐點.

4.確定函數圖像的水平、鉛直、斜漸近線.若limx→∞f（x）=c，則稱直線y=c為曲線y=f（x）的水平漸近線;若曲線y=f（x）在點x0間斷，且limx→x0f（x）=∞，則稱直線x=x0為曲線y=f（x）的鉛直漸近線;若limx→∞yx=k，limx→∞[f（x）-kx]=b，則稱直線y=kx+b為曲線y=f（x）的斜漸近線.

5.求出f ′（x）和f″（x）的零點以及不存在的點所對應的函數值，定出圖像上相應的點;為了把圖像描得準確些，有時還需要補充一些點，如函數與坐標軸的交點等;然后結合第3，4步中得到的結果，連接這些點畫出函數y=f（x）的圖像.

例2 畫出函數y=12πe-x22的圖像.

解：（1）其定義域為（-∞，+∞）.

∵f（x）=f（-x），∴f（x）是偶函數，

∴只需討論[0，+∞）上該函數的圖像，再作其關于y軸對稱的圖像即可.

（2）在[0，+∞）上，f ′（x）=0的點為x=0;f″（x）=0的點為x=1.用點x=1把[0，+∞）劃分成兩個區間[0，1）和[1，+∞）.

（3）列表討論如下：

x[]0[]（0，1）[]1[]（1，+∞）

f ′（x）的值或符號[]0[]-[]-[]-

f″（x）的值或符號[]-[]-[]0[]+

函數的圖像極大值凸、減拐點凹、減

（4）∵limx→+∞f（x）=0，∴y=f（x）有一條水平漸近線y=0.

（5）取函數y=f（x）圖像上的一些點M10，12π，M21，12πe，M32，12πe2.

結合以上討論，畫出函數y=12πe-x22在[0，+∞）上的圖像.

最后，利用圖像的對稱性便可得到函數在（-∞，+∞）上的圖像.（如下圖）

函數y=12πe-x22為“概率與數理統計”課程中標準正態分布的概率密度函數，通過其圖像大家很容易理解并掌握概率密度函數的相關性質.

以上介紹的三種繪圖方法，大家可以根據函數表達式的特征靈活選擇.基本初等函數是學習函數的基礎，大家應熟練掌握其表達式及其圖像特征.用圖像變換法作函數圖像時，要確定以哪一種基本初等函數的圖像為基礎，進行怎樣的變換，當涉及多種變換時，應注意變換的順序;利用導數繪制函數的圖像時，要綜合分析函數y=f（x），y=f ′（x）及y=f ″（x）的關系，并考慮其定義域、奇偶性、對稱性、周期性、連續性、單調性、凹凸性、極值、漸近線以及一些特殊點，特別是臨界點的函數值等，雖然過程略顯復雜，但其通用性較強.

【參考文獻】

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