注重意義建構，促進思維進階

學習進階理論認為，學習進階從一個較大的時間跨度研究學習者連貫且逐漸深入的思維路徑，倡導核心概念學習進階和關鍵能力學習進階的整合。學習進階的過程是學生松散的生活經驗與嚴謹的數學概念長期博弈的過程，進階成功的標志是知識的轉化和思維品質的提升。對于小學生的數學學習來說，最重要的是發展其數學思維。因此，注重意義構建，促進思維進階，尤顯重要。

一、數形結合，抽象本質

作為一種數學思想方法，數形結合既可以借助數的精確性來闡明形的某些屬性，也可以借助形的幾何直觀性來闡明數與數之間的某種關系。從蘇教版小學數學教材編排來看，學生在學習整數除法后，接下來將學習小數除法和分數除法，在“數與代數”領域中，許多知識都關乎算理和算法的理解與掌握，這些規定性的知識學習，如果教師關注意義建構，采取數形結合進行教學，有助于學生真正理解概念，進而掌握算理算法。學生就會逐步脫離教師所創設的學習情境、單位名稱等非本質屬性，抽象出小數除法、分數除法等數學本質，實現數學學習的本質回歸。

一位教師在教學蘇教版數學教材五年級上冊“小數除法”時，創設了這樣一個情境：每片口罩0.7元，共3.5元，能買多少片口罩？在師生列出算式3.5÷0.7之后，教師組織學生開展小組討論，說一說，你是怎么想的？怎樣計算3.5÷0.7？為了幫助學生理解，教師提供了方格圖（圖略）。

學生動手操作，在視覺、觸覺、運動覺協同感知事物的同時，以內部語言展開思維。有的學生從元角分的意義來思考，想35角錢里有幾個7角錢;有的學生把小數除法轉化為整數除法，想35個0.1里有幾個7個0.1;有的學生在方格紙上涂涂畫畫，結合小數的意義來理解……這些可以幫助學生較好地理解了3.5÷0.7的意義，算理直觀明了;另一方面，轉化的數學思想方法悄然無聲地進入學生的心中。學生很快從3.5÷0.7自覺遷移到0.35÷0.07……教師站在思維發展的高度處理教材，突破了教學的重點與難點，較好地建立了整數除法、小數除法以及除數是一位小數、除數是兩位小數的除法計算之間的聯系，促進了學生的數學理解，為后續學習分數除法提供了更加有力的支持。

同理，在教學蘇教版數學教材五年級上冊“解決問題的策略——一一列舉”時，教師可先出示例題：“王大叔用22根1米長的木條圍成一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？”教師要求學生在弄清題意后，利用已有的解決問題的策略來嘗試解決問題。很多學生會想到采用列舉的策略直接列式（此時列舉沒有順序，是零亂的），也有的學生想到畫圖的策略、列表整理的策略等，教師組織學生上臺展示，不難發現，有的學生就采用了一一列舉的策略，通過畫圖，將這個長方形花圃的長與寬一一對應，面積也就一一對應起來，學生直觀地看到，當長方形的長是6米、寬是5米時，花圃的面積最大。此時，教師利用課件出示了采用列表整理的策略，并要求學生結合左右兩幅圖認真思考：從整體來看，你有什么發現？

學生發現：當長方形的長和寬越接近時，長方形的面積越大。有的學生甚至猜想：如果修改長方形周長的數據，有可能得到一個正方形，而正方形的面積是最大的……

由此可見，教師創設一定的問題情境，可以幫助學生聯系已有知識經驗來解決問題。但真正的學習從學生發現和提出問題開始，不斷產生問題也成為學習的動力。設計螺旋上升式的問題鏈，從橫向上看，可以讓不同層次的學生都能參與思考。盡管最初的列舉沒有順序，有的學生甚至寫不完整，但在比較中就有了發現，在修正中就產生了學習的需要，明白一一列舉了才能不重復、不遺漏的道理。從縱向上看，教師可以讓學生的思維不斷爬坡，對問題的理解不斷加深，對其策略才有較為深刻的印象。當學生自覺脫離問題情境，領悟其實質，抽象其本質，在形成了大量表象的基礎上，展開理性想象，在具有一定結構的問題鏈中思考，問題鏈就成為思維發展的臺階，學生的學科關鍵能力得以螺旋上升，數學思維得以進階。

二、多元表征，感知意義

所謂的數學多元表征，是指將同一個數學學習對象可以有敘述性（言語化表征）和描繪性（視覺化表征）兩種本質不同的表征形式。在日常數學教學活動中，如果教師運用實物、模型、符號、語言、操作、情境、圖形等多種表征形式來支持數學活動，對數學過程進行科學表述，那無疑有助于學生對數學概念的理解，促進思維進階。

在教學蘇教版數學教材五年級下冊“用字母表示數”時，學生親歷由數字表示數到用字母表示數、由日常語言表示數量關系到同符號語言來表示數量關系的抽象過程，是學生數學思維發展的一次跨越。如何理解“用字母既可以表示不變的數量，又可以用來表示變化的數量，既可以表示已知的數量，還可以表示未知的數量”是教學難點，學生只有正確理解這個難點，才能感受用字母表示數的意義和價值。為此，筆者設計了這樣一個操作活動：請你畫圖表示出a×4，并在小組里交流，說說它表示什么意思？學生通過獨立思考，有了自己的想法。

生1：一支鉛筆的價格為a元，4支鉛筆的總價為a×4元。

生2：一塊餅干的質量為a千克，4塊餅干的總質量為a×4千克。

生3：一本數學書的價格為a元，4本數學書的總價為a×4元。

生4：一條線段長a厘米，4條線段的總長為a×4厘米。

從學生的想法中不難發現：有的學生用a表示一支鉛筆的單價，那么4a就表示4支鉛筆的總價。有的學生用a表示一塊餅干的質量，那么4a就表示4塊餅干的總質量。也有的學生用a表示一條線段的長度，那么4a就表示4條線段的總長度……從數量、單價、總價或者速度、時間、路程等數量關系分析入手，學生通過多元表征，初步感知了“用字母表示數”的意義，對數的理解自然上升到了更高的水平。

在日常數學教學活動中，筆者發現，數學的多元表征是包括了數學文字、公式、概念、性質的“數”，以及涵蓋了模型、圖形、圖像的“形”。在小學數學概念教學中，多元表征非常重要。在探索“和與積的奇偶性”這一規律時，教師可以先出示課前導學單（如圖1），要求學生自主探索：任意寫兩個不是0的自然數，看看它們的和是奇數還是偶數？同時，采用畫一畫的方式來說明其中的道理，通過觀察加數的奇偶性以及和的奇偶性，你有什么發現？

在任務驅動下，學生通過舉例（如圖2），初步猜想：偶數+偶數一定等于偶數嗎？奇數+奇數一定等于偶數嗎？有了猜想后，如何來解釋其中的要義呢？

有的學生用圖形來表征，有的學生用文字來解釋，還有的學生用小棒、用符號來解釋（如圖3），結合學生原生態的作品，教師采用課件演示，讓學生明白其中的道理：為什么“偶數+偶數一定是偶數，奇數+奇數一定是偶數，奇數+偶數一定是奇數”？

課至此，我們發現，學生經過獨立思考、小組自主探究與合作交流，了解了兩個數或幾個數的和的奇偶性，有了自己的猜想，再經歷舉例、觀察、猜想、多元表征后的驗證等數學活動過程，得出自己的結論，感受由具體到抽象、由特殊到一般的探索發現方法，從一個新的角度豐富了對奇數和偶數意義的認識，感受了數學規律的多樣性和趣味性，進一步發展了符號意識，促進了數學思考。

三、自主勾連，促進思維

史寧中教授指出：數學素養的培養，特別是創新人才的培養，是“悟”出來的，而不是“教”出來的。因為數學的結果是“看”出來的，而不是“證”出來的。要培育學生的學科關鍵能力，日常的數學課堂教學應以問題導學為有效路徑，巧妙設計變式問題，引導學生在觀察、比較中，加深對概念的理解、對公式的掌握，打破知識之間的壁壘，把握知識之間的聯系和區別，幫助學生形成良好的認知結構，促進思維發展。

例如，在蘇教版數學教材五年級上冊“多邊形的面積”單元整理與復習課中，筆者真正站在學習者的角度，從結構化的視角設計教學，先組織學生開展探究性學習：想象一下，上底和下底的和為8、高為3的梯形，它的上底和下底可能是多少？請你畫一畫。進而啟發學生思考：能否用梯形的面積公式推導出其他圖形的面積公式來呢？

開放題推動了學生對問題的深層次理解，學生對這些平面圖形面積公式推導過程有了深層次思考。學生觀察：當梯形的上底從3變為0，下底不變，高不變，那么，梯形就變成了一個三角形，而面積公式是同樣適用的。同理，不難發現，當梯形逐漸變為平行四邊形、長方形、正方形（特殊的長方形）時，梯形的面積計算公式同樣適用。

至此，筆者并不滿足于學生的發現，出示了圖4，讓學生從左往右觀察，再從右往左觀察，說一說有什么發現。

從左往右看，根據長方形面積計算公式可以推導出其他圖形的面積公式。而從右往左看，我們在探究一種新的圖形面積計算時，都是把它轉化成已經學過的圖形來進行探究的，復雜的梯形面積公式同樣也適用于其他多邊形的面積計算……通過引領學生整體分析，讓學生既見樹木，又見森林。從梯形面積計算的推導過程，自覺勾連其他多邊形的面積計算公式，完善了平面圖形面積之間的聯系，轉化的數學思想方法也深入學生心中，培育學生的高階思維能力也落到了實處。

還有一位教師在教學蘇教版數學教材六年級上冊“百分數的意義”時，采用了先學后教、順學而導的形式，要求學生預習后自主提問：百分數可能與原來學的哪些知識有聯系，有怎樣的聯系呢？學生經過獨立思考，有了自己的想法。

有的學生認為，分數、百分數都表示了兩個數的倍數關系。有的學生認為，百分數是一種特殊的分數。有的學生認為，百分數與分數聯系非常多，兩者是有不同的。

學生有了之前“認識整數、認識分數、認識小數”等數學活動經驗，結合豐富的生活學習經驗，在認識百分數的意義時，自覺地勾連知識，遷移方法。有的學生提出了“生活中有沒有十分數？”“還有沒有千分數、萬分數”等問題。有的學生提出了“百分數與小數的互相轉化，百分數問題的計算”等問題。最后，師生一起總結全課，形成如下板書（如圖5）。

弗賴登塔爾曾反復強調，學習數學的唯一正確方法是“再創造”。因而，教師的任務是引導和幫助學生自覺勾連知識，適當進行“再創造”。而數學上的發現和創造，不能僅依靠事實材料，更需要有適切的問題去引領，使學生能夠逐漸逼近知識的本質，進而提高探索能力，提升他們的學科關鍵能力。學生對百分數有著天然的疑問，簡單問題通過自學或者小組內討論便能解決，課堂展示的是梳理出來的主要問題、核心問題。比如百分數的意義、百分數的作用、百分數的好處、百分數與分數的聯系、百分數的特點等。隨著對問題的聚焦和深入研討，學生感受到了百分數的簡潔性，體會到了百分數在生活中的諸多價值……基于這樣的理解與組織教學，學生再把百分數與十分數、千分數、萬分數等自主勾連，自覺對比和聯系，對百分數的學習會更加深刻和全面。

數學是思維的體操，教師要認真研讀每一個教學內容，讀懂每一個學生，豐富教學資源，精心設計教學流程，注重意義構建，關注學習力的提高，促進學生解決問題能力的提升和思維的進階，從而實現高品質的教學。

（作者單位：江蘇省張家港市梁豐小學）

作者簡介

陳惠芳，江蘇省特級教師，正高級教師。蘇州市小學數學名教師，蘇州市第二屆教育領軍人才，蘇州市優秀教育工作者，現任職于江蘇省張家港市梁豐小學。近年來，倡導“基于生態理念的對話式教學”的教學主張，追求“真實·自然·對話·生長”的課堂教學風格。先后主持或參與多項全國、江蘇省、蘇州市教科規劃課題。在《人民教育》等期刊發表教育文章500多篇，出版個人專著兩本。