常見不等式綜合問題的三類題型及解法分析

王圓圓

(江蘇省海頭高級中學 222111)

一、結合函數最值求解

函數最值問題在高中數學的學習當中是同學們普遍反應最大的難點，解決函數最值的問題有多種多樣的方法，很多題目都可以與基本不等式建立非常密切的聯系，而且應用基本不等式的思路來思考求解問題的過程中，解題的速度會隨之加快，更是能夠保證解題的準確率.但是運用不等式求解函數的最值問題也需要同學們通過日常的訓練建立相應的解題技巧，熟悉不等式及其定理，準確地掌握這些內容的基本應用方法.

解決這一類的題目需要同學們準確地運用基本不等式的內容，或者是基本不等式的變形來代入計算即可，需要同學們保證計算的準確性.

例題1存在x、y∈R+，經過計算得出4x2+y2+xy的值為1，試著算出2x+y的最大值.

解這道題目就是函數最值利用不等式的方法求解的一種較為簡單的情況，在解決這道題目時，同學們可以運用基本不等式來進行解答，根據

a2+b2≥2ab(a、b∈R+),則4x2+y2≥4xy.

因此存在4x2+y2+xy≥4xy+xy

因此，通過計算

二、結合恒成立證明

巧列不等式來解決恒成立的問題，對同學們思維的靈活性有較高的要求，因為往往會在題目當中涉及到參數、變量等內容，通常會和幾何、數量、函數的知識緊密地結合在一起進行考察，所以同學們要想準確地對這樣的題目進行分析和計算，在掌握最基礎的不等式的相關概念的同時，最重要的還應該掌握一種基本的等價轉換思想和化歸的思想.

在下面這道題目當中出現的是應用不等式求解恒成立問題的一種分離參數的思想，同學們需要把題目中給出的函數方程中的參數和其他的變量分離開來，然后通過函數最值求解的方法來進行計算.

例題2 已知存在二次函數f(x)滿足f(x+1)-f(x)=2x，同時滿足f(0)=0，求解二次函數f(x)的解析式；在定義域[-1，1]上，二次函數y=f(x)的圖像始終在直線y=2x+m的圖像上方，試著求解m的取值范圍.

解設二次函數的解析式為f(x)=ax2+bx+c,a≠0

因為二次函數滿足f(0)=0，可得c=0

又因為f(x+1)-f(x)=2x

解得a=1,b=-1

即二次函數的解析式為f(x)=x2-x

由題可得x2-x>2x+m

即x2-3x>m恒成立

則y=x2-3x在定義域[-1，1]上的最小值為-2

因此可得m<-2

三、結合解析幾何求解

解析幾何的相關知識也是高中數學經常會考察的一個重點問題，同時也是同學們學習的難點.很多綜合類的題目都會把不等式的相關知識和解析幾何結合在一起進行考察，對同學們掌握的函數的基礎知識的綜合應用能力有較高的要求，需要同學們能夠準確地使用不等式解決問題，達到一種化腐朽為神奇的效果.

從而在下面這道題目，當給出的雙曲線的解析幾何方程需要同學們進行適當的變形處理之后，再聯立方程進行求解即可.同學們在進行計算的過程中需要準確的把握未知數的個數與方程的個數之間的關系.

解：根據題目當中的已知條件進行判斷可得

4k2+4(3-k2)(k2+12)>0

聯立題中給出的已知條件可得

不等式綜合題型的考核是高考的熱點也是常考點，各位教師應該重點把握的教學原則是這一部分知識并不是獨立存在的.我們在實際的教學當中最開始的教學必須要讓同學們掌握不等式的相關性質，熟練地運用這些性質去解決一些簡單的問題，才能在后續的綜合型題目的練習當中取得更好的成績.