《空間中垂直關系的證明
——面面垂直》教學設計

鄧 麗

(云南省昆明市西南聯大研究院附屬學校 650000)

課型：一輪復習課.

一、教學內容分析

1.考點分析

立體幾何中有關“線線、線面、面面”位置關系(平行與垂直)的證明是歷屆高考命題的熱點.而“線線、線面、面面”三個垂直關系在高考命題設計中多以面面垂直來呈現，主要以棱柱、棱錐為載體，經常把三個垂直關系的判定和性質作為考查的重點.本考點對學生基本能力要求如下：

(1)能以相關的定義、公理和定理為出發點，認識和理解空間中線面垂直、面面垂直的判定與性質定理.

(2)會運用線面垂直、面面垂直的判定及性質定理證明一些簡單空間圖形的垂直關系問題.

(3)靈活處理好“線線、線面、面面” 三種垂直關系的相互轉化，為后續計算相關的角度問題與距離問題奠定邏輯推理基礎，積累邏輯推理經驗.

2.重點與難點

線面垂直.

3.思想與方法

涉及到數形結合、轉換與化歸、特殊到一般等數學思想和類比、歸納、轉換與化歸等數學方法.

4.學科核心素養

問題編排上滲透了直觀想象、數學抽象、數學建模、邏輯推理等數學核心素養.

5.預設教學效果

為讓學生初步達成“腦中有形——直觀想象；心中有數——數學抽象；手中有術——數學建模、數據分析；解題有路——邏輯推理、數學運算”之效果奠定基礎.

二、學情分析

在高一、二期間學生系統的學習了立體幾何，初步認識和了解空間中線面垂直、面面垂直的有關判定與性質定理，對三種垂直關系有了一定的知識儲備.

多數學生的立體幾何基礎較弱，特別是文科學生,其空間想象能力還存在一定的困難，對知識的領悟與定理的運用與理科學生存在一定的差距.證明空間中面面垂直的方法有定義法和判定定理法.本節課教學主題定位在利用面面垂直的判定定理來證明面面垂直.所以，首先要有意識地讓學生通過簡單的正方體模型來觀察并證明面面垂直，然后歸納提煉出面面垂直的判定定理.

如何在具體的模型中快速找到其中一個平面內的直線與另一平面垂直，進而將線面垂直轉化為面面垂直，給足學生思考的時間和空間，充分化解學生的認知沖突，化難為易，化繁為簡，突破難點.

三、教學流程

四、教學設計

設計意圖：以問題為主導——憶模，以學生為主體——研模，以探究為主線——拓模，以發展為主題——升華.

今年是我們偉大祖國70歲的生日，看70周年閱兵的時我們感慨祖國的繁榮昌盛.作為一名中國人我感到無比自豪，當然祖國的復興離不開每一代人的努力奮斗(千千萬萬的你我他).閱兵方陣的每一行每一列的軍人所構成的平面與長安街的底面都是垂直的.可見生活中的面面垂直是無處不在的.下面我們走進數學中的面面垂直.

板塊一：憶模

圖1

圖2

問題1 已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：平面ACC1A1⊥平面D1DBB1.

證明1∵平面AC為正方形，∴AC⊥BD

又∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD

∴BD⊥平面AA1C1C，且BD平面BB1D1D

∴平面AA1C1C⊥平面BB1D1D

證明2∵平面AC為正方形，∴AC⊥BD

又∵BB1⊥平面ABCD，∴AC⊥BB1

∴AC⊥平面BB1D1D，且AC平面AA1C1C

∴平面AA1C1C⊥平面BB1D1D

問題2 你能總結如何證明面面垂直？

面面垂直的判定定理：(線面垂直?面面垂直)如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.

設計說明：讓學生從熟悉的正方體模型中回憶面面垂直模型，并從具體的模型中抽象出面面垂直的判定定理.

問題3在正方體ABCD-A1B1C1D1中，是否還存在過直線BD的截面與平面AA1C1C垂直？

存在.例如：平面A1BD或平面C1BD.

板塊二：研模

問題4已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：平面ACC1A1⊥平面A1BD.

圖3 圖4

證明∵平面AC為正方形，∴AC⊥BD

又∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD

∴BD⊥平面AA1C1C，且BD平面BB1D1D

∴平面AA1C1C⊥平面BB1D1D

問題5問題1與問題4的證明過程有什么區別與聯系？(變與不變)總結證明面面垂直的關鍵問題是什么？

變：BD在不同的平面.問題1兩個平面都容易找到一條直線與另一平面垂直.問題4只能在一個平面找.

不變：都可以通過證明BD垂直平面AA1C1C證明面面垂直.

關鍵問題：線面垂直.

圖5

問題6還有沒有其它的證明方法？

證明：記直線AC與BD的交點為點O.連接A1O

∵平面ABCD為正方形，∴AO⊥BD

又∵A1D=A1B，∴BD⊥A1O，且A1O∩AO=O

∴BD⊥平面AA1C1C，且BD平面BB1D1D

∴平面AA1C1C⊥平面BB1D1D.

問題7證明面面垂直是如何轉化的？最后落實在哪里？如何實施？

面面垂直?線面垂直?線線垂直(空間?平面?平面)

問題8如果挪動AA1的位置使得AA1不垂直面ABD，其他條件不變，平面A1OA與平面A1BD是否仍然垂直？

圖6 圖7 圖8

成立.其中的垂直關系并沒有變.

設計說明研究面面垂直模型，以及面面垂直模型的關鍵問題和本質.(線面垂直和線線垂直)以及如何在面面垂直模型中找準(線面垂直).

板塊三：拓模與升華

問題9：如圖1，要使平面PAD⊥平面ABCD，需要添加什么條件？

圖9 圖10

必要時可以提醒學生四邊形ABCD為矩形、菱形.或者對三角形PAD為等腰三角形.

例如：已知四邊形為矩形ABCD，PA⊥AB,求證：平面PAD⊥平面ABCD.

設計說明拓展面面垂直模型，讓學生依托正(長)方體模型對面面垂直模型進一步探究，克服文科生對空間垂直的畏難情緒.讓學生對各種錐體和柱體能在熟悉的正(長)方體模型中尋找原型.遇到面面垂直模型大膽猜想，小心證明.

挑戰：同學們能否自己借助正方體構造一個面面垂直模型并設計好條件.(或者學習過的面面垂直模型在正(長)方體中找到原型)

五、學生小結(并畫出思維導圖)

利用面面垂直的判定定理證明面面垂直

面面垂直?線面垂直?線線垂直(空間?平面?空間)

六、體會與感悟

本節課是高三一輪復習復習課，整個教學設計是基于問題和基于學情進行開展，盡可能讓復習走向關聯與交匯，并通過追問與反思讓學生自主完成教學內容.其中第三環節(拓模)是難點.

通過讓學生自主證明他們所熟悉的正方體中的對角面互相垂直出發，讓學生回憶用面面垂直的判定定理來證明面面垂直，培養學生的邏輯推理與數學建模的意識.在環節二中，引導學生對面面垂直模型的關鍵問題和本質進行歸納，讓學生通過類比方式進行學習，并能歸納梳理空間中線線垂直的基本類型.在環節三給出結論讓學生尋找條件，培養學生的分析問題的能力和逆向思維能力.

著名的數學家波利亞說過：“學習任何東西最好的途徑是自己去發現”，也正本節課的設計理念，利用“最近發展區”原理，創設問題情境讓學生在自主、合作、探究中去完成學習任務，當學生可能會遇到困難時，教師再予以適當的引導與點撥.