高中數學解題中向量法的應用研究

王慕華

(福建省龍巖市第二中學 364000)

向量不僅僅是高中數學的重要知識內容，同時也是一種有效的數學解題工具，解決代數和幾何等問題，借助向量法是數學問題更加簡單、直接.向量作為一種工具，應用較為廣泛，因為其考慮方向和大小的原因，在空間中具有自由性，在計算中考慮數的同時，還需要考慮量的問題.向量法具有復合性特點，通過向量法的利用，可以提高學生運算效率，快速準確的分析和解決問題.在高中數學解題中，利用向量法可以解決三角函數、不等式、平面幾何以及解析幾何等問題，培養學生數學解題能力.

一、應用向量法，解法三角函數問題

三角函數是高中數學的重要內容，通過課堂學習要求學生掌握三角函數的定義、圖象、公式和性質等內容.三角函數解題是高中數學解題中的重點和難點問題，有效利用向量法解題，明確新的解題思路，通過整個解題過程，加強學生思維訓練，提高學生解題能力.

點評此題是一個典型的三角函數函數和向量結合的例題，在實際的解題中，利用向量平移知識，完成題目解答.作為高中數學教師，在解題中引導學生對題目進行解答，盡量對平移問題進行隱身，特別是向量平移時，點平移、圖形平移和平移方向產生的影響，保證向量計算的準確性.

二、利用向量法，解決不等式問題

不等式是高中階段的重要知識內容，和函數、方程、向量等有著密切的關系，在不等式問題解答中，計算復雜、符號變化等問題是解題的最大難點.在解題中，向量具有便捷性和高效性的特點，可以更加快速的計算.因此，在高中數學不等式解題中，有效利用向量法，可以快速解決不等式中的計算問題，保證學生解題效率.因此，在不等式問題解題中，想要有效的利用向量法，需要注重向量的構建，完成問題快速、準確的解答.

點評從題型的角度來說，此題屬于典型的不等式解析題目，解題時有著一定的難度.向量法具有普適性的特點，可以根據題型結構構造向量，將不等式問題轉化成向量問題，引導學生思考和解答.在解題的過程中，通過向量構造和轉化之后，主要是利用向量的數量積公式以及變形公式，對題目進行證明，完成題目的思考和解答.

三、利用向量法，解決平面幾何問題

在初中數學課堂中，學生已經接觸有關平面幾何的知識，幾何問題對學生形象思維和抽象思維有著比較高的要求，面對幾何問題需要學生進行想象和思考，完成題目的解答.在設計的幾何問題解答中，部分題目較為困難，利用幾何方式解題，雖然可以完成解答，但是，解題過程較為復雜，步驟比較繁多，很容易出現解題錯誤的問題.向量法作為一種新的解題方式，在解題中，根據平面幾何問題內容，構建相應的向量，利用向量公式和性質，完成題目的思考和解答.

例題PQ是圓O的直徑，如圖所示，證明PQ對應的∠PDQ是直角.

分析在解題時，需要根據題意畫出相應的圖形，根據圖形構建向量，對其中的向量進行分析，利用向量計算完成題目求解.

點評在此題解答的過程中，需要靈活運用向量的性質：如果向量a·b=0，那么兩條直線垂直.在此題解答中，通過對題目進行計算，可以讓學生了解平面幾何的多種解題方式，培養學生自主思考的習慣.在解題中，通過向量知識的利用，讓學生掌握向量知識和幾何知識的關系，為學生之后立體幾何知識學習和解題奠定基礎.

四、利用向量法，解決立體幾何問題

相對于平面幾何來說，立體幾何知識更加復雜，要求學生具備抽象思維的同時，還需要具備良好的空間思維能力，能夠根據題目，準確構建空間直角坐標系，構造相應的向量，完成立體幾何題目的思考和解答.在具體的解題中，需要根據問題類型進行分析，保證空間坐標系的合理性，為問題的有效思考和解答做好準備.

例題如圖2所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，其棱長是2，E是AA1的中點，求解直線AC和B1E的距離.

分析在此立體幾何解題中，如果采取常規的立體幾何解題方式，雖然可以完成解題，但是，其解題難度比較大，計算比較多，很容易出現解題錯誤.教師可以引入向量法解題，通過構建空間直角坐標系，簡化解題方式，幫助學生更好的解題.

點評在向量法解答立體幾何問題時，首先要做的是構建空間直角坐標系，寫出每個點的坐標，將距離問題、二面角問題等轉化成向量問題，將空間向量轉化成平面向量，明確題目解題思路，從而有效解決立體幾何問題.

向量是高中數學的重要知識內容，高中學生對其并不是非常熟悉，并不能靈活利用向量解題.因此，高中數學解題教師中，應當重視向量法的應用，結合題目類型分析，靈活引入向量法，將向量知識和其他數學知識結合，拓展學生解題思路，保證數學問題有效解答.