解鎖 “隱圓”問題

盧會玉

(甘肅省嘉峪關市第一中學 735100)

在直線與圓的綜合考查中，有時題設條件并沒有直接給出相關圓的信息，而是隱含在題目中，要通過分析和轉化，發現圓的方程或圓的定義，從而可以利用圓的知識來求解，這類問題常被稱為“隱圓”問題.此類問題在高考中出現的頻率比較高，通過對以往考題的分析與研究，可以總結為如下的幾種題型.

一、利用圓的定義(到定點的距離等于定長的點的軌跡)可確定隱圓

題目中若已知到定點的距離等于定長或者能求出到定點的距離為定常數，則可以得到點的軌跡為圓.

例已知圓O：x2+y2=1，圓M：(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得∠APB=60°，則實數a的取值范圍為____．

解析由題意得,圓心M(a，a-4)在直線x-y-4=0上運動，則動圓M是圓心在直線x-y-4=0上，半徑為1的圓.

又因為圓M上存在點P，使經過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使∠APB=60°，所以OP=2，即點P也在x2+y2=4上，記為圓E，則圓E與圓O一定由公共點.

點評本題由∠APB=60°，得到OP=2，可推出點P在x2+y2=4上，即發現點P在一個圓上，于是順利將問題轉化為圓與圓的位置關系問題，進而輕松求解.

二、利用圓的性質(動點到兩定點的夾角為直角)可確定隱圓

題目中若動點到兩定點的夾角為直角，則可以得到點的軌跡為圓.

例在平面直角坐標系xOy中，直線l1：kx-y+2=0與直線l2：x+ky-2=0相交于點P，則當實數k變化時，點P到直線x-y-4=0的距離的最大值為____．

解法一直線l1，l2分別經過定點A(0,2)，B(2,0)，且l1⊥l2，所以點P在以AB為直徑的圓C上．

點評直接求出l1，l2的交點P的坐標(用k表示)雖然也能做，但計算量較大．找出點P變化的規律性比較好．本題的解法一明顯好于解法二，可見發現“隱圓”的優勢還是非常明顯的.

三、已知兩定點A，B，動點 P 滿足為定值可確定隱圓

又因為x2+y2=50，所以2x-y+5≤0.

點評利用坐標法求點滿足的方程是解決這類問題的常用方法．

四、已知兩定點A，B，動點 P 滿足PA2+PB2為定值可確定隱圓

已知兩定點A，B，動點P滿足PA2+PB2為定值的軌跡是圓.

例如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+y2-4x=0及點A(-1,0)，B(1,2)．在圓C上是否存在點P，使得PA2+PB2=12？若存在，求點P的個數，若不存在，說明理由.

圖1

解析圓C的標準方程為(x-2)2+y2=4，所以圓心C(2,0)，半徑為2.

假設圓C上存在點P，設P(x，y)，

則(x-2)2+y2=4，

又PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12，即x2+(y-1)2=4，是圓心為(0，1)，半徑為2的圓.

變式在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：(x+1)2+y2=2，點A(2,0)，若圓C上存在點M，滿足MA2+MO2≤10，則點M的縱坐標的取值范圍是____．

點評利用坐標法求點滿足的方程也是解決這類問題的常用方法．

五、給定兩定點A，B，動點P 滿足AP=λBP(λ>0，λ≠1)的關系可確定隱圓

若給定兩定點A，B，動點P滿足AP=λBP(λ>0，λ≠1)的關系，則P點的軌跡為隱圓,我們稱為阿波羅尼斯圓.

圖2

解析設AB的中點M(x0，y0)，則OM⊥PM，所以

點評阿波羅尼斯圓是常見考點，能對學生分析和解決問題的能力進行深度考查，同時也應用了數學中的數形結合、歸納類比、轉化化歸等思想．

六、利用軌跡法確定圓

所謂軌跡法就是通過設點，根據題目中所給的條件得到軌跡方程．常見求軌跡的方法有：直接法、定義法、相關點法、參數法．

例在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-1，0)，B(5，0)．若圓M：(x-4)2+(y-m)2=4上存在唯一點P，使得直線PA，PB在y軸上的截距之積為5，則實數m的值為____．

由題意P的軌跡應與圓M恰有一個適合題意的點，則：

例在平面直角坐標系xOy中，已知B，C為圓x2+y2=4上兩點，點A(1,1)，且AB⊥AC，則線段BC的長的取值范圍為____．

圖3

點評求軌跡問題要注意特殊點的判斷.

“隱圓”問題的難點是通過對題目已知條件的分析，將問題合理的轉化為圓，然后再利用圓的知識順理成章的解決.解題過程中要注意充分利用圓的幾何性質或一些簡單的軌跡知識將問題轉化為直線與圓或圓與圓的位置關系，進而求解范圍等常見問題.