沖壓發動機導彈扇面發射動力航程遠邊界計算

王治宇，李高春，徐伯起，夏 成

(海軍航空大學 岸防兵學院， 山東 煙臺 264000)

1 引言

沖壓發動機導彈具有推阻比大、速度快和射程遠等突出優勢[1-2]。其射擊方式一般為純方位攻擊或現在點攻擊，在該射擊方式下，輸入發射扇面角和目標距離即可完成裝訂。因此針對一定的發射扇面范圍，進行動力航程遠邊界的解算，能為作戰指揮決策提供直接的依據，綜合體現了發動機性能、彈道等多種因素對導彈作戰使用的影響。顯然，靶場試射數據有限，動力航程遠邊界的求解只能依據發動機性能數據和彈道模型等進行仿真計算[3]。

沖壓發動機導彈，特別是整體式液體沖壓發動機導彈，其動力航程可達數百公里，因此本文更關注不同的發射扇面角對其動力航程遠邊界的影響，忽略末制導段的影響。其遠邊界可簡單理解為導彈飛行時達到一定的終止條件后可實現的射程。

高勁松等[4]研究了以目標為中心和以本機為中心的全向攻擊2種方式下的攻擊區解算，張安等[6]研究了空空導彈發射包線的靈敏度問題，分析了導彈發射條件的改變對導彈發射包線的影響。杜昌平等[7]提出了一種空空導彈可攻擊區快速算法，利用可攻擊區多項式擬合結果作為積分計算的初始值，提升了解算速度。注意到，對空空導彈攻擊區的研究較多，而對反艦導彈的研究較少，對固體火箭發動機為動力的導彈研究較多，而對沖壓發動機為動力的導彈研究較少。

因此，本文在考慮沖壓發動機導彈的一體化性能計算和六自由度彈道方程[8]基礎上，設計了PID控制策略，在高低混合彈道模式下，建立了沖壓發動機導彈的動力航程遠邊界計算模型，基于黃金分割法給出了遠邊界的計算方法和流程。最后利用切比雪夫多項式對遠邊界包絡線進行了擬合獲取邊界函數，用以滿足工程應用實時解算的要求。為導彈實際作戰使用時指揮決策提供了重要的依據。

2 邊界計算模型的建立

2.1 導彈動力模型

導彈動力裝置為固體火箭助推器和沖壓發動機。

導彈從艦上或發射車發射后，在助推器作用下到達一定高度，速度達到接力馬赫數，助推器脫落后沖壓發動機開始工作，為增大航程通常采用高低混合彈道飛行，為增強突防能力通常采用超低空掠海飛行，直至命中目標。

助推過程時間較短，且該過程采用姿態穩定控制，維持扇面發射角不變。因此動力學模型針對沖壓發動機工作過程。該過程中，由于沖壓發動機作為吸氣式發動機，且進氣道成為彈體一部分，因此發動機、導彈氣動和彈道之間存在強烈的耦合，有必要建立一體化動力模型。

導彈在慣性坐標系的運動模型為：

(1)

導彈質心運動的動力學模型為：

(2)

導彈繞質心轉動的動力學方程為：

(3)

導彈繞質心轉動的運動學方程為：

(4)

導彈質量變化方程為：

(5)

運動學和動力學方程中變量的定義同文獻[9]。

利用導彈氣動估算軟件[10]對該型導彈建模，獲取了其彈身、翼和舵的氣動特性，氣動參數可插值馬赫數和飛行高度求得。顯然，氣動力是高度、馬赫數和攻角的函數。根據文獻[11]，升力和阻力可表示為：

Y=qS(αCL0+2αCLwing)+2qCLfin

(6)

X=qS(CD0+CD2α2+CDfinα2+CDwingα2)

(7)

式中:CL0、CLwing、CLfin分別表示彈身、翼和舵的升力系數；CD0、CD2分別表示彈身的阻力系數；CDfin、CDwing分別表示翼和舵的阻力系數。

沖壓發動機的推力的計算基于文獻[12]，對若干工況進行計算后，可將其表示為余氣系數、馬赫數、高度和攻角的函數，即：

P=f(αf,Ma,h,α)

(8)

2.2 方案彈道模型

為了精確計算不同發射扇面角對應的動力航程，需要建立方案彈道模型，并設計PID控制系統跟蹤彈道。反艦導彈常用攻擊方式為現在點攻擊或者純方位攻擊方式，針對這一特點，設計如圖1所示的水平方案彈道。

圖1 水平方案彈道示意圖

O表示發射位置，發射扇面角為導彈初始發射方向和目標方向之間的夾角，用AfT表示，T為目標點，DT為目標距離，XfOZf為發射坐標系，ON表示真北方向，Xf為發射方向。

導彈在高空飛行時，采用等馬赫數控制，速度視作不變。可根據速度和機動過載求解轉彎半徑，在完成水平轉彎機動后朝向目標飛行。在該過程中，控制系統調整導彈水平速度方向軸向目標方向變化，直至其指向目標點。

采用高低混合彈道，主要飛行過程包括爬升段、高空巡航段、下降段、低空突防段。豎直方案彈道如圖2所示。

圖2 豎直方案彈道曲線

沖壓發動機導彈的航程跟發動機性能密切相關，不同的爬升彈道發動機燃耗也不同。根據文獻[13]，利用求解燃耗最優的爬升彈道，作為上升段的方案彈道。爬升彈道與高空巡航彈道如圖3所示。

圖3 優化計算后的爬升段巡航段彈道曲線

根據文獻[14]，下降段采用式(9)中的指數下降模型。

(9)

式中：H0為高空巡航高度；H1為掠海飛行高度；Ljg為預定降高距離；tj為到達預定降高距離的飛行時刻；τ為時間常數。

現在點攻擊方式下，可根據發射扇面角和目標距離信息，計算此次攻擊的方案彈道模型。注意到沖壓發動機導彈的速度在2～4個馬赫數，攻擊時間短，敵方艦艇機動范圍有限。因此采用這種方式設計方案彈道求解動力航程是合理的。

2.3 PID控制模型

為了克服大氣環境、發動機燃燒不穩定等諸多擾動因素帶來的影響，使導彈能按預定的方案彈道進行飛行，通過設計PID控制系統對導彈的俯仰角和偏航角施加控制[16]。工程上通常對滾轉通道采用穩定控制，從而達到對俯仰和偏航通道的去耦效果。進一步根據高度和偏航誤差信號，利用PID控制系統，調整舵面，改變氣動力，實現對方案彈道的跟蹤。誤差信號如式(10)，舵面偏轉角可由式(11)表示。

(10)

其中，hs(t)表示該時刻方案彈道的飛行高度；h(t)表示當前時刻的高度；zs(t)表示該時刻方案彈道的Z坐標值；z(t)表示當前時刻的Z坐標值。

(11)

其中，{KPy,KPz}表示控制器分別針對俯仰、偏航的比例系數； {KIy,KIz}表示積分系數； {KDy,KDz}表示微分系數。

綜上，PID控制系統結構設計如圖4所示。

圖4 PID反饋結構示意圖

2.4 彈道仿真終止條件

對扇面角進行n等分為AfTi,i=1,2,…,n(n越大，航程包絡就越精細，但計算量也越大)。在計算某個發射扇面角對應的最遠動力航程時，通過設定該方向上不同的目標距離DT確定對應的方案彈道。根據方案彈道，利用龍格庫塔積分，進行彈道仿真，記錄剩余燃油為零時的坐標位置，并計算發射位置到該點的距離di，若di

3 動力航程邊界搜索算法設計

在發射扇面內，動力航程遠邊界的集合可表示為{Rmax_1,Rmax_2,…,Rmax_n}。在對第i個發射扇面角

AfTi計算時，利用黃金分割搜索算法[17]，求解該方向的最大動力航程。

黃金分割法具有收斂速度快等優勢。首先確定初始范圍為：[a0,b0]，計算黃金分割點，將其設為目標距離DT=a0+0.618(b0-a0)，根據目標距離確定方案彈道，并進行六自由度彈道仿真，根據終止條件判斷di與DT的大小，若di

4 動力航程遠邊界仿真

以發射扇面角30°和10°為例，對其對應的彈道進行仿真計算。從同一位置發射后，發射扇面為30°的彈道曲線需要在Z方向進行更大的水平機動，如圖5所示。上升段在工程上一般用姿態控制系統，不進行水平機動。到達巡航高度后按水平方案彈道進行機動，當x方向上滿足降高距離Ljg后按豎直方案彈道進行降高。

圖5 三維彈道仿真曲線

為方便問題研究，不妨針對發射扇面角范圍為：AfT∈[-60°,60°]時進行研究，對其進行等分后，按圖6所示流程計算動力航程遠邊界。仿真結果極坐標如圖7所示。當發射扇面角較小時，遠邊界變化較小。當發射扇面超過30°時，遠邊界距離大幅增加。

圖6 動力航程遠邊界搜索流程框圖

圖7 動力航程遠邊界極坐標圖

注意到，有關空空導彈攻擊區的文獻[18-20]表明，進入角為180°時的攻擊區遠邊界最大，并隨著進入角的減小而減小。這主要是因為進入角越小，水平方向的機動就越大，攻擊區邊界就越小。

導彈發射扇面角為0°時動力航程遠邊界較小，總體上隨著發射扇面角的增大而增大，如圖8所示。

圖8 不同發射扇面角對應的動力航程遠邊界曲線

盡管發射扇面角的增大會增加水平機動，使得軌跡長度增加，將消耗更多的燃油。但是在x方向降高距離Ljg不變的前提下，發射扇面角的增大，也增加了高彈道巡航飛行的距離，從而整體上節約了燃油，增加了導彈的動力航程。

高空巡航段長度的變化可用圖9表示，注意到，圖8曲線所表示的動力航程增加的趨勢與圖9曲線所表示的高空巡航段的增長趨勢非常一致。

圖9 不同發射扇面角對應的高空巡航距離曲線

從圖8和圖9可知，當發射扇面角較小(25°以內)時，高空巡航距離基本不變，而總航程變長，故而射程減小，遠邊界下降。

當發射扇面角超過25°后，x方向預定降高距離Ljg不變，故而高空巡航段距離變長，其所占全彈道比重增加。在消耗相同燃油時，抵消了總路徑變長的影響，射程增大，遠邊界增加。

因此，得出結論:沖壓發動機導彈在高低混合彈道模式下，動力航程遠邊界的求解具有其特殊性。主要原因在于大發射扇面狀態時，高空巡航段距離的增加，總體上抵消了路徑變長的影響，使得動力航程遠邊界增大。

為了使上述研究成果可用于導彈實時求解動力航程遠邊界，以發射扇面角為自變量，對動力航程遠邊界進行切比雪夫多項式擬合。通過切比雪夫多項式擬合的途徑，能最大限度降低龍格現象，可實現多項式在連續函數的最佳逼近效果。

經過試驗得知6階切比雪夫多項式效果最好，如圖10所示。擬合函數式如式(12)。

圖10 以發射扇面角為自變量的遠邊界擬合曲線

得到擬合函數后，可以求得任一發射扇面角對應的動力航程遠邊界，滿足作戰實時性要求。

(12)

5 結論

在充分考慮沖壓發動機導彈一體化性能建模和6自由度彈道方程的基礎上，對其動力航程的遠邊界計算精確建模。合理的確定了方案彈道和控制策略，模型相對誤差小，滿足工程需求。通過黃金分割法搜索求解動力航程遠邊界包絡，為了滿足實時性要求，利用切比雪夫多項式對包絡線進行擬合。最大程度避免了擬合過程中的龍格現象，保證了擬合效果。仿真結果表明擬合精度較高、模型誤差較小，可為沖壓發動機導彈指揮作戰提供參考。