基于MATLAB的三維重載荷轉臺的運動學分析與仿真

張照，宋林森

（長春理工大學 機電工程學院，吉林 長春 130022）

0 引言

三自由度轉臺目前已經成為目前并聯結構的轉臺中最普遍的方式,也是研究者的熱門研究對象。并聯機構的旋翼轉臺系統是運動模擬器整個最重要的組成部分,其結構、運動學的問題、動力學的問題、仿真和控制的規律都是重點研究對象,這樣既能增加運動模擬器的性能,又能夠推動并聯機構的相關理論的發展,對于我們國防工程事業和其他類似學科的促進具有很大的意義。

運動學指的是其主動件即輸入構件與輸出構件兩者之間的相互對應性關系。例如,一個已知的輸入和給定一個構件提供了相關的參數來求解一個輸出和給定一個構件的參數時,叫做運動學的正問題,否則統統被叫做運動學的逆問題[1]。參數可以為位置、姿勢、速度等各種參量。在理論分析方面，位置的正反解推導及其分析方法成為機構的運動過程的重要依據。位置的正反解提供了對機構運動加速度、誤差、操縱空間、動力學、控制等方面的分析。通過對并聯結構與其他串聯結構的分析,并聯結構反解更加容易，其他串聯機構更難了[2]。

本文以三維重載荷轉臺作為研究對象，推導其位置正反解公式，然后在MATLAB Robotics Toolbox環境下建立其仿真模型，驗證公式推導的正確性。

1 三維重載荷轉臺描述及其坐標系的建立

1.1 三維轉臺描述

三維轉臺的機構結構圖如圖1所示，上平臺為運動平臺，下平臺為方位平臺，兩者用四根可伸縮的桿件相連接。運動平臺與桿件用十字萬向節相接，四根可伸縮桿件上分別裝有四根電動缸。

圖1 三維轉臺結構圖

1.2 轉臺功能

三維轉臺的機構簡圖如圖2所示，其工作原理如下：

圖2 三維轉臺機構簡圖

（1）側傾機構是為了實現繞X軸的翻轉，翻轉的角度范圍為±30°。側傾機構上下兩端的萬向十字節連接著電缸，通過伺服電缸的伸縮來帶動載物平臺繞萬向十字節轉動。

（2）俯仰機構是在兩側電缸的共同作用下，使載物平臺繞Y軸的翻轉，翻轉的角度范圍為±30°，拉壓力傳感器顯示電缸上的承載力，緩沖器調節運動過程中的不協調性，保護整個機構的運行。

（3）方位平臺主要作用是在旋轉平面下安裝的旋轉機構來帶動方位平臺上面的機構進行轉動,實現方位繞 z 軸±180°的高速旋轉。實現繞Z軸±180°的旋轉。

2 運動學分析

機器人運動學的很大一部分內容涉及建立各種坐標系來表示剛體的位置和姿態，以及這些坐標系之間的轉換[3]。

2.1 三維轉臺坐標系的建立

為了建立機構的位置分析模型，在方位平臺建立參考坐標系{D}-XYZ及在運動平臺建立動坐標系g0gggggg-xyz如圖3。坐標系{D}是一個在下面的三軸方位平臺,以直角邊的頂點D1 為三軸方位坐標的原點，D1D3為X軸，D1D2為Y軸，D1d1為Z軸，如圖3所示坐標系右手定則。坐標系g0gggggg和上一個運動平臺相連，頂點d1為坐標原點，d1d3 為x軸，d1d2為y軸，垂直于上一個平臺所在的直線向上為z軸正方向，三軸也為右手定則。其中直角的邊長被標記為 R，上下兩個平臺之間的高度差被標記為 h。

圖3 坐標系選取示意圖

2.2 位置反解

初始運動狀態時一個繞軸運動的固體平臺四個軸的鉸鏈連接點d1、d2、d3、d4在g0gggggg中坐標：1d1(0,0,0)、1d2(0,R,0)、1d3(R,0,0)、1d4(R,R,0)。運動的平臺四個鉸鏈點在一個參考坐標系{D}的坐標為：0d1(0,0,h)、0d2(0,R,h)、0d3(R,0,h)、0d4(R,R,h)。下面平臺四個頂點在{D}中的坐標為0D1(0,0,0)、0D2(0,R,0)、0D3(R,R,0)、0D4(R,R,0)。

假設上運動的平臺在沒有約束力的情況下做六自由度的運動，對參考坐標系來說做一個平移運動，將運動進行分解，X軸方向移動u，Y軸方向移動v，Z軸方向移動w；然后進行旋轉運動，歐拉角組合主要有ZYZ、ZXZ、ZYX。采用ZYX組合。根據空間學的描述及坐標式變換公式可以得出：

平移變換的表達式定義為：

繞x軸旋轉α角稱其為側傾角，旋轉變換矩陣可變換為：

繞y軸轉動β角稱其為俯仰角，旋轉變換矩陣可變換為：

繞z軸轉動干，γ角稱其為方位角，旋轉變換矩陣可變換為：

由此可得：

上式中由一個頂點組成的第四列頂點矩陣可以用于用來表示上運動均衡平臺四個列的頂點分別位于一個不同運動平臺坐標系的其中的三條縱軸上所對應占的體積分量。用的平臺列或者矩陣圖來表達上面的運動是在平臺四個列的頂點通過方向旋轉或者平移進行運動后放在位于一個參考標準坐標運動體系的圖中的三個方向軸上的物體位置和參考坐標的體積。

由轉臺結構分析可知任一連桿通過一轉動副與下平臺連接，轉動副具有一個自由度，只能繞Dn點在平面內轉動，所以有：

上運動平臺四頂點在動坐標系中坐標是固定的，帶入到式（3-6）中，并利用上述約束條件可得：

若令式（9）0，則β=π/2或者γ=0，但為了結合實際，y軸轉動的俯仰角達不到90°，因此γ=0。結合式（8）可知該結構轉臺具有三個自由度，即繞x軸轉動的側傾角、繞y軸轉動的俯仰角以及繞z軸轉動的方位角三個自由度，符合要求。

當方位角γ=0時，有sinγ=0，cosγ=1，將其帶入到式（5）中可得旋轉變換矩陣為：

上運動平臺在經過兩個平移轉動運動后滿足該姿態和位置,具體長度由下式可得。

到此為止就在上平臺位姿已知的情況下得到了輸入構件即四個連接桿的長度。

2.2 位置正解

上平臺和下平臺的坐標變換矩陣Rot為：

得到了變換后四鉸接點在運動坐標系中的坐標：

其參考坐標系坐標為：

由式（14）可得。式中l1，l2，l3，l4，h，ny為已知，帶入方程組便可求出旋轉矩陣中獨立元素的值和平移運動量w，再對應式（10）中各元素可求得α和β值，到此便可求得上運動平臺的姿態和位置。

3 轉臺關節坐標系的建立

D-H法最早是由德納維特和哈滕伯格提出來的[4]，如今已經發展成為了進行機器人設計和建模的一種標準技術方法。從三維重載荷轉臺的運動學視角來看,三維重載荷旋轉臺各個支鏈也都可以被認為是由移動副與轉動負載相互連接而形成的開鏈式結構,類似于一般的機械手,所以我們可以通過應用D-H法來設計和建立三維重載荷轉臺的運動學模型。

D-H方法具體建立過程為：

步驟1：從一個低序到另一個高序依次尋找一個被定義的軸,把這個軸的運動方向分別設為z0，…，zn-1。

步驟2：首先選擇一個坐標系O，將其中的原點固定在z0軸上，選擇x0和y0組合起來形成右手坐標系。

步驟3：將原點Oi定位于軸zi、軸zi-1和zi公垂線的交點。對于轉動關節，如果軸zi和zi-1平行，則建立原點使得偏置為0；對于移動關節，則將原點建立在關節延伸范圍的某一個參考點上。

步驟4：將軸xi建立在軸zi-1和zi公垂線上，其方向由關節i指向關節i+1。

步驟5：根據右手定則，由軸xi和zi軸的方向確定yi的方向。

步驟6：坐標系n的建立由關節n的類型決定，對于轉動關節，則按照zn-1來設置zn；對于移動關節，則任意選擇zn的方向。按照上述方法建立坐標系如圖4 所示。

圖4 關節坐標系位置示意圖

D-H參數表

4 基于MATLAB的運動學仿真

Matlab軟件是由美國Mathworks公司專門自主開發研制和設計開發的一款功能強大的系統工程矩陣計算圖像應用處理軟件,配備了強大的矩陣工程計算圖像分析仿真能力,其中所可以使用的計算軟件主要包括了Robotics Toolbox工具盒不但讓您可以直接為您實現基于機器人運動學的工程圖像分析可視化和自動仿真,還同時也讓您可以直接對采用手工矩陣計算的正逆方程理解以及結果方法進行計算驗證[5]。 本文基于此設計了仿真模型,模擬了機器人在運動和操縱空間的運動。

建立一個函數的指令 Link 將表1中 D-H的參數輸入,再通過 SeriaLink函數來構造模型,如圖5所示。

圖5 三維轉臺仿真模型

可以利用MATLAB中的測量功能來測量出需要的角度、距離等變量，以便于運動學解算驗證。例如當一個旋轉臺圍繞X軸方向轉動時,我們就可以檢測出上平臺圍繞 X 軸方向轉動的角度,可以從上面讀出四個圓柱副方向各自位移的角度,將這些對應值分別帶入要推導的計算公式中,就已經可以從上面所要求的測量值中得到計算值,與這些所要求的測量值進行比較就已經能夠檢測驗證關于這個位置和正反解的推導方法的正確性。

上圖是轉臺做側傾運動時速度隨時間變化的曲線。

5 結語

通過轉臺的運動學仿真分析，得出該機構末端執行器在實現要求動作時，運動平穩、無位置突變，并且速度、加速度曲線也都比較平緩，無突變現象，反映了該并聯機構無沖擊現象傳遞運動性能良好。

利用MATLAB Robotics Toolbox進行三維轉臺的建模，其次進行運動學的仿真。當轉臺轉動時，我們可以測出轉臺轉動的角度，,驗證了該位置的正反理解公式進行推導計算的正確性。