火車跑得快 全靠車頭帶
——火車模型動力分配規律的推導和應用

謝明川 朱宗華 向 丹

(重慶市黔江中學校 409000)

普通高中物理課程標準(2017年版2020年修訂)在課程目標中要求學生通過高中物理課程的學習達到“具有建構模型的意識和能力”,并在物理學科核心素養的水平劃分之科學思維部分對物理模型給出了5個層次的具體要求.其中在水平3、4、5中特別指出：能在熟悉的問題情境中根據需要選用恰當的模型解決簡單的物理問題；能將實際問題中的對象和過程轉換成物理模型；能將較復雜的實際問題中的對象和過程轉換成物理模型.筆者在高三動力學部分一輪復習教學中充分利用習題資源和學生一起推導、歸納火車模型的特征和規律，并強化變式應用，有意識地引導和培養學生的科學思維和建模能力，收到觸類旁通、事半功倍的教學效果.

一、火車模型的規律推導

題目如圖1所示，在水平面上放有質量為M的物塊A和質量為m的物塊B，中間用輕繩連接，現對A施加一水平拉力F，使兩物塊沿水平面做勻加速直線運動，分別求出以下兩種情況輕繩的作用力大小.

圖1

(1)水平面是光滑的；

(2)水平地面粗糙，且物塊A、B與水平面間的動摩擦因數相同.

(2)設A、B兩物體與水平面間的動摩擦因數均為μ，對A、B整體，同理根據牛頓第二定律得：F-μ(mA+mB)g=(mA+mB)a

隔離物塊B有：T-μmBg=mBa，

由上述推導可以得出：

為了強化學生對上述規律的理解，體會并熟練掌握規律的普遍性，筆者在課堂教學中將上題情景變式置于傾角為θ的斜面上，如圖2所示，讓學生求在下列各種情況下繩中張力的大小.(1)斜面光滑；(2)A、B與斜面的動摩擦因數相同；(3)A、B與斜面的動摩擦因數不相同.

圖2

學生通過自主探究推導，能深刻體會到在火車模型中：無論A、B兩物體質量大小關系如何，無論接觸面是否光滑(如接觸面不光滑，物體與接觸面間的動摩擦因數必須相同)，無論在水平面、斜面或豎直面內運動，模型動力的分配規律不會變.

二、規律應用

例1 如圖3所示,質量分別為mA、mB的A、B兩物塊用輕線連接,放在傾角為θ的斜面上,用始終平行于斜面向上的拉力F拉A,使它們沿斜面勻加速上升,A、B與斜面間的動摩擦因數均為μ.為了增加輕線上的張力,可行的辦法是( ).

圖3

A．減小A物塊的質量

B．增大B物塊的質量

C．增大傾角θ

D．增大動摩擦因數μ

解析根據火車模型動力分配規律很容易得出選項A、B正確.

例2如圖4所示，用水平力F推放在光滑水平面上的物體P、Q、R，使其一起做勻加速運動，若P對Q的彈力為6N，Q對R的彈力為4N，Q的質量是1kg，那么R的質量是( ).

圖4

A．2kg B．3 kg C．4 kg D．5 kg

解析P、Q、R三個物體加速度相同，且P對Q的彈力充當物體Q、R加速運動的動力，Q對R的彈力充當物體R加速運動的動力.

例3 如圖5所示，在光滑水平面上有一段質量分布均勻的粗麻繩，繩子在水平向右的恒力F作用下做勻加速直線運動.繩子上某一點到繩子左端的距離為x，設該點處的張力為T，則最能正確反映T與x之間的關系的圖象是( ).

圖5

圖6

例4如圖7所示，在光滑的水平桌面上放一質量為mA=5kg的物塊A,A=5kg的上方放置一質量mB=3kg的滑塊B，用一輕繩一端拴在物塊A上，另一端跨過光滑的定滑輪拴接一質量mC=2kg的物塊C，其中連接A的輕繩與水平桌面平行.現由靜止釋放物塊C，在以后的過程中，A與B之間沒有相對滑動且A、B始終沒有離開水平桌面(重力加速度g取10m/s2.則下列說法正確的是( ).

圖7

A．A的加速度大小為2.5m/s2

B．輕繩對A的拉力大小為16N

C．A對B的摩擦力大小為6N

D．A對B的摩擦力大小為16N

速解用火車模型動力分配規律分析，可先將本題轉化為如圖8所示的模型：

圖8

外力F即C物體的重力為物體A、B、C提供動力，繩子的拉力T為物體A、B提供動力，A、B之間的靜摩擦力為B提供動力.

由T=(mA+mB)a，解得a=2m/s2.選項A錯誤.

例5(2007年江蘇高考題)如圖9所示，光滑水平面上放置質量分別為m和2m的四個木塊，其中兩個質量為m的木塊間用一不可伸長的輕繩相連，木塊間的最大靜摩擦力是μmg．現用水平拉力F拉其中一個質量為2m的木塊，使四個木塊以同一加速度運動，則輕繩對m的最大拉力為( ).

圖9

解法一(常規解法)要想使四個木塊一起加速，則任兩個木塊間的靜摩擦力都不能超過最大靜摩擦力.

對木塊A、B、C、D整體，設加速度大小為a，根據牛頓第二定律得：F=6ma,以木塊C、D整體為研究對象，同理有：繩子拉力T=3ma.

設左側C、D木塊間的摩擦力為f1，右側A、B木塊間摩擦力為f2

對左側下面的D木塊有：f1=2ma

對右側B木塊有f2-T=maf2=T+ma=4ma

解法二(模型法)由圖9分析可知：外力F為物體A、B、C、D提供動力，物體A、B間的靜摩擦力f2為物體B、C、D提供動力，繩子拉力T為物體C、D提供動力，物體C、D間的靜摩擦力f1為物體D提供動力.不管外力F如何變化，只要四個物體沒有發生相對運動，則這四個動力的大小關系永遠滿足：F>f2>T>f1.因為A、B和C、D這兩個接觸面的最大靜摩擦力是一樣的，都是μmg.所以隨著外力F的增大，A、B這個接觸面首先達到它的臨界點.

也就是說當f2=μmg時，繩子的拉力T最大.

例6(2020全國高考Ⅰ卷)如圖10，U形光滑金屬框abcd置于水平絕緣平臺上，ab和dc邊平行，和bc邊垂直.ab、dc足夠長，整個金屬框電阻可忽略.一根具有一定電阻的導體棒MN置于金屬框上，用水平恒力F向右拉動金屬框，運動過程中，裝置始終處于豎直向下的勻強磁場中，MN與金屬框保持良好接觸，且與bc邊保持平行.經過一段時間后( ).

圖10

A.金屬框的速度大小趨于恒定值

B.金屬框的加速度大小趨于恒定值

C.導體棒所受安培力的大小趨于恒定值

D.導體棒到金屬框bc邊的距離趨于恒定值

設金屬框和導體棒MN的質量為m1、m2，

對導體框，根據牛頓第二定律：

解法二(排除法)如選項A正確，即金屬框的速度大小趨于恒定值，則F=F安框，金屬框將作勻速直線運動.因為導體棒MN所受安培力大小與金屬框所受安培力大小始終等大反向即F安框=FMN，所以導體棒MN此時將向右作勻加速運動，回路中的電流將會減小，金屬框將作加速運動，金屬框的速度大小不可能趨于恒定值；如選項D正確，則導體棒MN和金屬框速度相等，相對靜止，回路中的電流為0，導體棒MN與金屬框所受安培力皆為0，導體棒MN作勻速直線運動，金屬框在F的作用下作勻加速運動，導體棒到金屬框bc邊的距離將變大，不可能趨于恒定值，選項D也錯誤.選項B、C正確.

解法三(模型法)根據題意分析可知：導體棒MN受到向右的安培力作用，向右做加速度逐漸增大的加速運動；金屬框在水平向右的F和水平向左，大小始終與導體棒MN等大的安培力的共同下向右作加速度逐漸減小的加速運動，當兩者加速度大小相等時，設導體棒MN和金屬框的質量分別為m1、m2，由模型規律可得：

總之教師在平常教學活動中對一些常規題目不能熟視無睹，如能慧眼獨具挖掘整理出題目中隱藏的規律性結論，力爭把窗戶紙捅破，引導并幫助學生建立模型，不僅能激發學生的科學思維能力和培養學生建模能力，也能破解高考疑難問題，達到事半功倍的學習效果．