三角恒等變換入手破解三角方程問題

曹 兵

(江蘇省南通市海門第一中學 226100)

歷年高考過后，數學真題眾說風云，評說不一．高考真題創新無限，名題如云，美不勝收．特別對于2019年高考上海卷第16題，背景簡單，融合自然，難度較大，立意新穎，思想豐富，實屬難得，是眾多名題中的一個閃閃亮點，具有非常好的學習、觀摩、研究、拓展的價值．

一、真題在線

高考真題(2019·上海卷·16)已知tanα·tanβ=tan(α+β)，有下列兩個結論：

①存在α在第一象限，角β在第三象限；

②存在α在第二象限，角β在第四象限；則( ).

A．①②均正確 B．①②均錯誤

C．①對，②錯 D．①錯，②對

本題綜合三角函數與命題的真假判斷問題，從三角恒等變換入手，三角方程的應用來處理對應的命題的真假確定，從而確定正確的選項．問題背景新穎，創新性強．破解方法主要通過二次方程思維與特殊值思維等角度加以切入，利用方程思想、不等式思想等加以突破，從而得以正確判斷．

二、一題多解

1．二次方程思維

方法1(主元轉化+二次方程法)

故選擇答案：D．

點評通過引入參數，設定其中一個為主元加以解決相應的二次方程，通過構造函數，利用函數的單調性并結合方程的根的情況加以分類討論，進而得以確定兩角所對應的正切值的正負取值情況，進而確定兩角所可能存在的象限問題．

方法2(換元+二次方程法)

綜上分析，可以判斷①錯，②對，故選擇答案：D．

點評結合tanα，tanβ的和與積同時出現的情況，引入參數，得到一個相應的二次方程x2-(t-t2)x+t=0，并結合條件中角所在的象限確定tanα，tanβ的正負取值情況加以分類討論，利用根的取值的存在性加以分析與判斷．

2．特殊值思維

方法3(特殊值驗證法)

解析取特殊值加以檢驗，

點評利用特殊值加以檢驗時，正確選取特殊值是解決問題的關鍵．特別在考試當中，針對特殊值驗證法，若有解時則認為存在，取多組解時發現沒有解，則可認為不存在．

方法4(特殊值+均值不等式法)

若角α，β分別在第一象限、第三象限時，則有tanα>0，tanβ>0，

綜上分析，可以判斷①錯，②對，故選擇答案：D．

點評利用特殊值直接判斷②正確，對于滿足關系式成立的角比較困難一次性確定，可以通過先給其中一個角賦一個確定的值，再求解另一個角的值；而在判斷①時，利用兩個角所對應的正切值均為正數的情況，結合均值不等式得到矛盾的結論，可以非常巧妙加以判斷與應用．

方法5(特殊值+不等式性質法)

綜上分析，可以判斷①錯，②對，故選擇答案：D．

點評利用特殊值直接判斷②正確，對于滿足關系式成立的角比較困難一次性確定，可以通過先給其中一個角賦一個確定的值，再求解另一個角的值；而在判斷①時，利用兩個角所對應的正切值均為正數的情況，結合不等式的性質得到矛盾的結論，可以非常巧妙加以判斷與應用．

三、真題反思

涉及三角方程的解問題，要求我們熟練使用相應的三角恒等變換公式．破解時往往沒有固定的模式可循，且一般難度較大，可以有效考查學生的發散性思維以及化歸與轉化思想．特別在破解過程中借助特殊值法加以處理，可以有效降低思維量和運算量，但不能夠作為通解通法，只能是一種輔助性方法．因而要求我們從各個角度展開豐富的思考，展示精彩的思維過程與解題過程．從而站在整個高中數學的角度，不拘泥于模式，而是自然而然地由相關知識引入與之對應的解題思路、方法與技巧，這才是真正高考命題中核心素養立意的充分體現與魅力所在．