基于特征譜分析的領導-追隨者網絡一致性

李一帆，孫偉剛

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

多智能體系統一致性理論在人工智能、通信與控制等領域有著廣泛的應用，如無人機編隊、衛星協同工作。多智能體一致性指通過設計各個智能體之間的一致性協議，利用智能體之間的局部信息，不斷調整自己的行為，使得所有智能體的狀態最終達到一致[1-2]。作為一類重要的一致性問題，領導-追隨者多智能體系統的一致性越來越受關注，其中領導者的狀態不受其它智能體影響，而其它智能體盡可能追隨領導者[3]。由于多智能體系統無法避免噪聲的干擾，因此研究系統對噪聲的魯棒性非常重要。2010年，Patterson等[4]提出了含有噪聲的領導-追隨者網絡一致性概念，在H2范數下，證明了領導-追隨者網絡一致性是由拉普拉斯矩陣的特征譜所決定，同時提出幾種用于選擇領導者的貪婪算法，從而使得網絡達到最優一致性。Yi等[5]研究了一個領導者的無標度小世界Koch網絡，得到領導-追隨者一致性的精確結果，并指出網絡的一致性不僅與領導者到中心節點的最短路徑有關，還取決于領導者的度。眾所周知，網絡的拓撲結構決定了其特征譜，因此計算網絡的特征譜面臨著技術挑戰。目前，給出含有多個領導者的領導-追隨者網絡一致性精確解的相關研究文獻鮮少，同時，領導者數目對一致性是否有影響也值得深入探討。為此，本文借助一類確定性網絡模型[6]，得到含有多個領導設置的一致性解析表達式，揭示領導者對一致性影響的機理。

1 預備知識

1.1 拉普拉斯矩陣

記G是一個由N個節點組成的無向連通網絡。設A=[Aij]N×N是G的鄰接矩陣，如果節點i和節點j之間有連接，則Aij=Aji=1(i≠j)，否則，Aij=Aji=0。令D=diag{k1,k2,…,kN}為G的度對角陣，其中ki為節點i的度，則網絡的拉普拉斯矩陣為L=D-A。

1.2 領導-追隨者網絡一致性

N維系統的領導-追隨者網絡的動力學表示如下：

(1)

式中，x(t)是狀態向量，I是單位矩陣，H=diag{h1,h2,…,hN}，如果節點i是領導者，則hi=1，否則hi=0，η(t)表示高斯白噪聲。

(2)

式中，1表示元素全為1的向量。

將式(2)代入式(1)，可得：

假設系統有α個節點為領導者，剩余N-α個節點為追隨者。追隨者受到噪聲干擾并根據局部信息調整自己的狀態。令xl(t)和xf(t)分別表示領導者和追隨者的狀態，則系統(1)可以寫為：

定義領導-追隨者網絡一致性定義為偏離領導節點狀態的平均穩態方差[5]，即：

文獻[5]的研究成果表明，領導-追隨者網絡的一致性可以由拉普拉斯主子陣的特征值來表示，即：

2 一類特殊網絡拉普拉斯主子陣的特征譜計算

圖1 具有2個領導者的網絡模型

由于網絡拓撲結構多樣性，解析計算領導-追隨者網絡一致性結果面臨技術挑戰。本文選取由3個參數控制的一類windmill-網絡模型作為研究對象[7]，網絡模型由l個中心節點和m個kn-完全圖組成的社團連接而成，其中kn的每個節點都與l個中心節點連接，并且l個中心節點組成一個kl-完全圖。根據網絡拓撲結構特點，網絡節點總數N=mn+l。具有2個領導者的網絡模型W(3,2,3)結構如圖1所示。

根據網絡W(l,m,n)的拓撲結構，其拉普拉斯矩陣L為：

式中，J是元素全為1的矩陣，0是零矩陣。本文在中心節點中隨機選取α個節點作為領導者，即在該網絡的拉普拉斯矩陣中刪除領導者所在的行和列，則該網絡的拉普拉斯主子陣表示為：

從第2列開始，將每1列加到第1列，可得：

(3)

根據行列式的特征，繼續將每1列加到第1列，再將第1行乘以-1加到每1行，可得：

(α-λ)(mn+l-λ)l-α-1(mn+1-λ)(l-λ)m-1(n+l-λ)m(n-1)

(4)

3 領導-追隨者網絡一致性分析

根據定義，網絡的一致性的精確表達式如下：

(5)

當參數n→∞，HLF→0時，網絡隨著n的增大最終趨于一致。選取參數l=25，m=10，進行數值模擬，當領導者數目分別為2，4，8時，參數n對網絡一致性的影響如圖3所示。從圖3可以看出，n越大，網絡一致性越好，與理論解析結果相符。

圖2 不同領導者數目下，參數m對網絡一致性的影響

圖3 不同領導者數目下，參數n對網絡一致性的影響

圖4 領導者數目對網絡一致性的影響

4 結束語

本文應用一類確定性網絡計算了具有多個領導者設置的領導-追隨者網絡一致性。通過網絡拓撲結構，精確計算了網絡拉普拉斯主子陣的特征譜，由此得到領導-追隨者網絡一致性的解析表達式，為研究具有多個領導者的多智能體一致性問題提供理論指導。但是，本文研究中，領導者設置在中心節點，下一步考慮將領導者位置設置在其余節點，展開進一步研究與探索。