對一道教材數(shù)列試題多視角解答

杜海洋

(四川省成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校 610100)

一、試題呈現(xiàn)

子題下面我們先目睹2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練(數(shù)學(xué)17題)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an．

(1)證明：數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列；

母題在人教A版新課標(biāo)教材必修《數(shù)學(xué)5》中第二章《數(shù)列》復(fù)習(xí)參考題B組第69頁第6題：

已知數(shù)列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)對于這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式作一研究，能否寫出它的通項(xiàng)公式？

下面筆者在不同的視角下通過對此題的解答，進(jìn)一步對由數(shù)列的二階線性遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的解法進(jìn)行歸納，以達(dá)到拋磚引玉的作用，也希望讀者仿照解法對模擬演練試題進(jìn)行多角度求解!.

二、解法的探究

解法一(教參提供解法)

解法二(利用累加法)

解法三(待定系數(shù)法1)

解法四(待定系數(shù)法2)

解法五(構(gòu)造輔助數(shù)列)

解法六(分類討論)

用逐項(xiàng)相消，再用奇偶討論

由an+an-1=7·3n-2，得n-1個(gè)等式

a2+a1=7×30,a3+a2=7×3,a4+a3=7×32,a5+a4=7×33，…，an+an-1=7×3n-2，

討論(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n-1為奇數(shù)，將第2、4、6所有序號為偶數(shù)的式子乘以-1，再將這n-1個(gè)式子相加得：

(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n-1為偶數(shù)，將第2、4、6所有序號為偶數(shù)的式子乘以-1，再將這n-1個(gè)式子相加得

解法七(特征根視角)

解法八(構(gòu)造函數(shù))

設(shè)a0,a1,…,an,…是給定的數(shù)列，作出以它為系數(shù)的多項(xiàng)式f(x)=a0+a1x+…+anxn+…，把f(x)稱為該數(shù)列的母函數(shù).

令f(x)=a1+a2x+a3x2+…anxn-1…①

-2xf(x)=-2a1x-2a2x2-2a3x3-…-2anxn…②

-3x2f(x)=-3a1x2-3a2x3-3a3x4-…-3anxn+1…③

①+②+③得

(1-2x-3x2)f(x)=a1+(a2-2a1)x+(a3-2a2-3a1)x2+…+(an-2an-1-3an-2)xn-1+…又an=2an-1+3an-2(n≥3)，所以(1-2x-3x2)f(x)=a1+(a2-2a1)x=5-8x.

縱觀2021年新高考八省模擬演練數(shù)學(xué)試題，筆者發(fā)現(xiàn)，試題體現(xiàn)了新高考的特點(diǎn)即：在秉承素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的原則下，突出考查學(xué)生的理性思維和探究能力，彰顯了綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法發(fā)展“四能”的意識.尤其是大量的試題創(chuàng)新設(shè)置豐富了試題的內(nèi)容和形式、優(yōu)化了試卷的結(jié)構(gòu).但細(xì)心發(fā)現(xiàn)，大量試題的背景來源依然是學(xué)生“熟悉”的面孔，只是呈現(xiàn)的形式玩了“花樣”，實(shí)際上17題明顯在教材的難度上下了臺階，只要平時(shí)教學(xué)留意，學(xué)生順利完成不難.

波利亞曾說過：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義但不太負(fù)載的題目，幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”教材許多例題、習(xí)題看似平常，實(shí)際上卻有很大的教學(xué)價(jià)值和研究空間.縱觀近幾年全國各地高考題，模擬題均能找到課本習(xí)題、例題的影子，真正體現(xiàn)源于教材、活于教材、高于教材.高考中不變的是知識和思想方法，變化的無非是情景的呈現(xiàn)形式、問題的結(jié)構(gòu)方式.這就要求平時(shí)在教學(xué)中，尤其典型例題和習(xí)題不但要講,還要講深講透,同時(shí)還要進(jìn)行一題多解多變, 既可以開拓學(xué)生的視野，又可以最大限度的發(fā)揮習(xí)題的最大功效，使之知一題懂一類.