數學競賽中的一道靚麗風景線
——取整函數

周巧靈 邱禮明

(廣東省惠州市實驗中學 516008)

在人教A版必修第一冊的教材中,有這樣一道習題:

函數f(x)=[x]的函數值表示不超過x的最大整數，例如，[-3.5]=-4，[2.1]=2，當x∈(-2.5,3]時，寫出函數f(x)的解析式，并作出函數圖象.

習題中出現的函數f(x)=[x]即為取整函數.在近幾年的各省市數學競賽中，經常出現以取整函數為背景的試題.本文以此為出發點，探討取整函數的定義，基本性質及其應用，供廣大讀者參考.

一、定義

設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數，則函數f(x)=[x]稱為取整函數，也叫高斯函數.即[x]表示實數x的整數部分，x-[x]表示其小數部分，通常用符號{x}表示，即{x}=x-[x].

二、性質

性質1對任意x∈R，均有x-1<[x]≤x<[x]+1；

性質2取整函數是一個不減函數，即對任意實數x1,x2，若x1≤x2，則[x1]≤[x2]；

性質3若n∈N，x∈R，則[n+x]=n+[x]；

性質4若x∈R，y∈R，則[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1；

性質5若n∈N+，x∈R，則[nx]≥n[x]；

三、應用舉例

例1 (2016年全國高中數學聯賽安徽賽區預賽第4題)記[x]表示不超過x的最大整數，則集合{[x]+[2x]+[3x]|x∈R}∩{1,2,3,…,100}共有____個元素.

分析設f(x)=[x]+[2x]+[3x]，則f(x+1)=f(x)+6，當0≤x<1時，f(x)的所有可能值為0,1,2,3，因此，f(x)的值域為S={6k,6k+1,6k+2,6k+3|k∈Z}

故S∩{1,2,3,…,100}共有4×17-1=67個元素.

所以，對任意正整數k均有

=7·49k-1-1=7·(50-1)k-1-1

≡7·(-1)k-1-1(mod50)

從而A≡7·1010(1-1)-1000≡40(mod50).故A除以50的余數為40.

例4(2015年全國高中數學聯賽天津賽區預賽試題第3題)用[x]表示不超過實數x的最大整數，則方程x2-[x]-2=0共有( )個不同的實根.

A.1 B.2 C.3 D.4

A.4 B.6 C.8 D.12

=1×3+2×5+3×7+4×9=70=2×5×7

從而集合A的元素個數為{2,5,7}的子集個數，即23=8，選C.

分析注意到

所以

A.11 B.13 C.14 D.19

對于每個不同的q均確定了唯一的有序數對(p,q)，從而，x也互不相同，

當且僅當q=41時，p=-3，此時，x的最小的解為-85.

A.2 B.4 C.6 D.8

=7a2k-1-(a2k-1+a2k-3)

=6a2k-1-a2k-3

記bk=a2k-1，故bk+1=6bk-bk-1，

注意到，{bk(mod10)}為2,4,2,8,6,8,2,4,…是以6為周期的周期數列，而1009=6×168+1，于是b1009≡2(mod10)，因此，[a2017]的個位數是b1009除以10的余數2.

A.1 B.2 C.3 D.2018

從以上競賽題(或者競賽訓練題)可以看出，與取整函數相關的賽題主要集中在函數與數列問題，只要充分理解取整函數的概念，恰當地使用它的性質，綜合高中階段所學的知識方法與能力，就能很好地解決這類問題.