《空間中垂直關(guān)系的證明
——面面垂直》教學(xué)設(shè)計

鄧 麗

(云南省昆明市西南聯(lián)大研究院附屬學(xué)校 650000)

課型：一輪復(fù)習(xí)課.

一、教學(xué)內(nèi)容分析

1.考點分析

立體幾何中有關(guān)“線線、線面、面面”位置關(guān)系(平行與垂直)的證明是歷屆高考命題的熱點.而“線線、線面、面面”三個垂直關(guān)系在高考命題設(shè)計中多以面面垂直來呈現(xiàn)，主要以棱柱、棱錐為載體，經(jīng)常把三個垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)作為考查的重點.本考點對學(xué)生基本能力要求如下：

(1)能以相關(guān)的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)定理.

(2)會運用線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)定理證明一些簡單空間圖形的垂直關(guān)系問題.

(3)靈活處理好“線線、線面、面面” 三種垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，為后續(xù)計算相關(guān)的角度問題與距離問題奠定邏輯推理基礎(chǔ)，積累邏輯推理經(jīng)驗.

2.重點與難點

線面垂直.

3.思想與方法

涉及到數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想和類比、歸納、轉(zhuǎn)換與化歸等數(shù)學(xué)方法.

4.學(xué)科核心素養(yǎng)

問題編排上滲透了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

5.預(yù)設(shè)教學(xué)效果

為讓學(xué)生初步達成“腦中有形——直觀想象；心中有數(shù)——數(shù)學(xué)抽象；手中有術(shù)——數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析；解題有路——邏輯推理、數(shù)學(xué)運算”之效果奠定基礎(chǔ).

二、學(xué)情分析

在高一、二期間學(xué)生系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了立體幾何，初步認識和了解空間中線面垂直、面面垂直的有關(guān)判定與性質(zhì)定理，對三種垂直關(guān)系有了一定的知識儲備.

多數(shù)學(xué)生的立體幾何基礎(chǔ)較弱，特別是文科學(xué)生,其空間想象能力還存在一定的困難，對知識的領(lǐng)悟與定理的運用與理科學(xué)生存在一定的差距.證明空間中面面垂直的方法有定義法和判定定理法.本節(jié)課教學(xué)主題定位在利用面面垂直的判定定理來證明面面垂直.所以，首先要有意識地讓學(xué)生通過簡單的正方體模型來觀察并證明面面垂直，然后歸納提煉出面面垂直的判定定理.

如何在具體的模型中快速找到其中一個平面內(nèi)的直線與另一平面垂直，進而將線面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直，給足學(xué)生思考的時間和空間，充分化解學(xué)生的認知沖突，化難為易，化繁為簡，突破難點.

三、教學(xué)流程

四、教學(xué)設(shè)計

設(shè)計意圖：以問題為主導(dǎo)——憶模，以學(xué)生為主體——研模，以探究為主線——拓模，以發(fā)展為主題——升華.

今年是我們偉大祖國70歲的生日，看70周年閱兵的時我們感慨祖國的繁榮昌盛.作為一名中國人我感到無比自豪，當(dāng)然祖國的復(fù)興離不開每一代人的努力奮斗(千千萬萬的你我他).閱兵方陣的每一行每一列的軍人所構(gòu)成的平面與長安街的底面都是垂直的.可見生活中的面面垂直是無處不在的.下面我們走進數(shù)學(xué)中的面面垂直.

板塊一：憶模

圖1

圖2

問題1 已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：平面ACC1A1⊥平面D1DBB1.

證明1∵平面AC為正方形，∴AC⊥BD

又∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD

∴BD⊥平面AA1C1C，且BD平面BB1D1D

∴平面AA1C1C⊥平面BB1D1D

證明2∵平面AC為正方形，∴AC⊥BD

又∵BB1⊥平面ABCD，∴AC⊥BB1

∴AC⊥平面BB1D1D，且AC平面AA1C1C

∴平面AA1C1C⊥平面BB1D1D

問題2 你能總結(jié)如何證明面面垂直？

面面垂直的判定定理：(線面垂直?面面垂直)如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.

設(shè)計說明：讓學(xué)生從熟悉的正方體模型中回憶面面垂直模型，并從具體的模型中抽象出面面垂直的判定定理.

問題3在正方體ABCD-A1B1C1D1中，是否還存在過直線BD的截面與平面AA1C1C垂直？

存在.例如：平面A1BD或平面C1BD.

板塊二：研模

問題4已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：平面ACC1A1⊥平面A1BD.

圖3 圖4

證明∵平面AC為正方形，∴AC⊥BD

又∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD

∴BD⊥平面AA1C1C，且BD平面BB1D1D

∴平面AA1C1C⊥平面BB1D1D

問題5問題1與問題4的證明過程有什么區(qū)別與聯(lián)系？(變與不變)總結(jié)證明面面垂直的關(guān)鍵問題是什么？

變：BD在不同的平面.問題1兩個平面都容易找到一條直線與另一平面垂直.問題4只能在一個平面找.

不變：都可以通過證明BD垂直平面AA1C1C證明面面垂直.

關(guān)鍵問題：線面垂直.

圖5

問題6還有沒有其它的證明方法？

證明：記直線AC與BD的交點為點O.連接A1O

∵平面ABCD為正方形，∴AO⊥BD

又∵A1D=A1B，∴BD⊥A1O，且A1O∩AO=O

∴BD⊥平面AA1C1C，且BD平面BB1D1D

∴平面AA1C1C⊥平面BB1D1D.

問題7證明面面垂直是如何轉(zhuǎn)化的？最后落實在哪里？如何實施？

面面垂直?線面垂直?線線垂直(空間?平面?平面)

問題8如果挪動AA1的位置使得AA1不垂直面ABD，其他條件不變，平面A1OA與平面A1BD是否仍然垂直？

圖6 圖7 圖8

成立.其中的垂直關(guān)系并沒有變.

設(shè)計說明研究面面垂直模型，以及面面垂直模型的關(guān)鍵問題和本質(zhì).(線面垂直和線線垂直)以及如何在面面垂直模型中找準(zhǔn)(線面垂直).

板塊三：拓模與升華

問題9：如圖1，要使平面PAD⊥平面ABCD，需要添加什么條件？

圖9 圖10

必要時可以提醒學(xué)生四邊形ABCD為矩形、菱形.或者對三角形PAD為等腰三角形.

例如：已知四邊形為矩形ABCD，PA⊥AB,求證：平面PAD⊥平面ABCD.

設(shè)計說明拓展面面垂直模型，讓學(xué)生依托正(長)方體模型對面面垂直模型進一步探究，克服文科生對空間垂直的畏難情緒.讓學(xué)生對各種錐體和柱體能在熟悉的正(長)方體模型中尋找原型.遇到面面垂直模型大膽猜想，小心證明.

挑戰(zhàn)：同學(xué)們能否自己借助正方體構(gòu)造一個面面垂直模型并設(shè)計好條件.(或者學(xué)習(xí)過的面面垂直模型在正(長)方體中找到原型)

五、學(xué)生小結(jié)(并畫出思維導(dǎo)圖)

利用面面垂直的判定定理證明面面垂直

面面垂直?線面垂直?線線垂直(空間?平面?空間)

六、體會與感悟

本節(jié)課是高三一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)課，整個教學(xué)設(shè)計是基于問題和基于學(xué)情進行開展，盡可能讓復(fù)習(xí)走向關(guān)聯(lián)與交匯，并通過追問與反思讓學(xué)生自主完成教學(xué)內(nèi)容.其中第三環(huán)節(jié)(拓模)是難點.

通過讓學(xué)生自主證明他們所熟悉的正方體中的對角面互相垂直出發(fā)，讓學(xué)生回憶用面面垂直的判定定理來證明面面垂直，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)建模的意識.在環(huán)節(jié)二中，引導(dǎo)學(xué)生對面面垂直模型的關(guān)鍵問題和本質(zhì)進行歸納，讓學(xué)生通過類比方式進行學(xué)習(xí)，并能歸納梳理空間中線線垂直的基本類型.在環(huán)節(jié)三給出結(jié)論讓學(xué)生尋找條件，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力和逆向思維能力.

著名的數(shù)學(xué)家波利亞說過：“學(xué)習(xí)任何東西最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”，也正本節(jié)課的設(shè)計理念，利用“最近發(fā)展區(qū)”原理，創(chuàng)設(shè)問題情境讓學(xué)生在自主、合作、探究中去完成學(xué)習(xí)任務(wù)，當(dāng)學(xué)生可能會遇到困難時，教師再予以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)與點撥.