非齊次Markovian跳變隨機奇異系統(tǒng)的鎮(zhèn)定

郭雅倩，周紹生

(1.杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018；2.杭州電子科技大學自動化學院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

作為逼近非線性系統(tǒng)重要工具之一，區(qū)間二型模糊模型[1]不僅可以處理一型模糊隸屬函數(shù)的不確定性，還能降低二型模型計算的復雜度，成為相關研究領域的熱點。Markovian跳變隨機系統(tǒng)是一種可以描述系統(tǒng)在遇到環(huán)境干擾時出現(xiàn)隨機故障或結構突變等現(xiàn)象的系統(tǒng)，當Markovian跳變隨機系統(tǒng)的子系統(tǒng)為奇異系統(tǒng)時，稱為Markovian跳變隨機奇異系統(tǒng)[2]，其相關研究已取得很好的結果。文獻[3]研究一類帶有時滯的隨機奇異Markovian跳變系統(tǒng)的隨機容許及鎮(zhèn)定問題，通過構造隨機Lyapunov-Krasovskii泛函，引入自由權矩陣，借此得到系統(tǒng)隨機容許的充分條件。文獻[4]研究具有不可測狀態(tài)的連續(xù)奇異Markovian跳變系統(tǒng)的輸出反饋控制問題，借助投影引理，運用帶模態(tài)的Lyapunov矩陣分解的新方法，得到系統(tǒng)動態(tài)輸出反饋的穩(wěn)定條件。文獻[5]通過引入偽逆E+并使用H表示技術，研究了線性Markovian跳變隨機系統(tǒng)的均方可容許問題。上述文獻研究的是轉移速率恒定的系統(tǒng)，但在實際工程系統(tǒng)運行過程中，轉移速率很難長時間保持不變。基于It型Markovian跳變隨機奇異系統(tǒng)在諸多實際應用中發(fā)揮著重要作用，譬如經(jīng)濟領域中的動態(tài)leontief模型[6]、機械工程中的石油催化裂化模型[2]以及航空航天模型[7]等。本文受文獻[7]啟發(fā)，針對非齊次Markovian跳變隨機奇異區(qū)間二型系統(tǒng)，運用分段齊次的思想處理轉移速率的時變特性，通過分析系統(tǒng)的正則、無脈沖及隨機穩(wěn)定性，給出系統(tǒng)隨機容許的充分條件，并在此基礎上設計了狀態(tài)反饋模糊控制器。

1 系統(tǒng)描述

區(qū)間二型非齊次Markovian跳變隨機奇異系統(tǒng)用IF-THEN規(guī)則描述如下：

Edx(t)=[Al(rt)x(t)+Bl(rt)u(t)]dt+Jl(rt)x(t)dω(t),Ex(0)=x0,r(0)=r0,φ(0)=φ0

(1)

(2)

(3)

區(qū)間二型非齊次Markovian跳變隨機奇異模糊系統(tǒng)可寫為：

(4)

(5)

對于控制器設計，采用平行分布補償法，模糊控制規(guī)則如下：

u(t)=Ks(rt)x(t)

(6)

式中，Ks(rt)(s=1,2,…,q)是第s個控制規(guī)則的反饋增益矩陣。其全局模型為：

(7)

將控制器(7)代入式(4)，得到如下閉環(huán)系統(tǒng)：

(8)

定義1[8-9]對于奇異隨機系統(tǒng)(4)，以下定義成立。

(4)如果系統(tǒng)(4)正則、無脈沖且隨機穩(wěn)定，則稱系統(tǒng)(4)是隨機容許的。

2 主要結論

(9)

(10)

則區(qū)間二型非齊次馬爾可夫跳變奇異隨機系統(tǒng)(4)是隨機可容許的。

(11)

(12)

(13)

(14)

接下來證明系統(tǒng)是隨機穩(wěn)定的。構造如下Lyapunov函數(shù)：

當r(t+Δ)=j，φ(t+Δ)=n時，由無窮小算子L的定義及奇異隨機系統(tǒng)的廣義It公式[8]可得：

通過定理中的不等式條件(10)可知：

(15)

運用Dykin公式，由式(15)可得：

(16)

(17)

(18)

進而證得系統(tǒng)(4)是隨機穩(wěn)定的。結合定義1可知，系統(tǒng)(4)隨機容許。證畢。

(19)

其中

證明針對閉環(huán)系統(tǒng)(8)，取Pi,m=Xi,mE+RTQi,mST。結合定理1可得：

Φs(i,m)=(Ali+BliKs(i,m))T(Xi,mE+RTQi,mST)+(Xi,mE+RTQi,mST)T(Ali+BliKs(i,m))+

(20)

(21)

(22)

文獻[5]研究的是線性Markovian跳變隨機奇異系統(tǒng)，且轉移速率恒定的。本文研究的區(qū)間二型Markovian跳變隨機系統(tǒng)不僅是非線性的，而且轉移速率矩陣還是時變的，系統(tǒng)內(nèi)容更加復雜，應用范圍更加廣泛，更加符合實際工程需求。

3 數(shù)值示例

對于非齊次Markovian隨機奇異跳變模糊系統(tǒng)(4)，設l=2，s=2，r(t)={1,2}，φ(t)={1,2}時，各參數(shù)矩陣給定如下：

其歸一化隸屬度函數(shù)分別為：

根據(jù)定理2，使用MATLAB中的LMI工具箱求得可行解為：

K1(1,1)=[3.045 2 0.559 6],K1(1,2)=[3.047 9 0.496 2],K1(2,1)=[-3.942 4 0.191 1]，

K1(2,2)=[-4.633 0 0.218 5],K2(1,1)=[4.503 4 0.423 6],K2(1,2)=[4.422 1 0.349 8]，

K2(2,1)=[-2.693 3 0.115 2],K2(2,2)=[-3.054 5 0.111 3]。

閉環(huán)系統(tǒng)下的狀態(tài)響應及系統(tǒng)的控制輸入分別如圖1、圖2所示。圖1中，r(t)，φ(t)分別表示系統(tǒng)模態(tài)及模態(tài)轉移速率矩陣間的隨機跳變過程。從圖1和圖2可以看出，在狀態(tài)反饋控制器的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)是隨機穩(wěn)定的。

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應x(t)

圖2 控制輸入u(t)

4 結束語