鱷魚上顎的形貌曲面擬合及其偏差分析*

周祖鵬， 裴雨蒙， Josep Fortuny， Jordi Marcé Nogué，3， 蔣開云， 鐘雪波

(1. 桂林電子科技大學 機電工程學院， 廣西 桂林 541004； 2. 巴塞羅那自治大學 克魯薩芳古生物研究所， 巴塞羅那 75005； 3. 漢堡大學 自然歷史中心， 漢堡 20146)

隨著無人機技術的不斷發展，在無人機上增加抓取裝置以實現抓取和運輸功能已成為行業趨勢，其抓取末端有多種夾取方式，但是數量的增加并沒有完全解決抓取穩定性與可靠性等問題.穩定牢固地抓取物體除了與控制機構相關，也與其結構密不可分，合理的抓取裝置結構有助于減小空氣阻力，提升結構強度與剛度.

國內外學者在此領域做了很多研究，如Doyle等[1]仿鳥類爪子進行設計抓取裝置；Mellinger等[2]仿人類手指設計抓取裝置；權龍哲等[3]仿蜻蜓設計蜓爪式末端，上述文獻均是結合仿生學原理，采用工程技術進行仿生機械抓取裝置的設計.有一些學者通過研究生物局部的非規則曲面形貌對結構特性的影響進行仿生設計，如張銳等[4]通過研究鴕鳥足底非規則曲面形貌設計仿生火星巡視器車輪；張伏等[5]通過研究山羊底部非規則曲面形貌設計仿生農業四足行走機器人；周宏根等[6]通過研究河鲀背部形貌曲面設計仿生減阻構件.

鱷魚是現存與恐龍同時代的一種爬行動物，頭部細長且扁平，具有強大的咬合力.它可以在水中潛伏慢慢靠近獵物而不被發現，捕獵時頭骨可多次承受巨大的反作用力，這些均與其頭部的特殊結構有關，同時上顎曲面形貌的不同對其結構本身的性能也具有一定的影響.因此，研究鱷魚上顎曲面形貌對研究鱷魚吻部的力學特性及其仿生設計有一定的意義.由于鱷魚上顎的曲面較為復雜，直接應用于工程仿生難度較大，因此需將其轉化為數學模型，再將其數學模型應用于仿生設計.

1 鱷魚上顎模型重構

生物體結構較復雜，重構模型較困難，不能直接畫出，因此需要對模型進行掃描得到點云數據，再利用逆向工程技術進行三維模型重構.離散點云數據三維重建方法有B-Spline(貝塞爾)、Bezier(B樣條)、NURBS(有理非均勻有理B樣條)擬合技術等.基于NURBS技術對處理變化幅度較大的數據效果較好，誤差較小[7].它與描述自由型曲線曲面的B樣條方法統一，但又能精確表示曲線曲面的數學方法，其控制參數較少又能控制曲線連續、平滑，可用于復雜曲線曲面的加工[8].NURBS曲面比B樣條曲面靈活性強、效率高，能精確地解析自由曲面，同時具有強大的局部調控性與優良的光滑曲面擬合能力，因此被廣泛應用，本模型基于NURBS曲面進行三維重構.

1.1 模型獲取

菲律賓鱷頭骨較為珍貴，不能對實物進行分析實驗.本次研究對象的斷層掃描數據由巴塞羅那自治大學克魯薩芳古生物研究所博物館的Josep教授與德國漢堡大學的Jordi教授提供.因鱷魚上顎需要托盤承載進行掃描，所以掃描的三維點云數據中除了研究對象還會出現很多噪聲點需要進一步手動分離，同時鱷魚頭骨的上顎較為復雜，掃描后的點云數據會有重疊、缺失等情況，因此需要使用逆向工程軟件Geomagic Studio對模型進行修復.

1.2 模型重構

本文選用Avizo軟件對斷層掃描得到的數據進行重建.通過觀察Ortho slice(矯正片)、Inosurface(等值面)、Orthoviews(正交視圖)3個視圖中的圖像數據，分離研究對象與雜質，并刪去由于掃描精度不高造成的重疊部分以及承載鱷魚頭骨上顎的載物托盤，減輕后期修復工作，避免影響分析.通過調整閾值，使用最佳閾值使呈現的上顎三視圖更加清晰平滑，最后生成三維立體模型.

2 鱷魚上顎模型修復

使用逆向工程技術可以提高模型的質量，現在應用比較成熟的軟件有Imageware，Geomagic Studio和Rapidform等，Geomagic Studio對模型重構可以簡化工作流程，使曲面重構的難度降低、偏差較小，同時還具有高效率、質量高等特點[9-10]，在使用Geomagic Studio對模型進行修復時，要針對其個別問題以恰當的修補方法進行處理，才可以生成最優化的曲面與最佳擬合的曲面外形[11].

2.1 原始模型修復

修復過程主要分為兩部分，由點轉化為面，再由面轉化為體.由于原模型數據量較大，首先進行適當簡化，減小封裝后三角形的數量；接著對簡化后的模型進行降噪處理，再進行局部手動補償，使其平滑無雜質；通過不斷手動修復與網格醫生輔助檢測，直至各種缺陷均為0，最后進行精確曲面、自動曲面化、擬合曲面等操作.

由于鱷魚頭骨較復雜、數據較大，直接使用網格醫生自動修復會造成電腦運算量過大且修復效果不好，因此先將模型整體簡化70%，再進行修復.修復過程中通過移動點來補償掃描儀的錯誤，使其點的排列更加均勻，從而實現降噪.由于內部雜質較多，直接進行網格醫生修復會造成模型的缺失，因此進行手動補償.修復前的整體與局部圖如圖1所示，原始三角形數為7 048 981，計算機處理數據難度較大，因此在不改變曲面形貌的前提下降低數據數量，減少計算機運算時間.

圖1 修復前整體圖與局部圖Fig.1 Overall and local images before repair

通過不斷手動修復消除雜質，使內部光滑，再調節多邊形網格與單個多邊形之間的角度，減少誤差和人為噪聲，最后再使用網格醫生功能對手動修復后的模型進行檢查，使非流形邊、自相交、高度折射邊等都減為0，達到零缺陷.修復后的模型整體圖與局部圖如圖2所示.

圖2 修復后整體圖與局部圖Fig.2 Overall and local images after repair

2.2 特征模型修復

由于原始模型有較多孔洞，不利于實際分析，現將修復后的鱷魚頭骨模型保留其眶前骨、鼻骨、縱向支撐脊等結構，填補孔洞生成特征模型.由于Geomagic Studio中的標準偏差即是擬合殘差計算中的誤差，因此將特征模型與修復后的原始模型進行偏差分析[12].通過分析計算結果可以得出，偏差主要在填補的孔洞部分，其余位置均未發生較大偏差，其特征模型的標準偏差為0.016 4 mm，平均偏差為-0.006 4/0.000 7 mm，3D偏差的最大范圍是-0.118 4/3.227 1 mm，滿足工程設計上的允許誤差范圍±5%[13]，因此其特征模型可用于后續分析.

3 鱷魚上顎曲面模型的建立

為探究其曲面形貌對其結構性能的影響，并能夠將其應用于仿生設計，因此保留特征模型的上表面進行特征參數提取及分析.但其曲面為非規則曲面，直接轉換為三維數學模型階數較高且擬合不夠精確，因此需對提取的曲面進行劃分.

3.1 曲面模型提取

根據鱷魚抓取特點選擇其眼眶前骨到鼻部區域進行曲面形貌分析，首先運用Geomagic Studio軟件中的裁剪功能提取特征模型的上表面，觀察其表面的曲面形貌，可將其曲面劃分為三部分，如圖3所示.圖3b中鼻部前端呈凸起狀，類似于一個橢球面，其曲率變化明顯，將此部分曲面命名為第Ⅰ曲面；中間部分曲面呈凹陷狀，凹陷曲率較小趨于平緩，將此部分曲面命名為第Ⅱ曲面，如圖3c所示；圖3d中這部分呈上升的緩曲面命名為第Ⅲ曲面.

圖3 鱷魚上顎表面圖Fig.3 Upper jaw surface of crocodile

3.2 曲面點云處理

將劃分的三個曲面模型轉化為點云模型，由于其點云數據較多，影響曲面擬合的運算速度，因此需要對點云數據進行過濾處理.將點云導入Imageware進行過濾處理，有助于創建較高精度的曲面[14].本文采用距離采樣方法，對點云數據進行過濾處理，操作前3個典型曲面的點數量分別為3 151、4 357、5 653，將距離公差設置為1.5，過濾后點數量分別為901、1 229、1 584，經過濾后點數據大量減少，但并未改變其曲面的曲率與形貌.

4 鱷魚上顎數學模型的建立

鱷魚上顎表面的3個曲面從外觀上看不符合某個固定的數學模型，因此需要采用多項式擬合的方法對其分別進行擬合.MATLAB 2017B工具箱中的曲面擬合功能可以對三個曲面的點云數據分別進行多項式擬合.

4.1 第Ⅰ曲面數學模型

將x、y設置為自變量，z設置為因變量，選擇多項式方法擬合該曲面特征點云，通過調整x、y的次冪數，觀察擬合后的曲面與決定系數R2確定擬合的最終方程.由于建立的數學模型后續應用于仿生設計，所以擬合曲面時不僅精度要達到要求，還要考慮其復雜程度；既要保留原有形貌特征，又要使其加工成本降低，符合經濟效益.綜合考慮兩方面因素，x、y不同指數的擬合結果如表1所示.

表1 不同指數自變量曲面Ⅰ的擬合結果Tab.1 Fitting results of independent surface Ⅰ with different indexes

通過觀察分析表1可以發現，隨著x、y指數的不斷增加，決定系數R2的值越來越大，這說明隨著x、y指數的增加，其曲面擬合的精度逐漸變高，更加接近實際的曲面形貌.當x、y的指數由x3y3增加到x3y4時，殘差平方和SSE由6 005減小到2 294，均方差RMSE由1.383減小到0.855 1，決定系數由0.940 8增加到0.977 4.繼續增加次冪數，結果參數變化會更小，但曲面會更加復雜.綜上所述，選取自變量x的指數為3，自變量y的指數為4，殘差平方和SSE=2 294，均方差RMSE=0.855 1，決定系數R2=0.977 4，因此可得曲面Ⅰ的擬合方程為z1=f(x，y)=-77.22-5.008x-1.557y-0.080 14x2-0.078 2xy-0.067 06y2-0.000 399x3-0.001 29x2y-0.001 752xy2-0.000 680 3y3-6.859×10-6x3y-1.138×105x2y2-7.763×10-6xy3-3.058×10-5y4，鱷魚上顎表面第Ⅰ曲面MATLAB擬合曲面如圖4所示.

4.2 第Ⅱ曲面數學模型

以同種方法對鱷魚上顎表面第Ⅱ曲面點云進行曲面擬合，同樣考慮精度與實際加工難易程度后，x、y不同指數的擬合結果如表2所示.

通過分析表2可知，隨著x、y指數的不斷增加，當x的指數選取3，y的指數選取4時，殘差平方和SSE=1 001，均方差RMSE=0.480 2，決定系數R2=0.955 4，因此曲面Ⅱ的擬合方程為z2=f(x，y)=32.35+0.083 8x-1.612y-0.002 963x2-0.040 58xy-0.082 27y2-1.71×10-5x3-0.000 326 4x2y-0.001 227xy2-0.000 339y3-8.416×10-7x3y-4.155×10-6x2y2-2.111×10-6xy3-1.055×10-5y4，鱷魚上顎表面第Ⅱ曲面MATLAB擬合曲面如圖5所示.

圖4 上顎表面第Ⅰ部分擬合曲面圖Fig.4 Fitted surface of part Ⅰ of upper jaw surface

表2 不同指數自變量曲面Ⅱ的擬合結果Tab.2 Fitting results of independent surface Ⅱ with different indexes

圖5 上顎表面第Ⅱ部分擬合曲面圖Fig.5 Fitted surface of part Ⅱ of upper jaw surface

4.3 第Ⅲ曲面數學模型

以同種方法在MATLAB軟件中對菲律賓鱷魚上顎表面第Ⅲ曲面點云進行曲面擬合，同樣考慮精度與實際加工難易程度后，x、y不同指數的擬合結果如表3所示.

表3 不同指數自變量曲面Ⅲ的擬合結果Tab.3 Fitting results of independent surface Ⅲ with different indexes

通過分析表3可知，隨著x、y指數的不斷增加，當自變量x、y的指數均選取3時，殘差平方和SSE=2 872，均方差RMSE=0.713 4，決定系數R2=0.995 4，因此曲面Ⅲ的擬合方程為z3=f(x，y)=39.18+1.058x-0.462 9y-0.007 816x2-0.004 383xy-0.000 625 4y2+1.341×10-5x3-1.095×105x2y+2.756×10-5xy2+2.422×10-5y3，鱷魚上顎表面第Ⅲ曲面MATLAB擬合曲面如圖6所示.

圖6 上顎表面第Ⅲ部分擬合曲面圖Fig.6 Fitted surface of part Ⅲ of upper jaw surface

5 曲面合成

提取擬合后3個數學模型的數據，將其在Imageware中濾后合成，再將合成的點云數據在Geomagic Studio軟件中進行封裝，經平滑、降噪等處理后，得到的合并曲面如圖7所示.將擬合后的模型與原模型進行偏差對比分析，結果表明：數字曲面模型的標準偏差為0.581 3 mm，平均偏差為-0.478 4/0.435 4 mm，擬合后的數字曲面模型較原生物曲面形貌相近，滿足工程設計上的允許誤差，可用于后續分析及其仿生設計.

圖7 數學模型合并曲面圖Fig.7 Merged surface by mathematical model

6 結 論

通過上述分析，可以得到如下結論：

1) 通過將逆向工程技術與計算機技術結合，完成了對原始模型與特征模型的重構及修復.為校驗特征較原始模型的改變，將兩個模型進行偏差分析，結果表示，最大偏差在孔洞填補位置，標準偏差為0.016 4 mm，滿足工程設計上的允許誤差，因此特征模型可用于后續分析.

2) 運用多項式擬合的方法分別建立按照生物形貌特征劃分3個曲面的數學模型，綜合考慮擬合精度與后續仿生設計等方面因素，最終得到3個擬合后數學模型的方程表達式，且它們的決定系數R2均接近于1.

3) 將3個數學模型的數據進行合并，得到完整的曲面模型，并將其與原生物曲面進行偏差對比分析，其結果表明，擬合后的曲面模型較原生物曲面形貌相近，標準偏差為0.581 3 mm，滿足工程設計要求.