基于重新參數化技術的新Cusa-Huygens不等式

陳小雕，姜霓裳

(1.杭州電子科技大學計算機學院，浙江 杭州 310018；2.杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

不等式的估算及其證明在通信等領域有著較為廣泛的應用。對Cusa-Huygens不等式的研究引起學者們廣泛的興趣，包括逼近函數采用由cos(x)和sin(x)組成的有理形式的函數[1-5]，或采用由sin(x)和tan(x)組成的非有理形式的函數[6-12]。逼近函數形式越簡單、逼近誤差越小，對應不等式得到的應用更好更廣泛。Cusa-Huygens不等式研究方面，大部分集中在逼近誤差或逼近階的改進[13-16]。相當條件下，對應不等式的誤差越小，越有可能得到更好更廣泛的應用。為了進一步改善逼近誤差或提高逼近效率，本文討論了結合Padé逼近和重新參數化技術的方法，在相當條件下可以獲取比已有方法更小的逼近誤差。

1 Cusa-Huygens不等式及改進

2018年，Zhu[15]提出更正后的Frame不等式：

(1)

2019年，Zhu[16]發表了具有上下邊界條件的不等式，即對于?0

(2)

(3)

式中，常數m1≈92.964,m2≈899.040。

本文結合Padé逼近與重參數化方法的思路，采用Padé逼近技術，將式(1)—式(3)中的邊界函數一般化，得到以下的函數形式：

令

可得δ(0)=δ″(0)=0。求解下列2個約束方程

δ′(0)=δ(3)(0)=0

(4)

可以得到a=3,b=2，即式(1)中的f1(x)。

令

易得δ1(0)=δ1″(0)=0，通過解約束式(4)，得到a=6,b=2，即

通過求解

(5)

2 主要結論

記函數R1(x),Ri(x),α1(t),α2(t)，

(6)

α1(t)=7cos3(t)+294cos(t)+644

(7)

α2(t)=2cos4(t)+4cos3(t)+81cos2(t)+448cos(t)+410

(8)

為方便說明，令

其中s0是方程s3+2s2+92s-32=0在[0,1]上的實根。

由式(6)—式(8)，可得：

(9)

同時可以驗證得到

(10)

將文獻[16]的引理2和引理3綜合成如下引理。

引理1[16]對于t∈(0,π]，函數

引理2下列不等式成立

(11)

從式(11)可得，R4(t)在區間(0,t1]單調遞增，即?0R4(0)=0。同理，R4(t)在區間(t1,π/2]單調遞減，且有R4(π/2)<0,R4(t1)>0。因此引理2得證。

引理3在區間(0,π/2]內存在唯一解t1，使得

(12)

另一方面，由于α2(t)>0,(0

于是，得到本文的主要結論。

定理1對于x∈(0,π]，存在下列不等式

(13)

證明令x=2t，易得

(14)

將引理1和式(14)聯立，可以得到

(15)

由式(14)和式(15)，可以直接得到定理1中的不等式(13)，定理1得證。

定理2對于x∈(0,π]，存在下列不等式

(16)

證明結合引理2和引理3，通過數值計算可以得到

式(2)和式(3)中，f1(x)和F1(x)為研究人員得到的逼近結果，式(13)和式(16)中f2(x)和F2(x)為基于本文結合Padé逼近與重參數化方法的思路得到的逼近結果。理論上，Padé逼近更方便確定逼近函數的表達式；而重新參數化技術可進一步提高對應的逼近階，得到更好的逼近效果。根據式(2)和式(3)、式(13)和式(16)分別繪制x-fi(x)和x-Fi(x)的誤差曲線如圖1所示，其中i=1,2。從圖1可以看出，圖1(b)取得了更好的逼近效果。

圖1 采用不同方法得到的誤差曲線

圖2 x-φ(x,k)不同的k對應的誤差曲線

3 結束語

本文討論了Cusa-Huygens不等式，并對其進行了改進。重新參數化技術可以調整函數的導數，使得逼近函數滿足預定的導數，從而提高相應的逼近階，獲取更好的逼近效果。后續將使用其他單調遞增函數作為新的重新參數化函數。本文思路可望被應用到更多類型的三角函數不等式中，以獲取更多包圍盒更為緊湊的新不等式。