含變限積分未定式計(jì)算中的一點(diǎn)注記

白 斌 楊亞鋒 孟利娟

（華北理工大學(xué)理學(xué)院 河北·唐山 063009）

在高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，極限一個(gè)是貫穿整個(gè)微積分始終的基礎(chǔ)概念。極限的計(jì)算是課程教學(xué)內(nèi)容中重要的組成部分，針對不同類型的極限形式會(huì)有不同的計(jì)算方法，所以能夠靈活掌握極限的計(jì)算方法是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。

未定式是極限計(jì)算中一種較為常見的類型，包含標(biāo)準(zhǔn)未定式和拓展型未定式兩種。標(biāo)準(zhǔn)未定式有：型兩種，常用的計(jì)算方法有：因式分解或有理化約去零因子、兩個(gè)重要極限、無窮小等價(jià)替換、冪指函數(shù)公式、洛必達(dá)法則、中值定理以及麥克勞林公式等。拓展性未定式主要有：0∞、∞—∞、00、∞0和1∞型五種，可以通過取倒數(shù)、通分、對數(shù)變換等方法將拓展型未定式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)未定式。

含變限積分未定式是幾種特殊形式未定式極限的典型案例，巧妙地化簡積分符號是計(jì)算含有變限積分未定式極限的關(guān)鍵。常用的方法主要有：牛頓—萊布尼茲公式、洛必達(dá)法則與積分中值定理。其中，利用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算變限積分時(shí)，有些被積函數(shù)的原函數(shù)計(jì)算比較困難，甚至有些被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，因此該方法具有一定的局限性。洛必達(dá)法則是一種常用的求解未定式極限的方法，對變限積分進(jìn)行求導(dǎo)可以化簡未定式中的積分形式。邢秀俠指出在課堂教學(xué)中要特別強(qiáng)調(diào)含變限積分的型未定式求極限時(shí)應(yīng)當(dāng)首選洛必達(dá)法則。但是在利用洛必達(dá)法則計(jì)算未定式時(shí)往往需要與其他方法結(jié)合使用，如果處理不當(dāng)會(huì)使的計(jì)算過程更加繁瑣，有時(shí)甚至無法求解。積分中值定理可以將未定式中的變限積分轉(zhuǎn)化為積分區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)處的被積函數(shù)值與積分區(qū)間的乘積，能夠巧妙地去掉積分符號。如果積分區(qū)間可以與未定式中的其他項(xiàng)相互抵消，將未定式化簡為一般式（非未定式），則該方法可以有效簡化極限的計(jì)算過程；否則，由于不明確的變化速度，無法將兩個(gè)極限變化過程相互統(tǒng)一，該方法失效。

1 拓展型未定式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)未定式

拓展性未定式主要有：0∞、∞—∞、00、∞0和1∞型五種。其中，0∞型可以通過取倒數(shù)，即同除 0或∞轉(zhuǎn)化為型；∞—∞型可以通過通分轉(zhuǎn)化為型；00、∞0和1∞型可以利用對數(shù)變換和取倒數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為型。具體轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖1所示。

圖1：未定式轉(zhuǎn)化關(guān)系示意圖

2 含變限積分的未定式極限的計(jì)算

牛頓—萊布尼茲公式、洛必達(dá)法則結(jié)合變限積分求導(dǎo)和積分中值定理是常用的三種求解含有變限積分未定式極限的方法。下面通過實(shí)例演示三種方法各自的優(yōu)缺點(diǎn)，主要突出積分中值定理在未定式計(jì)算中簡捷，且其可行性容易驗(yàn)證的特征。

該實(shí)例表明，對于含變限積分的拓展型未定式極限計(jì)算，可以先將拓展型未定式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)未定式，然后利用積分中值定理對變限積分進(jìn)行替換。如果未定式發(fā)生退化，針對沒有明確表達(dá)形式的抽象函數(shù)，該方法同樣行之有效，此時(shí)洛必達(dá)法則束手無策。

3 結(jié)束語

本文闡述了標(biāo)準(zhǔn)未定式與拓展性未定式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。通過實(shí)例對牛頓—萊布尼茲公式、洛必達(dá)法則結(jié)合變限積分求導(dǎo)以及積分中值定理三種常用的求解含變限積分未定式極限的方法進(jìn)行對比分析可知，三者特點(diǎn)鮮明，優(yōu)點(diǎn)明顯，缺點(diǎn)同樣突出。其中，利用積分中值定理對變限積分進(jìn)行替換可以有效簡化未定式的計(jì)算過程，減小計(jì)算復(fù)雜度，且有效性的判別過程簡單、容易驗(yàn)證。所以不要盲目追求洛必達(dá)法則，而忽視了積分中值定理的價(jià)值。另外，該方法推廣到含有多個(gè)變限積分或者重變限積分的未定式計(jì)算中同樣簡單、有效。