以退為進
——芻議高中數學函數解題技巧

唐 艷

(四川省德陽中學校 618000)

隨著人們對教育質量的要求逐漸提高，越來越重視對學生能力的培養.高中是學生在整個學習生涯中的一個重要的階段，在高中的教學過程中，教師不應該僅僅是教授學生書本上的知識，而是應該從書本的內容出發，教授學生更多的數學思想和解題技巧.只有這樣，才能以不變應萬變，應對高中生涯中源源不斷的各種試題，才能更加有效地提高學生的數學成績.以退為進是一種基本的數學思想，在高中數學函數解題的教學過程中，以退為進數學思想的運用被人們所熱議.基于此，對以退為進在高中數學函數解題中的探析勢在必行.

一、函數的含義

在中國，函數一詞是清代數學家李善蘭最初使用的.他在1859年與英國學者烈亞力合譯的《代數學》一書中，將“function”譯作“函數”.函，即“信”，李善蘭老先生巧妙的用寄信來比喻函數，就是為了方便后來學習的人能夠輕易理解函數的意義.“你寫一封信”就是“一個自變量x”，“你寫的所有的信”構成了集合為“值域{f(x)|x∈A}(?B)”，“你的朋友圈里的所有人”構成的集合就是“集合B”.順著這個比喻往下理解，就很容易理解“使對于集合中的任意一個x， 在集合中都有唯一一個確定的數f(x)和它對應”這句話了，就是說信x只能有一個收信人y，即f(x)， 不可能一封信有多個收信地址；而一個收信人卻可以收到很多信，即一個x只能對應一個y，而一個y卻能有多個x與之相對應.

二、以退為進在高中數學函數解題中運用的意義

思維是開啟智慧的鑰匙，是開拓者手中的拐杖.以退為進，是我國數學教育的重要思想，是教師進行有效教學的重要策略和手段，是對我國原有數學教育思想和教育方法的重要改革，是踐行高中數學新課程改革標準的具體措施.以退為進在高中數學函數解題中的運用是新時代下新課改的要求，也是社會對新時代人才的要求.以退為進，就是從抽象退到具體，從復雜退到簡單，從整體退到部分，總之，退到一個能夠解決問題的地方.

以退為進在高中數學函數解題中的運用為教師的實際教學指明方向，優化了教師的教學過程，提高了學生對函數知識的吸收能力，提高了教師對學生的函數教學質量和函數教學的實效性，有利于樹立學生對于函數學習的自信心，加強其面對問題積極應對的決心，讓學生具備一定的邏輯思維能力和自主探究能力，使學生能夠充分的理解函數、掌握函數學習的基本定理和規律，讓學生們能夠熟練地運用所學的函數知識解決生活中的各項難題，讓高中數學的教學事半功倍，對于學生、教師、乃至社會意義重大.

三、以退為進在高中數學函數解題中的運用策略

1.以退為進解填空題

退中有法，以退為進，退出了一些選擇題、填空題的解題技巧，看似旁門左道，卻節省時間，提高效率.以退為進在高中數學函數解題中的運用的第一個“退”就是退到特殊情況，這里的特殊情況包括：變量值的特殊化、函數解析式的特殊化、圖形形狀的特殊化、位置關系的特殊化、極端化也是一種特殊化、甚至還包括定量問題特殊成定性問題等等.由這些退到以上這些特殊情況，就產生了“特殊值法、特殊函數法、特殊圖形法、極端分析法、估算法”等由以退為進而產生的解題策略.通過這些方法用來解決高中數學函數的選擇、填空題是十分有效的，這些方法正是體現了——退中有術，實現了以退為進在高中數學函數解題中的巧妙解決方法.

A.11 B.10 C.9 D.8

2.以退為進解綜合題

很多學生對于解答數學綜合題往往感到無從下手,而在高考數學中,綜合題占了半壁江山.因此高考數學考得是否成功,很大程度上取決于綜合題.數學綜合題各個知識點之間是互相補充、制約和滲透的,考查考生對基本知識點的掌握、理解及運用，綜合題的題設條件內涵豐富,對解題過程中的轉化、變換、聯想、類比、歸納等技巧要求高,題目的結論還可以是開放性的,主要考查考生思維的發散性和獨創性,這些都是高考的熱點.在函數解題的過程中，教師要在實際的高中數學教學活動時，充分發揮學生們的發散思維.教師可以利用書本中的例題來對某一知識點進行反復論證與講解，盡可能的融合書里的知識，抓住學生數學學習的盲點及誤區，培養學生多方面的解題思路，讓學生能更好地學習和吸收數學知識.

3.以退為進看題目

“看懂題目”簡單的說就是審題，審題說起來簡單，真正做起來大多數人可以做到，但是能夠正確審題的學生卻少之又少.在高中函數的解題過程中，很多學生都會在解題過程中出現各種各樣的錯誤，其原因很多都是因為審題的時候出現了失誤.在審題過程中，要求學生能都清楚的了解題目的題意，清楚明白命題的層次結構及其隱藏條件，這樣才能解出題目的正確答案.所以，教師教授高中數學函數解題技巧時，要注意培養學生的審題能力，用以退為進的方式讓學生能看懂題目，讓學生先退到學生最容易看清楚的地方，認透了，鉆深了，然后再上去.引導學生能夠獨立自主的發現題目中的隱含條件，使學生掌握解題的基本方法，進行正確的解題，培養學生的韌性和毅力.讓學生從“完全不認識”到“擔心害怕”到“壯著膽子試試”，從“慢慢認識”到“找到規律”到“得出正確結果”.在遇到一個很困難的問題時，可將它們分解為一系列的步驟.

例如，已知f(θ)=sin2θ+sin2(θ+α)+sin2(θ+β)，其中α,β是滿足0≤α≤β≤π的常數，試問α,β為何值時，f(θ)與θ無關.分析:根據題設條件可知，對于所有不同的θ，f(θ)恒為定值.為了探求α,β的值，所以我們考慮θ的幾個特殊值，θ=0,-α,-β，使f(θ)的表達式變得較為簡單.

以退為進就是給學生設置問題串,把比較復雜的題目通過問題串的形式一步一步退到最基礎的題目上來,發現題目想考查的知識點,讓學生更能理解出題者的意圖.

綜上所述，以退為進在高中數學函數教學中的應用和滲透至關重要，新時代下對高中數學的教學，應該致力于將以退為進應用于高中數學函數的教學中，用以退為進的方式解填空題、綜合題，用以退為進的方式讓學生看懂題目，教師在教學中要積極進行以退為進教學方式的提煉和滲透，加強對以退為進的應用，這樣才能實現學生的自我完善以及綜合能力的提高，促進我國高中數學的教學水平和教學質量的提高，為社會和國家培養出優秀的社會主義接班人.