基于加權平均插值和容積卡爾曼濾波的配電網預測輔助狀態估計

柴林杰,蔡亦濃，高銘，郝運，陳繼開,李江

(1.國網河北省電力有限公司經濟技術研究院，石家莊市 050021；2.東北電力大學電氣工程學院, 吉林省吉林市 132012)

0 引 言

配電網狀態估計是通過冗余量測信息實現狀態的預測和估計，是配電網分析和其他高級應用的基礎[1]。遠程終端(remote terminal unit, RTU)設備作為配電監控與數據采集系統的核心設備，采集數據主要包括電流有效值、有功功率、無功功率、功率因數等穩態參數，已廣泛應用于調度自動化系統[2]。近年來，微型同步相量測量單元(micro synchronous phasor measurement unit，μPMU)已被開發出來，能夠實時采集電壓和電流相量，可實現廣域保護，未來有望在配電網中大規模配置[3]。μPMU與RTU采集的數據雖然應用場景不同，應用系統相互獨立，各有優點，但也存在聯系。將μPMU與RTU數據深度融合，可顯著增加配電網觀測性，可為開發配電網高級應用軟件提供支撐。與輸電網不同，配電網的狀態更加復雜多變，具有支路多、線路短、電壓波動小等特點[4-5]，其狀態也更多依賴電流的量測信息[6]。

預測輔助狀態估計(forecasting aided state estimation，FASE)，是在準穩態工作條件時，反映發電機和其他控制器緩慢變化的狀態估計[7]。FASE具有狀態估計和預測功能，具有更強的數值穩定性[8]。為了解決配電網節點多、維數高的問題[9],文獻[10]應用解耦技術將功率型量測數據轉化為電流相量進行狀態估計。由于功率型量測構成非線性量測方程，具有迭代過程復雜、誤差大等問題。文獻[11]將支路電流的幅值和相角作為變量進行狀態估計。文獻[12]提出了一種快速解耦的配電網電流估計方法，該方法可減小雅可比矩陣計算次數，減小計算量，但誤差仍然較大。

當μPMU和RTU同時存在時，狀態估計的數據來源更加多元，系統可觀性大幅提高，但也存在數據不同步的問題，需要解決混合數據融合問題。為解決該問題，文獻[13]提出一種基于非線性估計模型，對混合數據進行非線性迭代計算和壞數據預處理。然而，μPMU量測計算權值的確定和相角參考點的選取問題很難解決。文獻[14]提出了一種基于混合量測估計方法，在非線性狀態估計的基礎上進行二次線性狀態估計，未對不同周期數據進行深度融合。

本文針對μPMU和RTU混合數據進行深度融合，提出配電網預測輔助狀態估計新方法。首先，采用數據填補技術解決混合數據更新周期差異問題；然后，采用容積卡爾曼濾波，提出混合數據估計和預測的FASE算法；最后，仿真驗證所提算法的有效性。

1 RTU量測的數據填補

在工頻50 Hz電網中，RTU數據的更新周期一般為1 s，而μPMU測量數據的更新周期為20～200 ms[15]。圖1為不同更新周期下的μPMU和RTU數據。

圖1 RTU和μPMU數據的更新周期關系Fig.1 Update cycle relationship of the data from RTU and μPMU

圖1中，μPMU相對于RTU具有更高的量測精度，更短的更新周期。針對混合數據，有必要對RTU進行數據填補，使得不同更新周期的數據保持同步。本文根據μPMU數據和RTU歷史數據，實現RTU數據填補[16]。

1)線性插值。線性插值(linear interpolation，LI)是根據前一時刻值xRTUh和后一時刻值xRTUj估算出i時刻的空值xRTUi，即：

(1)

LI方法雖然簡單，但當空數據增加時，精度會顯著降低。

2)歷史平均值插值。線性插值簡單有效，但在前后數據間隔較長時插補效果不顯著。歷史平均值(historical average，HA)插補采用歷史數據，可以確保插值的數值穩定性。基于附近其他量測設備的歷史數據，根據基爾霍夫電壓和電流定律，近似作為缺失時段xRTUi的歷史數據，實現RTU數據的填補，公式如式(2)所示。

(2)

3)最優加權平均插值。最優加權平均(optimally weighted average，OWA)插補的優勢在于對短周期和長周期都具有良好的精度[16]。兩個樣本點之間的數據可以通過OWA插補進行估算，RTU的LI插補值和HA插補值的加權，即：

(3)

2 混合量測數據的狀態估計

當系統工作在準穩態時，發電機和其他控制器變化緩慢，其動態過程忽略不計[17]。這種情況下，狀態轉移可由平滑參數決定。因此，準穩態方程包含測量方程和狀態轉移方程，如式(4)所示。

(4)

式中：xt表示時間t的n維狀態向量；zt+1代表時間t+1的m維測量向量；wt表示均值為0的高斯過程噪聲；Qt是過程噪聲誤差協方差；εt+1是零均值的高斯測量噪聲；Rt+1是測量噪聲；誤差協方差f(·):Rn→Rn和h(·):Rm→Rn分別是n維狀態空間中的狀態轉移函數和m×n維測量空間的非線性函數。

2.1 μPMU量測方程

對于μPMU量測節點，測量數據以極坐標的形式呈現。根據極坐標電壓電流相量U∠θ與I∠θ，轉換成式(5)表示的直角坐標變量。

(5)

2.2 RTU量測方程

對于RTU量測的三相功率，有功功率P和無功功率Q可表示為：

P=VRTUIRTUcos(fRTU)

(6)

Q=VRTUIRTUsin(fRTU)

(7)

式中：VRTU和IRTU分別表示電壓和注入電流有效值；cos(fRTU)是RTU功率因數。功率也可以用電壓和電流的實部和虛部表示：

P=VRIR+VIII

(8)

Q=-VRII+VIIR

(9)

式中：VR、IR分別表示電壓、電流實部；VI、II分別表示電壓、電流虛部。

可將RTU測量轉換為等效注入電流，等效電流測量轉換成式(10)和式(11)。

(10)

(11)

式中：Ir(eq)、Ix(eq)分別代表等效注入電流的實部和虛部。

對于來自RTU的電流測量值，為了減少由于相角信息而導致的誤差，將支路電流的平方用作等效支路電流測量，如式(12)所示。

Ieq=(IRTU)2

(12)

式中：Ieq表示等效變換后的支路電流測量值。

將RTU的三相節點電壓量測值等效變換為:

(13)

2.3 混合量測方程

電壓和電流相量量測數據通過坐標轉換，直角坐標系下的混合測量變量ZM為：

(14)

具體測量數據如式(15)所示：

(15)

(16)

式中：上標r表示實部；上標x表示虛部；P表示μPMU量測；l表示支路號；i、j分別表示首末節點號；eq表示等效變換后的量測。

2.4 狀態轉移方程

定義狀態變量為：

(17)

Holt’s雙參數指數平滑法被用來近似代替狀態轉移方程式(4)。該方法使用2個平滑參數，即平滑原始序列的時間趨勢α和趨勢增長β。Holt’s雙參數法，具有靈活性大、結構簡單、整體效果好的優點[18]。Holt’s雙參數法的狀態轉移方程如式(18)所示[19]。

(18)

3 容積卡爾曼濾波

3.1 容積卡爾曼濾波基本原理

針對節點數量多、維數高的復雜網絡，容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter,CKF)相較于卡爾曼濾波，具有更好的精度和穩定性。CKF的基本思想，是通過高斯加權積分的三階球面徑向容積定律，采用逼近積分項，實現不同方向上的概率性濾波[20]。球體的徑向體積規則將為2n維狀態變量產生4n個等權體積點，所有等權體積點以原點為中心均勻分布在球體上[21]。

非線性狀態方程和高斯概率密度的乘積積分表達式如下：

(19)

式中：I2N(f)表示待求解的積分項；ξi是容積點；R2n為2n維積分域；wi=1/(4n)是相應容積點的權值，其中n為狀態變量個數。容積點ξi的表達式為：

(20)

式中：[e]i表示容積點集中的第i個元素。本文的容積點集中的第i個元素為：

(21)

3.2 狀態預測和修正

CKF的狀態估計由狀態預測、測量預測和濾波校正3個步驟組成[22]。

1)狀態預測。

容積點是利用已知前一時刻狀態變量估計結果和誤差協方差矩陣計算所得，如式(22)所示。

(22)

(23)

通過狀態方程傳播等權重的狀態預測值容積點如式(24)所示。

(24)

(25)

2)量測預測。

利用狀態預測步中得到的狀態預測值，計算等權測量預測的容積點，計算公式如下：

zi,t-| t-1=h(χi,t-| t-1),i=1,2,…，2n

(26)

(27)

3)濾波修正。

根據狀態預測和量測預測步的結果，預測協方差矩陣Pzz,t-| t-1和狀態變量x與量測量z之間的交叉協方差矩陣Pxz,t-| t-1，計算公式如下：

(28)

(29)

式中：Pzz,t-| t-1為量測預測的協方差矩陣；Pxz,t-| t-1為狀態變量x與量測量z之間的交叉協方差矩陣。

(30)

(31)

(32)

CKF的執行過程中不需要計算雅可比矩陣，而是利用容積點來近似后驗概率分布。此外，CKF在計算過程中提出了球形對稱分布的容積點，相關參數不會影響到容積點的權重。因此，CKF在數值穩定性和適應性方面具有很大優勢。

為了提高CKF算法的適應性和魯棒性，可采用文獻[23]算法濾波。通過構造自適應因子在線修正協方差矩陣式(28)和式(29)。定義新息向量式(33)和新息向量矩陣式(34)，判斷誤差Δe和自協方差矩陣的跡大小。

(33)

(34)

根據判斷結果構造自適應因子，在線校正自協方差矩陣和互協方差矩陣。表達式如下：

(35)

式中：tr(·)表示矩陣的跡。

采用式(35)，自協方差矩陣修正為：

(36)

同理，互協方差矩陣修正為：

(37)

4 混合測量數據下的FASE算法

4.1 混合數據的處理

基于RTU和μPMU異步混合量測，提出FASE算法。首先，對t和t+n時刻的RTU數據，使用式(3)的加權平均插值方法，實現RTU量測的插值，確保RTU量測值與μPMU同步。然后，建立混合量測的FASE數據模型(mixed-data FASE，M-FASE)，利用CKF進行狀態預測與估計，執行預測及濾波修正步驟，確保數值的穩定性。混合數據預處理具體步驟如圖2所示。

圖2 混合數據預處理Fig.2 Diagram of mixed data pre-processing

4.2 FASE算法

結合4.1節μPMU和RTU混合數據的預處理，提出FASE算法如下，流程如圖3所示。圖3中，上標M表示混合量測的FASE變量。

圖3 預測輔助狀態估計算法流程Fig.3 Flowchart of the proposed FASE

算法步驟如下：

2)通過等式(20)計算容積點ξi。

3)判斷是否為RTU的采樣時刻。如果是，則轉到步驟4)；否則，執行RTU數據填補步驟。使用式(3)的OWA插補方法來填補空數據周期的RTU測量數據，確保RTU和μPMU的量測數據同步。

7)確定是否達到終止條件。若滿足終止條件(設定接近于0的正數)或最大迭代次數(一般為10次)，則輸出狀態估計結果；否則，返回步驟2)。

4.3 評價指標

為量化所提算法的估計誤差，在式(38)—(39)中定義了估計性能函數。

(38)

(39)

(40)

式中：ε是均方根誤差；T是總采樣次數。

5 算例分析

5.1 基本參數

采用圖4所示的IEEE 37節點系統進行仿真分析。系統電壓等級為4.8 kV，視在功率基準值為1 MV·A，光伏發電系統PV1和PV2額定容量為0.2 MW，分別連接在節點704和708。圖4中，μPMU和RTU的量測節點分別用藍色矩形和紅色三角形標記。

圖4 IEEE 37節點系統Fig.4 IEEE 37-node system

μPMU和RTU的采樣時間間隔分別設置為10 ms和1 s。在案例研究中，μPMU的相角偏差為0.002 rad，振幅偏差為0.005 pu，RTU測量的標準偏差為0.02 pu。雙參數指數平滑法中平滑的參數如表1所示。

表1 三相平滑參數的取值Table 1 Three-phase smoothing parameter

5.2 綜合誤差分析

在算例系統中，比較CKF、無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter，UKF)和擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)下FASE的綜合誤差。經過CKF濾波、UKF濾波和EKF濾波算法后節點27的a相電流的實部和虛部如圖5(a)和(b)所示。圖5 (c)和(d)是每個采樣時間a相均方根誤差。

在圖5中，使用CKF濾波的均方根電流誤差為0.23%，而使用UKF濾波和EKF濾波的均方根電流誤差分別為0.44%和0.79%，這表明CKF的應用效果優于UKF和CKF。在第30次采樣后，EKF算法比其他2種方法產生較大的截斷誤差，EKF的濾波效果明顯減弱。

圖5 支路電流的狀態估計Fig.5 State estimation of branch current

在極坐標下采用不同濾波方法，a、b、c相電流幅值和相角的均方根誤差對比如圖6所示。在圖6中，CKF下振幅的均方根誤差平均值為0.18%，而UKF和EKF下的均方根誤差分別為0.51%和0.82%。同樣，CKF下相角均方根誤差平均值為0.34%，而UKF和EKF下的均方根誤差分別為0.61%和1.52%。結果表明，CKF法的精度高于其他2種方法，算法有更好的數值穩定性。

圖6 三種濾波方法均方根誤差對比Fig.6 Phasor estimation errors under different filters

5.3 計算時間

表2列出了使用CKF、UKF和EKF處理M-FASE循環周期內程序的執行時間。

表2 EKF、UKF和CKF的計算時間Table 2 Calculation time using EKF, UKF and CKF

由表2可知，使用3個濾波器的FASE執行時間小于1 s，這滿足實時計算要求。使用EKF的計算時間是54.3 ms，計算時間最長，這是由于在卡爾曼濾波過程中，EKF需要額外的步驟來計算量測函數的導數，這增加了計算時間。CKF算法計算時間最快[24-25]，這是因為CKF算法的容積點和權重與非線性測量函數無關，并不需要UKF那樣預先設置參數。因此，基于CKF的FASE的計算效率更高，滿足實際要求。

6 結 論

本文針對μPMU和RTU混合量測數據，提出基于加權平均插值和容積卡爾曼濾波的FASE狀態估計方法。主要結論如下：

1)RTU量測的最優加權平均插值方法，綜合平衡了歷史量測數據和相鄰量測數據的影響，實現了異步測量數據的融合。

2)利用容積卡爾曼濾波對混合測量方程中的狀態方程和量測數據進行預測，能夠在確保濾波效果的同時，提高狀態預測的數值穩定性。

3)與UKF和EKF算法相比，CKF算法具有更高的估計精度，更快的計算速度，提高了混合數據下狀態估計的實時性。

未來，基于CKF和混合數據填補技術，有望開發出實時性更強的配電網高級應用軟件，為配電網大數據分析提供支撐。