基于等效樣本和實仿融合的現場小子樣試驗制導精度評估方法

寧小磊，吳穎霞

(中國華陰兵器試驗中心，華陰 714200)

隨著高新技術的迅速發展，在常規制導兵器的論證、研制過程中引入了慣性導航系統、成像導引頭等昂貴部件[1]，大大提升了常規制導兵器的作戰能力和作戰效能，但同時裝備單子樣價格也日益昂貴。在裝備鑒定定型階段，受試驗消耗約束，現場能夠獲取的試驗樣本越來越少，若仍采用傳統的純粹依據現場試驗評估裝備性能指標的試驗方法[2]，存在試驗評估誤差較大、試驗鑒定風險較高等問題。

Bayes 方法通過融合仿真先驗信息可提高現場小子樣試驗評估精度[3-6]，但Bayes 方法在融合評估時，仍存在先驗分布如何科學確定的問題，尤其當先驗信息失真時，估計精度甚至下降。針對先驗分布的確定問題，現有文獻[7-9]提出了采用加權自助抽樣技術構造先驗分布；通過引入修正冪參數構造帶冪函數的先驗分布，控制驗前信息對驗后估計的影響；通過加權計算仿真先驗分布和無信息先驗分布，構造混合先驗分布；通過引入先驗信息可信度C構造了先驗分布，并改進了后驗加權系數的計算方法。現有文獻[7-9]提出的一些科學構造先驗分布的有效方法，一定程度上提高了Bayes 估計性能。但這些方法本質是通過加入無信息先驗分布減少仿真先驗參加計算后驗參數的權重，確保Bayes 估計精度，很顯然這是一種比較保守的改進策略，不能充分利用先驗信息。

針對上述問題，提出了一種基于等效樣本和實仿融合的現場小子樣試驗制導精度評估方法。該方法在仿真可信度C、統計理論和評估精度約束下，提出由仿真可信度C引起的評估誤差E1 和仿真抽樣引起的評估誤差E2 共同度量仿真先驗精度。使用等效樣本表征E1，仿真抽樣樣本表征E2，并將其帶入Bayes融合框架完成后驗分布的精確估計。根據Kalman 濾波收斂性理論給出了該方法合理性的證明。最后，通過示例對改進方法與傳統方法的估計性能進行了比較，驗證了本文方法的有效性和正確性。

1 Bayes 方法與問題分析

1.1 Bayes 方法

Bayes 方法可以利用先驗信息和現場數據實現參數后驗統計推斷[5-6,10]，Bayes 統計推斷過程如下[10]

式中，θ為未知量；x為現場抽樣樣本；π(θ|x)為后驗分布；π(θ)為先驗分布；p(x|θ)為樣本信息；為邊緣密度函數。

在式(1)中，先驗分布π(θ)反映了抽樣前對θ的認識，后驗分布π(θ|x)反映了抽樣后對θ的認識。Bayes方法就是通過現場樣本x對θ認識的一種調整。因此后驗分布π(θ|x)可以看作是用總體信息和樣本信息對先驗分布π(θ)調整的結果[10]。使用Bayes 方法融合仿真數據與現場數據綜合評估時，將仿真數據作為仿真先驗信息，然后使用現場數據調整先驗分布，得到后驗分布，用框圖表示Bayes 融合過程如圖1 所示[10]。

圖1 貝葉斯原理示意圖Fig.1 Bayesian principle diagram

由于制導精度一般服從正態分布，下面給出正態分布由共軛先驗到后驗分布的Bayes 統計推斷。

1.2 Bayes 方法融合評估時的問題分析

對式(2)進行分析可見，μ2實際上是μ0和μ1的加權和，加權系數分別是1-k和k，由先驗信息精度和現場樣本精度共同確定。假設σ2=0.5，=0.45，圖2 給出了該條件下的權系數計算結果。

從圖2 可見，隨著現場樣本量n增大，仿真先驗權系數急劇下降；當現場樣本量n增大到10 以后，仿真先驗系數大約為0.1，對計算后驗分布參數的貢獻已經很小了；當n= 1時，兩系數才大致相當。很顯然，這種權系數分配并不是最優的，比如當仿真先驗精度較高時，在現場樣本估計精度超過仿真先驗精度時，才應該賦給現場樣本更大的權重。

圖2 權系數計算結果示意圖Fig.2 Weight coefficient calculation result

2 基于等效樣本和實仿融合的Bayes 統計推斷

2.1 改進思路

對仿真先驗分布而言，仿真可信度C是度量μ0偏離μ程度的參數，很顯然仿真可信度C越高，則μ0的精度越好，反之μ0的精度就越差，因此可以基于仿真可信度C建立表征μ0的精度模型。從μ1的精度公式可見，抽樣樣本量n是精度的數學實質反映，因此，也可由一個“虛擬”的抽樣樣本量m表征先驗分布μ0的精度，我們將這個抽樣樣本量m稱為等效樣本（Equivalent Sample，ES），它的物理意義是從具有仿真可信度C的仿真試驗系統中抽樣，其評估誤差相當于現場飛行m個試驗樣本的評估誤差。這樣就可以基于評估精度建立表征μ0精度的模型如下

將式(5)帶入式(4)計算權系數，就可以得到最優后驗估計結果。

2.2 等效樣本的確定

假設母體分布函數為 N （μ,σ2），仿真先驗分布函數為仿真試驗系統可信度為C。從中抽取M個仿真樣本模擬仿真試驗，其估計精度為從 N （μ,σ2）中抽取m個現場樣本模擬飛行試驗，其估計精度為σ2/m，則當

根據上述描述，很明顯可得到

由式(6)可見，已知σ2，m只與 ΔE（C,M）有關，而，一般情況下很小，可忽略不計，則有

由式(7)可見，仿真試驗評估誤差ΔE主要由仿真可信度C表征。建立仿真可信度C與仿真評估誤差ΔE（C）之間的關系模型如下

式中，f（ · ）為ΔE與C之間的關系模型；f-1（ · ）為f（· ）的反函數。式(8)最重要的物理意義是建立了仿真可信度C與仿真評估指標誤差之間的關系模型，仿真可信度C是仿真評估指標誤差的量化度量。

我們給出f（· ）一種簡單關系模型如下

則有

仿真可信度評估是系統仿真與建模領域比較復雜的問題，一般根據工程應用背景和仿真模型驗證方法給出科學度量，本文主要研究數據融合算法，對驗證方法不作深入探討。

2.3 統計推斷

綜上，基于等效樣本和實仿融合的Bayes 統計推斷公式如下

3 評估精度分析

3.1 權系數最優分配的理論分析

假設有如下線性動態系統模型

式中，Φk,k-1為一步轉移矩陣；Γk-1為系統噪聲驅動矩陣；Hk為量測陣；Wk-1為系統噪聲；Vk-1為量測噪聲，且滿足

當Φk,k-1= 1，Γk-1= 1，Hk=1時，式(16)變為

式(15)所示線性系統的Kalman 濾波實現為[11]

將式(2)轉化成如下形式

其對應的線性動力學模型為

由式(26)可見，Pk,k-1由Pk-1,Qk-1兩部分組成，其中，M為仿真抽樣樣本，一般M很大，因此，Qk-1很小，即仿真抽樣誤差很小。Pk-1是k- 1的最優估計誤差，可理解為仿真系統誤差，由仿真可信度C引起。

3.2 估計精度分析

對基于等效樣本和實仿融合的Bayes 統計推斷進行精度分析，假設有權系數偏離量δk，則有均方誤差偏離量δP，為

根據式（22），可得到本文方法的估計精度為

式(28)的工程意義在于：現場N個樣本，仿真等效樣本為m，則基于等效樣本的實仿融合評估精度相當于現場N+m個樣本的評估精度。

4 示例分析與比較

4.1 示例場景描述

選擇示例比較分析改進方法與現有方法在估計性能上的差別，示例場景描述如下：

總體分布為 N （μ,σ2），μ=0.4，σ2=0.5；先驗分布為總體分布與先驗分布為之間的差異為則根據式(6)得m≈ 10。從 N （μ,σ2）中抽取現場樣本x1,x2, … ,xn，n= 7，令則現場樣本分布為 N （μ1,σ2）。

用均方根誤差RMSE（R）度量Bayes 估計精度，RMSE 計算公式如下

式中，MonteC為蒙特卡洛實驗次數；為估計值；μ為真值。

4.2 估計精度RMSE（R）實驗

運行MonteC= 60次，得到各種方法的RMSE 如下 ：RMSE1=0.2082；RMSE2=0.1793；RMSE3=0.0883，其中，RMSE1為基于現場樣本統計的均方根誤差；RMSE2為Bayes 方法的均方根誤差；RMSE3為本文方法的均方根誤差。可見，本文方法的RMSE3小于現有兩種主要方法，說明其估計精度高于現有方法。圖3 給出了不同估計方法對μ的估計結果及估計誤差，估計次數為60 次，估計誤差Error= abs（-μ），其中，為估計值， abs （ · ）為取絕對值運算，從圖3 可見，本文方法的估計精度較高。

圖3 估計結果Fig.3 Estimation result

60 次抽樣中有7 次估計誤差比Bayes 方法大，這是因為小子樣現場樣本估計結果非常高所致，具有隨機效應。7 次抽樣具體估計結果見表1 所示。

表1 7 次抽樣及估計結果Tab.1 7 times test sample and estimation result

一次現場抽樣樣本如下：x=[1.0245, 0.7947，0.2864, 0.8804, 0.2280，0.8199, 0.9733]，則μ1=0.7153，=0.6653，μ2′ =0.5004，其中，μ2′為Bayes 估計結果，μ2′為本文方法估計結果，可見μ1′相比μ1′誤差較小，說明本文方法的有效性。

4.3 現場樣本量n 對估計精度的影響效應實驗

圖4 給出了估計誤差隨現場抽樣樣本量n的變化過程，圖5 給出了加權系數隨現場抽樣樣本量n的變化規律，其中虛線為現場加權系數，實線為仿真加權系數。

由圖4 可見，隨著現場樣本量n的增加，μ1的估計精度逐漸提高，Bayes 方法和本文方法的估計精度均逐漸提高，最后逐漸逼近現場樣本估計精度，這是因為現場樣本系數k逐漸逼近1，此時估計結果μ?2主要由μ1決定。但當n較小時，很顯然本文方法估計精度好于Bayes 方法。

圖4 估計誤差隨現場樣本量n 的變化規律Fig.4 Relationship curve between estimation error and flying test sample n

從圖5 可見，Bayes 方法權系數分配中，n很小時現場權系數非常大，導致仿真先驗對后驗分布參數計算貢獻很小，這樣分配系數顯然不合理，因為此時仿真先驗比現場樣本估計精度要高，應當賦予更大的權系數；而本文方法中，當10n= 時，現場樣本系數與仿真先驗系數大致相當；當n較小時，仿真先驗權系數大于現場樣本權系數，后驗參數計算大部分由仿真先驗值決定。

圖5 加權系數隨現場樣本量n 的變化規律Fig.5 Relationship curve between weight coefficient and flying test sample n

4.4 仿真先驗對估計精度的影響效應實驗

用μ0=0.2:0.02:0.8模擬不同精度（仿真先驗精度dμ=-0.2：0.02：0.4）的先驗分布，其余場景條件不變進行實驗。

圖6 給出了估計誤差與不同精度仿真先驗0μ、現場樣本量n的變化曲面。從圖6 可見，兩種方法的估計精度隨著現場樣本量n增大均逐漸提高；本文方法的估計精度高于Bayes 方法，尤其在現場樣本量n較小時，估計精度明顯好于Bayes 方法。

圖7 給出了等效樣本m與不同精度仿真先驗μ0、現場樣本量n的變化曲面。從圖7 可見，當μ0=0.4時，等效樣本m最大，這是因為此時μ=μ0，其中，μ為真值。隨著μ0相對μ增大或減小，m均減小。

圖7 等效樣本m 與仿真先驗誤差 μ0、現場樣本量n 的關系曲面Fig.7 Relationship curve between equivalent sample m and simulation prior, flying test sample n

圖8 給出了現場樣本權重k與不同精度仿真先驗μ0、現場樣本量n的變化曲面。

圖8 權系數k 與仿真先驗誤差 μ0、現場樣本量n 的關系曲面Fig.8 Relationship curve between weight coefficient k and simulation prior, flying test sample n

從圖8 可見，Bayes 方法對仿真先驗μ0不敏感，但隨著現場樣本量n增大k急劇增大，此時現場樣本在后驗分布參數計算中起主要作用；本文方法在μ0=0.4時k最小，這是因為此時μ=μ0，仿真先驗分布與真實分布相同，仿真樣本相當于實際抽樣樣本；隨著μ0相對μ增大或減小，k逐漸增大，這是因為仿真先驗不精確時，應增大現場樣本權重；隨著現場樣本量n增大，兩種方法中k均逐漸增大。

4.5 仿真可信度C 對估計精度的影響效應實驗

用dμ表示仿真先驗誤差，度量仿真可信度C評估誤差；用Δμ表示仿真先驗誤差評估精度，其余場景條件不變進行實驗。

圖9 給出了仿真先驗誤差dμ引起的Bayes 估計誤差曲面圖。由圖9 可見，隨著dμ增大，估計精度下降，但n能夠在一定程度上彌補這種誤差。圖10給出了仿真先驗誤差dμ引起的均方根誤差RMSE。由圖10 可見，隨著dμ增大，RMSE 增大。由圖9、10 可見，要保證一定精度，就必須精確表征仿真先驗。

圖9 估計誤差與dμ、n 的關系曲面Fig.9 Relationship curve between estimation error,dμ and n

圖10 RMSE 與dμ、n 的關系曲面Fig.10 Relationship curve between RMSE,dμ and n

圖11 給出了等效樣本計算誤差dm與仿真先驗誤差dμ、現場樣本n的關系；圖12 給出了現場樣本權系數計算誤差dk與仿真先驗誤差dμ、現場樣本n的關系；圖13 給出了命中概率評估誤差dP與仿真先驗誤差dμ、現場樣本n的關系。由圖11-13 可見，隨著dμ增大，等效樣本誤差dm、權系數計算誤差dk、命中概率評估誤差dP均增大（同樣的，減小dμ，即提高仿真系統可信度C，可以提高命中概率評估精度），但隨著現場試驗樣本n增加，dP逐漸減小。

圖11 等效樣本誤差dm 與dμ、n 的關系曲面Fig.11 Relationship curve between ES dm, dμ and n

圖12 權系數計算誤差dk 與dμ、n 的關系曲面Fig.12 Relationship between weight coefficient calculation error dk, dμ and n

圖13 命中概率估計誤差dP 與dμ、n 的關系曲面Fig.13 Relationship curve between hit probability evaluationerror dP, dμ and n

圖14 給出了仿真先驗評估誤差為Δμ時與仿真先驗評估誤差Δμ= 0時（此時表示能夠精確評估仿真先驗）的命中概率評估誤差之差ΔP與仿真先驗評估誤差Δμ、現場樣本n的關系。由圖14 可見，隨著仿真先驗評估誤差Δμ減小，能夠提高命中概率評估精度，這說明提高仿真系統可信度C評估精度，與增加現場試驗樣本量n、提高仿真系統可信度C一樣，在一定程度上可以降低試驗評估誤差。

圖14 命中概率評估誤差之差ΔP 與Δμ 、n 的關系曲面Fig.14 Relationship curve between the errorΔPof hit probability evaluation error, Δμ and n

5 工程應用案例

使用文獻[9]給出的工程案例數據進行應用對比分析。案例場景如下：

案例1[9]在武器落點精度試驗中，6 個實際縱向落點偏差樣本為（單位：m）：x=[0.25， 9.3， 5.5， 4.0， 1.1， 2.2]；補充樣本為x0=[10.0， 8.1， 13.1， 3.3， 6.5， 4.6， 4.8， -10.6， -8.8， -10.7]；這里，補充樣本服從的分布與真實試驗的分布有一定差異。采用各種方法得到的估計結果見表2 所示。

表2 估計結果（單位：m）Tab.2 Estimation result（Unit: m）

案例2[9]在武器落點精度試驗中，6 個實際縱向落點偏差樣本為（單位：m）：x= [0.77， 5.60， 14.64， -9.79， 17.6， -12.1]；補充樣本為x0=[-11.32， -1.65， 12.97， -27.91， -10.88， 8.32， -14.95， 3.61， -5.03， 0.28]；這里補充樣本服從的分布與真實試驗的分布是相同的，都是 N （0,102）。采用各種方法得到的估計結果和表3 所示。由表3 可見，本文方法μ? 估計精度較好，使用式(2)估計方差精度較差。

表3 估計結果（單位：m）Tab.3 Estimation result（Unit: m）

6 結 論

本文針對Bayes 方法應用于仿真數據和現場試驗數據融合評估時存在的仿真數據容易“淹沒”現場試驗數據、估計結果不是最優估計值等問題，提出了一種基于等效樣本和實仿融合的現場小子樣試驗制導精度評估方法。該方法為了提高融合評估精度和可靠度，在仿真可信度C、統計理論和仿真評估精度約束下，將仿真驗前信息折算成等評估精度下的飛行樣本量，精確度量了仿真先驗信息精度，并將其引入Bayes 融合框架實現了對后驗分布參數的精確估計，從而解決了Bayes 方法直接將仿真先驗分布方差作為度量仿真先驗信息的精度參數參與計算后驗加權系數導致的估計精度不高、先驗信息失真時估計精度甚至下降等問題。根據kalman 濾波收斂性理論證明了現場樣本權系數計算的最優性，并給出了估計誤差模型。通過示例對改進方法與傳統方法的估計性能進行了比較，驗證了本文方法的有效性和正確性。