冪數列求和公式的一種求解方法

王詠芳 陸宗斌

(江蘇省蘇州健雄職業技術學院 215411)

數學問題一般都有發現(提出)問題、分析(討論、猜測、推演)問題、解決(論證)問題的過程，其中的分析過程是重要的核心步驟，因為這其中包括了：問題的存在性、問題的可解性、簡化解決方案等等，本文就利用冪數列求和公式的求解問題，來說明這一觀點.

一、問題的產生

二、分析討論

1.由定積分的定義

2.設求和公式為

4.公式的正確性可以通過具體數值計算進行初步驗證，也可以通過數學歸納法嚴密證明.

三、具體舉例

2.可以仿照上面的方法得出s(n，4)、s(n，5)等公式.當k更大的時候，可以在網上查到，這里不一一列出.

3.計算說明：

(1)待定系數的k元線性方程組計算是利用電子表格中矩陣計算而獲得；

(2)s(n,k)有公共因子：k≥0時，有公因子n；k≥1時，有n(n+1)；k≥2時的偶數時，有n(n+1)(2n+1)；k≥3時的奇數時，有n2(n+1)2.

四、過程分析與結論

1.“猜想”是數學的靈魂和動力，s(n,k)是k+1次多項式就是一個假設、猜想，是依據s(n,1)、s(n,2)作出的猜想，上述s(n,3)的計算就是證明了這一假設在k=3時成立.

2.定積分的定義與計算，解決了s(n,k)的最高次項的次數及系數；線性代數知識可以保證k元線性方程組有唯一解組.有著高等數學“反哺”初等數學的作用.

3.計算機的運用是必須的，由于s(n,k)中有k+2個待定系數，利用定積分概念等解決了二個系數，但仍需計算k階矩陣，且其中元素數值最大的達kk，計算量隨k的增長呈級數增長，必須使用計算機.

5.k>10時，沒有得到論證，也無法用這個逐一解決的方法來論證.真正解決這個問題有完備的遞推公式，解決了k為正整數時的所有公式.

五、展望與拓展

2.當k<0時，可以證明P-級數的斂散性.同樣不在此進行展開討論.

3.初等數學常常用一題多解以拓展思路，高等數學往往用的是最佳最簡解法，因此高等數學的學習中思考的余地比較大，上述問題求解過程中涉及的知識點也比較多，甚至使用了計算機，但也僅僅是部分解決了問題，并沒有完備解決問題：k為任意正整數時.身為高等數學教師，不單單教授高等數學知識，還要創新教學方法，提高學生的應用意識和創新能力，切實擔當起教書育人的職責.