對一道教材數列試題多視角解答

杜海洋

(四川省成都經濟技術開發區實驗中學校 610100)

一、試題呈現

子題下面我們先目睹2021年普通高等學校招生全國統一考試模擬演練(數學17題)已知各項都為正數的數列{an}滿足an+2=2an+1+3an．

(1)證明：數列{an+an+1}為等比數列；

母題在人教A版新課標教材必修《數學5》中第二章《數列》復習參考題B組第69頁第6題：

已知數列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)對于這個數列的通項公式作一研究，能否寫出它的通項公式？

下面筆者在不同的視角下通過對此題的解答，進一步對由數列的二階線性遞推公式求數列的通項公式的解法進行歸納，以達到拋磚引玉的作用，也希望讀者仿照解法對模擬演練試題進行多角度求解!.

二、解法的探究

解法一(教參提供解法)

解法二(利用累加法)

解法三(待定系數法1)

解法四(待定系數法2)

解法五(構造輔助數列)

解法六(分類討論)

用逐項相消，再用奇偶討論

由an+an-1=7·3n-2，得n-1個等式

a2+a1=7×30,a3+a2=7×3,a4+a3=7×32,a5+a4=7×33，…，an+an-1=7×3n-2，

討論(1)當n為偶數時，n-1為奇數，將第2、4、6所有序號為偶數的式子乘以-1，再將這n-1個式子相加得：

(2)當n為奇數時，n-1為偶數，將第2、4、6所有序號為偶數的式子乘以-1，再將這n-1個式子相加得

解法七(特征根視角)

解法八(構造函數)

設a0,a1,…,an,…是給定的數列，作出以它為系數的多項式f(x)=a0+a1x+…+anxn+…，把f(x)稱為該數列的母函數.

令f(x)=a1+a2x+a3x2+…anxn-1…①

-2xf(x)=-2a1x-2a2x2-2a3x3-…-2anxn…②

-3x2f(x)=-3a1x2-3a2x3-3a3x4-…-3anxn+1…③

①+②+③得

(1-2x-3x2)f(x)=a1+(a2-2a1)x+(a3-2a2-3a1)x2+…+(an-2an-1-3an-2)xn-1+…又an=2an-1+3an-2(n≥3)，所以(1-2x-3x2)f(x)=a1+(a2-2a1)x=5-8x.

縱觀2021年新高考八省模擬演練數學試題，筆者發現，試題體現了新高考的特點即：在秉承素養導向、能力為重的原則下，突出考查學生的理性思維和探究能力，彰顯了綜合運用數學思想方法發展“四能”的意識.尤其是大量的試題創新設置豐富了試題的內容和形式、優化了試卷的結構.但細心發現，大量試題的背景來源依然是學生“熟悉”的面孔，只是呈現的形式玩了“花樣”，實際上17題明顯在教材的難度上下了臺階，只要平時教學留意，學生順利完成不難.

波利亞曾說過：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義但不太負載的題目，幫助學生發掘問題的各個方面，把學生引入一個完整的理論領域.”教材許多例題、習題看似平常，實際上卻有很大的教學價值和研究空間.縱觀近幾年全國各地高考題，模擬題均能找到課本習題、例題的影子，真正體現源于教材、活于教材、高于教材.高考中不變的是知識和思想方法，變化的無非是情景的呈現形式、問題的結構方式.這就要求平時在教學中，尤其典型例題和習題不但要講,還要講深講透,同時還要進行一題多解多變, 既可以開拓學生的視野，又可以最大限度的發揮習題的最大功效，使之知一題懂一類.