基于正交分解的電力系統狀態估計可觀性分析

趙友國，劉尚偉，王冠中，徐海柱，李富偉，逄 春

（1.東方電子股份有限公司，山東 煙臺 264000；2.浙江大學 電氣工程學院，杭州 310008）

0 引言

大規模隨機波動的新能源發電設備正廣泛改變傳統可控/可計劃的電網運行模式，其中，新能源并網功率的隨機性、間歇性導致電力系統的運行狀態難以準確估計，對EMS（能量管理系統）的功能實施帶來了挑戰[1]。量測數據的可觀性分析是保證狀態估計有效實施的前提，當量測數據不完全可觀時，可以提供可觀孤島等信息，進而指導量測裝置的選址，以實現系統量測數據的完全可觀。有必要指出，隨著中國電力事業的快速發展，高壓網架的可觀性已滿足狀態估計需求，但對于海量節點的中低壓網架，特別是配電網絡，由于節點數量大、投資成本高，當前尚未將數據測量覆蓋至每一個節點，因此仍有必要研究狀態估計的可觀性問題，這對于構建成本可控的配電網絡狀態估計系統具有實際意義。

針對狀態估計可觀性分析的研究可以追溯到上世紀70 年代，E.E.Fetzer 等將現代控制理論中的可觀性概念引入到電力系統靜態狀態估計問題，通過將線性系統中的動態過程置零，證明了電力系統靜態狀態估計的可觀性本質上與線性系統可觀性保持一致[2]。

可觀性分析的方法主要分為圖論類方法和數值計算法。電力系統靜態狀態估計的可觀性概念建立以后，首先發展的是圖論類方法[3]。圖論類方法將量測裝置獲得的數據與輸電網絡的線路相互關聯，通過量測裝置數據覆蓋到的線路能否組成連通樹來判斷系統的可觀性。圖論類方法幾乎不用進行數值計算，具有形象直觀、應用簡單的優勢[4]，但其所得結果不能與數值計算保持完全一致，導致在一些復雜場景下結果不夠準確[5]。數值計算法直接對狀態估計方程組的雅可比矩陣H[6]及其增益矩陣HTH 或者Gram 矩陣HHT[7-8]進行分析，檢驗矩陣是否奇異，若奇異則認為系統不完全可觀。但考慮到實際系統的雅可比矩陣具有非常高的維數，且不具有稀疏性，因此數值計算法面臨的主要挑戰是計算效率低。為提高數值計算法的效率，目前主要采用兩類研究辦法，分別是迭代法[9-10]和直接法[5]。迭代法通過迭代求解部分狀態變量的方式完成對增益矩陣或Gram矩陣的分解，并從結果中直接判定系統是否完全可觀。直接法則不進行狀態變量的計算，轉而對矩陣直接分析，當分析對稱矩陣如增益矩陣或Gram 矩陣時多采用矩陣三角分解的方式[7-8]，而對非對稱矩陣如雅可比矩陣進行分析時多采用行/列變換的形式[11]。

為了進一步降低狀態估計可觀性分析的計算負擔，本文從正交分解角度提出一種可觀性分析的直接法，該方法僅涉及到線性代數理論，便于工程應用[12-14]。主要思路是將雅可比矩陣行空間進行正交分解得到一組正交基，正交基的快速構造利用了啟發式方法，若正交基的維數與狀態變量的數量一致，則系統完全可觀，否則需要補充量測數據，而量測數據的篩選也是通過正交分解的辦法進行選擇。最后通過標準算例驗證了所提方法的有效性。

1 旋轉變換與正交分解

從數學角度介紹所提算法的原理。按照從一般到特殊的順序，首先介紹旋轉變換，在此基礎上介紹線性空間關于向量、子空間的正交分解，最后闡明施密特正交化與正交分解之間的聯系。

1.1 旋轉變換

旋轉變換具有廣泛的應用領域，如高斯消元等，了解其定義有助于深入認識很多常見算法的共有屬性[15]。旋轉變換的定義式如下所述。

由式（1）可知，旋轉變換由兩個步驟組成，第一行是對作為旋轉軸的向量進行標準化，改變其大??；第二行代表旋轉，將Hj中其余向量減去標準化后的旋轉軸向量的倍。

1.2 正交分解

假設存在向量uj≠0，令（向量uj和的內積），k=1，…，n。若，則有下面結果成立：

式中：L（Hj）⊥為從子空間L（Hj）中分解出的關于向量uj正交的子空間，又稱uj的正交補空間。

下面介紹子空間L（Hj）關于子空間L（{u1，…，un}）的正交分解。

假設有子空間L（{u1，…，un}）。按照下標順序依次對u1，…，un和L（H0）執行正交分解步驟，可獲得L（H0）中關于L（{u1，…，un}）正交的子空間。具體地，若令并且，則：

可知，若對L（H0）和u1，…，uj依次執行正交分解步驟，那么余下的就是子空間L（{u1，…，uj}）的正交補空間。此外，還有另外一個性質，即：

式（6）說明hj與uj除外的所有ui，i≠j 正交。

1.3 施密特正交化

給定子空間L（H0），其中，向量線性無關，目標是得到L（H0）中一組單位正交基，則施密特正交化過程可以描述如下：

由步驟（1）—（3）可見，本文介紹的正交分解與施密特正交化具有類似對偶的關系，即正交分解是根據給定的L（{u1，…，un}）來求取其在L（H0）中的正交補空間，而施密特正交化則是從L（H0）的一組基中找到相互正交的{u1，…，un}。

通過本文對旋轉變換、正交分解的介紹，可以加深對施密特正交化的認識，尤其是關于正交化與正交補空間的關系的認識，有助于直觀理解下文所提可觀性算法的原理。

2 狀態估計與可觀性分析

高、中壓交流電網狀態估計的重點在于計算節點電壓的相角，故一些文獻采用直流潮流模型來進行狀態估計及其可觀性分析，因此量測方程可表示為：

式中：H∈Rm×n為有功雅可比矩陣；θ∈Rn為節點電壓相角向量；z∈Rm為SCADA（數據采集與監控）系統的測量數據。當系統配置有PMU（同步相量測量單元）時，z 中包含部分節點相角θ 的測量值或兩個節點相角差，此時H 中對應一行有唯一非零元1 或兩個非零元+1，-1。n 為測量數據和狀態變量的維數，m 為實際量測數據的維數。矩陣H 具體表示為向量形式如下：

式中：hi，i=1，…，m 為矩陣H 的行向量。

可觀性分析的目的在于判斷量測方程的數據采集是否滿足計算節點電壓相角向量θ 的要求，否則需要補充量測數據并增加方程組的方程數。當量測方程完全可觀時，矩陣H 所張成的線性子空間將具有n 個正交基；若矩陣H 不可觀，從子空間中找到的正交向量組可用來恢復可觀性或計算可觀性孤島。下面介紹的可觀性分析算法便是上述思路的具體展開。

可觀性分析算法的輸出結果主要分兩方面，一方面是確定矩陣H 行向量中的線性無關部分，另一方面是給出矩陣H 行空間的一組正交基。若線性無關的向量數等于狀態變量數，那么系統完全可觀，并且余下行向量代表冗余的量測數據。

本文所提可觀性分析算法的具體步驟如下：

（1）首先初始化向量j=[j1，…，jm]T=0 和子空間X=span{0}。

（2）從矩陣H 中任選一行向量hk標準化為，令X1=span{u1}，j1=k。

（3）計算H 行向量（除hk以外）到子空間X1的投影，記投影為，以及投影與原向量的誤差（或者說是hi到子空間X1的距離），記為，i=1，…，m。

（5）對向量組{u1，hj2}作施密特正交化處理，即，以及，進而得到子空間X2=span{u1，u2}。若對X2重復步驟（3）—（4），同理可得j3和hj3。

（6）繼續上述步驟，給定向量組{u1，u2，…，hji}，并對上述向量進行施密特正交化，可得對應的子空間Xi=span{u1，ui}。

（7）對于j=1，…，m，向量hj對子空間Xi的投影為。

從幾何的角度看，上述算法步驟（2）—（10）本質上是從H 行向量中選出距離子空間最遠的一個作為新的基，將其加入子空間Xi并再次施密特正交化為一組新的正交基Xi+1，周而復始，得到H 行空間的一組正交基。利用最大距離來選擇行向量是一種啟發式方法，該方法的優點是計算負擔小，因此可加快可觀性分析的速度。

從代數的角度看，上述步驟（2）—（10）與矩陣的QR 分解[7]在形式上十分接近，最大不同在于本文算法將雅可比矩陣H 的行向量重新進行了排序，因此避免了矩陣求逆的操作，此外，也避免了矩陣迭代過程中由于部分行接近0 而附加的旋轉變換。

此外，聯系本文第一節的旋轉變換與正交分解的理論背景可知，所提算法過程不改變原始矩陣H 行空間的維數，因而算法輸出的正交基的數量恰是行空間維數，若其與狀態變量數量一致，則系統完全可觀。

3 重構可觀性的量測數據選擇方法

當系統為不可觀系統且雅可比矩陣的階數為n-r 時，上述算法可用于補充篩選r 個量測數據來重構可觀的系統或n 階雅可比矩陣。此時，經過步驟（1）—（10）所篩選出的正交的量測數據集合為Xn-r=span {u1，u2，…，un-r}，然后，以Xn-r為初始數據對其余量測數據所構成的雅可比矩陣Hc繼續執行算法步驟（6）—（10）直到篩選出的正交量測數據的數量達到n。至此，通過上文所提算法實現了不可觀系統的可觀性重構。

4 仿真分析

4.1 5 節點系統算例分析

仿真分析的主要目的是驗證基于正交分解的可觀性分析算法的有效性。首先采用某5 節點系統[16]拓撲驗證算法流程及結果的正確性，其量測裝置配置如圖1 所示，其中，3 號和5 號節點注入功率數據可測，線路4-5 和線路1-5 的有功潮流可測。

圖1 5 節點系統

根據圖1 中的測量裝置配置情況，該系統的狀態估計雅可比矩陣H 為：

矩陣H 的四列分別對應節點1，2，4，5 的狀態變量（電壓相角），節點3 為平衡節點故不在此列。本文所提算法初始向量為矩陣H 的第一行，對應節點3 的功率注入量測數據，此時有u1=[0，-0.71，-0.71，0]和j1=1。接著計算其余三行到X1=span{u1}的投影，可得對應的誤差分別為。最大誤差對應測量數據P5，繼續執行算法流程，選擇向量h2，且j2=2，經施密特正交化后得u2=[-0.43，0.21，-0.21，0.85]。計算矩陣H 的最后兩行向量到X2=span（u1，u2）的投影及誤差，。上面兩個誤差值相等，可選矩陣H 的最后一行h4，對其進行施密特正交化后得u3=[-0.75，-0.45，0.45，-0.15]，計算h3到X3=span（u1，u2，u3）的投影及誤差，得，算法執行到終止判據。最后輸出結果為j=[1，2，4]T，結論是系統不完全可觀。

若繼續補充量測數據以恢復系統可觀性，那么根據上面得到的X3=span（u1，u2，u3），計算候補量測數據到X3的投影與誤差，繼續執行算法的（6）—（10）步，即可選擇最少的候補量測數據來恢復系統可觀性。新增加的量測數據雅可比矩陣為：

重構可觀性算法運行后P2被選擇用于恢復可觀性。

4.2 118 節點系統的算例分析

通過118 節點系統[16]進一步說明本文所提算法的計算效率。當迭代次數達到117 時，此時的收斂誤差為0.86，增加一次迭代后誤差收斂到5×10-5，繼續增加一次迭代誤差收斂到1.5×10-7，此外，當前集合中正交的量測數據數量已經達到118。由于118 節點系統的雅可比矩陣階數不超過118，因此繼續增加迭代次數失去必要性。從迭代次數可見本文所提算法對于大規模電力系統拓撲具有良好的適應性。

最后，有必要指出本文所提算法從矩陣行空間的角度進行迭代，迭代次數不超過矩陣的行數，而以文獻[6]為代表的算法需將Gram 矩陣或增益矩陣進行多次矩陣分解，每一次分解都需要將矩陣中的每一行進行變換進而實現對角化或稀疏化，因此本文所提算法對于行向量的運算次數最少。

5 結語

本文提出了一種基于正交分解的狀態估計可觀性分析方法，該方法屬于直接法，從雅可比矩陣行空間及其正交基的角度，依托投影距離篩選量測數據，簡化了可觀性分析的計算過程，便于實際工程應用且易于被工程人員掌握。通過算例分析驗證所提方法的有效性。