高階Bernstein-Markov型不等式

金曼莎，章仁江，王子睿

(浙江工商大學統計與數學學院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

Bernstein不等式是多項式或三角多項式導數的一種估計式，Markov不等式是一種多項式的導數不等式，這2個不等式在函數逼近論、計算數學中有重要的應用，尤其加權Bernstein-Markov不等式在多項式的帶權逼近等研究方面起著重要的作用。Bernstein-Markov不等式中的最佳常數仍然是一個未解決的問題，是許多國內外學者關注的對象[1]。近年來，各種范數下的Bernstein-Markov不等式有所發展，文獻[2]用矩陣的最大特征值的平方根刻畫了幾種不同權函數的Bernstein-Markov不等式的最佳常數，但文獻[3]指出文獻[2]中的最佳常數是錯誤的。文獻[4]計算出權為e-x的Bernstein-Markov不等式的漸近精確常數。文獻[5]給出了各類推廣形式的Bernstein算子的加權Bernstein-Markov型不等式及正逆定理。文獻[6]證明了在許多情況下，指數型Bernstein-Markov不等式中的常數是n次代數多項式在n→∞時相應不等式中常數的極限。文獻[7]研究了序列和多項式的離散加權Markov-Bernstein不等式，并給出了相應的最佳常數。本文主要研究勒讓德正交多項式所對應的二階導Bernstein-Markov型不等式，給出一個使不等式成立的較小常數，并證明這個最佳常數的階數為8。

1 定理及證明

定理設f(x)為1個次數不超過n次的多項式，則

其中常數的階數8是不可改進的。

證明設Pn(x)為n次Legendre多項式，由Legendre多項式的積分性質[8]可得：

(1)

由Legendre多項式的導數遞推公式可求得：

P′n(x)=(2n-1)Pn-1(x)+P′n-2(x)=

(2n-1)Pn-1(x)+(2n-5)Pn-3(x)+P′n-4(x)=

…=

(2)

f(x)為1個次數不超過n次的多項式，則f(x)可以用Pn(x)的線性組合來表示，即存在唯一的實數ai(i=0,1,…,n)使得：

f(x)=anPn(x)+an-1Pn-1(x)+…+a1P1(x)+a0P0(x)

則

(3)

當n為奇數時，對f(x)求一階導，得到：

f′(x)=anP′n(x)+an-1P′n-1(x)+…+a1P′1(x)=

(2n-1)anPn-1+(2n-3)an-1Pn-2+(2n-5)(an+an-2)Pn-3+…+

3(an-1+…+a2)P1+(an+…+a1)P0

對f′(x)繼續求導，得到：

f″(x)=(2n-3)(2n-1)anPn-2+(2n-5)(2n-3)an-1Pn-3+

(2n-7){[(2n-1)+(2n-5)]an+(2n-5)an-2}Pn-4+

…+

[2(n-2k)+1]〈{(2n-1)+…+[2(n-2k+1)+1]}an+

{(2n-5)+…+[2(n-2k+1)+1]}an-2+…+[2(n-2k+1)+1]an-2k+2〉Pn-2k+

[2(n-2k-1)+1]〈{(2n-3)+…+[2(n-2k)+1]}an-1+

{(2n-7)+…+[2(n-2k)+1]}an-3+…+[2(n-2k)+1]an-2k+1〉Pn-(2k+1)+

…+

3{[(2n-1)+(2n-5)+…+5]an+[(2n-5)+…+5]an-2+…+5a3}P1+

{[(2n-3)+(2n-7)+…+3]an-1+[(2n-7)+…+3]an-3+…+3a2}P0

(4)

由式(1)和式(4)可得：

…+

[2(n-2k)+1]〈{(2n-1)+…+[2(n-2k+1)+1]}an+

{(2n-5)+…+[2(n-2k+1)+1]}an-2+…+[2(n-2k+1)+1]an-2k+2〉2+

[2(n-2k-1)+1]〈{(2n-3)+…+[2(n-2k)+1]}an-1+

{(2n-7)+…+[2(n-2k)+1]}an-3+…+[2(n-2k)+1]an-2k+1〉2+

…+

(5)

(6)

令

其中

要使得任意的a,I恒大于或等于0，只要矩陣B正定。由矩陣對角占優正定，考察矩陣B的任意一行n1。

(a)當n1為奇數時，令

(7)

(b)當n1為偶數時，令

(8)

只要取a的值使得式(7)與式(8)成立，則矩陣正定，當n1為奇數時3≤n1≤n，由式(7)得：

a≥(2n1+1)(an1,3+an1,5+an1,7+…+an1,n)

(9)

令

S(n1)=(2n1+1)(an1,3+an1,5+an1,7+…+an1,n)， 3≤n1≤n

求常數a的取值范圍只需求S(n1)的最大值，即

a≥Smax(n1)

由式(5)、式(6)可求得：

則有：

an1,3+an1,5+an1,7+…+an1,n=3[(2n1-1)+(2n1-5)+…+5]{5+(5+9)+

(5+9+13)+…+[5+…+(2n-1)]}+7[(2n1-1)+(2n1-5)+…+9]

{9+(9+13)+(9+13)+17)+…+[9+…+(2n-1)]}+

…+

(2n1-3)(2n1-1){(2n1-1)+[(2n1-1)+(2n1+3)]+…+[(2n1-1)+…+(2n-1)]}

(10)

式(10)等號右邊為3個數列的乘積，分別設這幾個數列為Am,Bm,Cm。

現分別求Am,Bm,Cm的通項，數列Am為3，7，11，…，2n1-3，易求Am的通項為：

Am=4m-1

數列Bm為：

(2n1-1)+(2n1-5)+…+5,(2n1-1)+(2n1-5)+…+9,…,(2n1-1)+(2n1-5),2n1-1

數列Bm中第m項為：

數列Cm為：

5+(5+9)+…+[5+…+(2n-1)],9+(9+13)+…+[9+…+(2n-1)],
…,(2n1-1)+[(2n1-1)+(2n1+3)]…+[(2n1-1)+…+(2n-1)]

其中第m項為：

則有：

(11)

同理，當n1為偶數時2≤n1≤n-1，有：

(12)

對比式(11)與式(12)，取

當n為偶數時，同理可得：

(13)

由式(5)得：

…+

[2(n-2k)+1]〈{(2n-1)+…+[2(n-2k+1)+1]}an+

{(2n-5)+…+[2(n-2k+1)+1]}an-2+…+[2(n-2k+1)+1]an-2k+2〉2+

(14)

式(14)中不等號右邊任意第k項為：

[2(n-2k)+1][2(n-2k+2)+1]〈{(2n-1)+…+[2(n-2k+1)+1]}+

{(2n-5)+…+[2(n-2k+1)+1]}+…+[2(n-2k+1)+1]〉2=

則由式(14)可得：

(15)

由式(13)、式(15)可得：

證畢。

2 結束語

本文結合正交多項式的導數遞推性質與帶權積分性質，利用矩陣對角占優正定的性質，求解出權為1時的二階Bernstein-Markov型不等式的一個較小的常數。不同權函數、同種權函數不同階導數所對應的Bernstein-Markov型不等式的最佳常數不一樣，因此這類不等式還有很多方面值得深入探討。