基于CKF的多普勒雷達目標跟蹤算法*

張敬艷 董 凱，2 孫 順

（1.海軍航空大學信息融合研究所 煙臺 264000）（2.中國電子科學研究院 北京 100041）

1 引言

艦載防空火控多普勒雷達系統的任務除了跟蹤飛機、艦船等傳統威脅之外，還要應對高機動小目標（巡航導彈等）和低慢小目標（無人機等）。對空中來襲目標進行跟蹤時，一般在直角坐標系下對目標的狀態信息進行描述，在極坐標系下對雷達的觀測信息進行描述，因此，目標的狀態信息與雷達的觀測信息之間呈現非線性函數關系［1］，需要使用非線性濾波器。目前常見的非線性濾波估計算法有擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）、不敏卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）和容積卡爾曼濾波（Cubature Kalman Filter，CKF）。文獻［2］中提到利用EKF算法對非線性系統存在的濾波問題進行處理，該算法是利用卡爾曼濾波算法框架，通過泰勒級數展開將非線性函數線性化，但是該算法存在一些問題，首先會產生二次項以上的截斷誤差，影響系統的定位精度，其次算法的迭代更新需要計算雅可比矩陣，一階矩計算量小，可用于弱非線性系統，而二階及以上矩陣計算量較大，影響跟蹤的實時性，不適用于強非線性系統，且算法的初始狀態不易確定，初始狀態選擇不當會導致濾波器發散，系統魯棒性差［3］。文獻［4］針對EKF算法存在的問題，提出利用UKF算法解決非線性系統的目標跟蹤問題；UKF算法是根據目標狀態的均值和協方差，利用UT變換確定采樣點，通過非線性函數傳遞對狀態來近似后驗概率密度分布，并得到目標狀態估計的均值和協方差，算法復雜度降低的同時，目標狀態估計更為準確。此外，由于不需要計算雅克比矩陣，故可對不可導的非線性函數進行處理。但是當階數大于3時，會損失部分采樣點對非線性函數后驗分布特性的統計，導致系統精度降低。加拿大學者Arasaratnam和Haykin在文獻［5］中首次提出CKF算法，該算法基于三階球面徑向容積規則，利用2n個容積點對概率密度分布函數進行統計逼近［6］，并且CKF算法的容積點和權值僅由狀態的維數唯一確定，可以提前計算和存儲，從而降低運算量［7］，解決了UKF算法在強非線性和高階濾波時估計精度和濾波穩定性低的問題。

針對艦載防空火控多普勒雷達目標跟蹤過程中，量測信息的強非線性對目標跟蹤精度帶來的影響。本文在容積卡爾曼濾波算法中引入多普勒雷達中的量測信息，在量測方程中聯合利用距離，角度和徑向速度，通過非線性容積點采樣，降低非線性量測對目標跟蹤精度的影響。仿真結果表明，所提方法對目標的位置與速度具有更高的估計精度。在此基礎上進一步分析了多普勒量測誤差以及距離量測與多普勒量測的相關系數對目標跟蹤性能的影響，為多普勒信息的引入提出參考條件。

2 問題描述

在兩維笛卡爾坐標系中，對運動目標的狀態進行描述，目標的運動模型一般可表示為［8］

式中，目標的狀態向量X(k)=[x(k)，y(k)，(k)，(k)]Τ，x(k)和y(k)分別為目標在x和y兩個方向上的位置分量，(k)和(k)分別為目標在x和y兩個方上的速度分量，Fk∈Rm×n為狀態轉移矩陣，G(k)為適當維數的系數矩陣，u(k)為確定性輸入向量，V(k)是均值為零且方差為Q(k)的Gauss白噪聲序列。

假設一部在極坐標系下位于坐標原點的兩坐標雷達，其包括目標距離、方位角和徑向速度信息的量測方程可以表示為

式中，ρ(k)、θ(k)和(k)分別為距離、方位角和徑向速度的量測值，x(k)、y(k)、(k)和(k)為目標真實位置和速度，為距離、方位角和徑向速度的真實值，為相應的量測噪聲，假定其均為零均值高斯白噪聲序列，方差分別為σ2ρ、σ2θ和σ2，且不相關，不相關，但是是相關的，且其相關系數設為η。即有

則k時刻量測噪聲協方差在極坐標系下為

3 DCKF濾波算法

3.1 容積點選取準則

三階球面-徑向容積規則是根據目標狀態的先驗均值和協方差，通過容積規則選取容積點，利用非線性函數對容積點進行傳遞，最后對傳遞后的容積點加權處理，得到目標狀態的近似后驗均值和協方差。

1）容積準則

（1）笛卡爾坐標中，積分形式如下［9］：

令x=ry，其中r為球體半徑r∈[0，+∞)，y為方向向量且yΤy=1，構成Un={y∈Rn|yΤy=1} 的單位球體表面。易知xΤx=yΤrry=r2，滿足下式：

式中σ(y)表示球面方向矢量y所對應的積分區域。

（2）球面-徑向坐標積分

將積分分解為球面積分S(r)和徑向積分R(r)，得到

根據上式可以看出，容積準則［10］是將原始積分轉化為某個n維幾何體的容積的積分式。

2）球面-徑向容積準則

通過數值積分將球面積分與徑向積分近似為

式中，{yi，ωs，i}為計算面積積分的積分點集合與相對應權重，Ms為相應積分點數，{rj，ωr，j} 為計算徑向積分的積分點集合與相對應權重，Mr為相應積分點數。

根據上式，在球面-徑向容積準則［11］下原積分的近似計算為

對于三階球面-徑向容積準則，Mr=1，Ms=2n，容積點數是狀態向量的維數的兩倍。用三階球面-徑向容積準則表示的標準高斯加權積分為

3.2 基于多普勒量測的CKF濾波實現

算法實現步驟如下。

1）時間更新

已知k時刻的狀態X(k)誤差協方差為P(k)，對P(k)進行Cholesky分解

選擇狀態量容積點為

狀態容積點一步預測：

狀態一步預測：

狀態估計協方差一步預測：

2）量測更新

對P(k+1|k)進行Cholesky分解：

計算狀態預測容積點：

量測容積點的一步預測：

量測的一步預測：

新息協方差：

3）濾波增益

相關協方差一步預測：

濾波增益：

4）方程更新

狀態更新：

協方差更新：

4 仿真分析

考慮目標為在二維空間做勻速直線運動物體，假定目標的初始位置為（40，40）km，目標的初始速度為（-30，-30）m/s，雷達的掃描周期為T=5s，雷達的測距誤差σρ=100m，測角誤差為σθ=5mrad，步長為200。將引入多普勒量測的容積卡爾曼濾波（DCKF）與引入多普勒量測的擴展卡爾曼濾波（DEKF）、引入多普勒量測的不敏卡爾曼濾波（DUKF）、未引入多普勒量測的擴展卡爾曼濾波（EKF）、未引入多普勒量測的不敏卡爾曼濾波（UKF）和未引入多普勒量測的容積卡爾曼濾波（CKF）對比，進行1000次蒙特卡洛實驗，考察濾波器對目標位置和速度的均方根誤差（Root Meaning Square Error，RMSE）［12］：

4.1 兩種場景下的算法仿真分析

表1 參數設置

圖1 場景1條件下不同算法誤差

圖2 場景2條件下不同算法誤差

進一步綜合圖1和圖2的仿真結果可知，當η相同時，算法的濾波效果會受到的影響。初步仿真結果表明，較小時，所提算法濾波效果改善明顯，反之，目標跟蹤效果改善不明顯。

4.2 量測誤差與相關系數對算法性能影響分析

為進一步分析η相同、不同時的濾波性能，令η=0.1，取 0.1m/s～12m/s，其他仿真條件不變，得到仿真結果如圖3（a）所示；令η=0.9，取0.1m/s～12m/s，其它仿真條件不變，得到仿真結果如圖3（b）所示，其中算法性能使用目標跟蹤過程中最后100個時刻的位置RMSE的均值來進行評估。

圖3 不同條件下的算法性能對比

由圖3（a）可知，當η=0.1，為0.1m/s～0.3m/s，由文獻［7］可知，由于狀態的初始誤差協方差較大，量測噪聲較小，各算法的狀態估計偏差較大，性能較差，無法對系統進行有效的狀態濾波；隨著的增大，未引入多普勒信息的濾波算法性能穩定不變，引入多普勒信息的濾波方法的目標位置誤差逐漸增大，并趨近于未引入多普勒信息的濾波算法，其中本文所提出的DCKF算法對位置的估計優于其他濾波算法。

由圖3（b）可知，當η=0.9時，隨著的增大，未引入多普勒信息的濾波算法性能穩定不變，引入多普勒信息的濾波算法對位置的估計性能均有所下降，且在，濾波效果要差于未引入多普勒信息的濾波算法，但本文所提出的DCKF算法對位置的估計仍優于引入多普勒信息的其他濾波算法。

圖4 不同η條件下的算法性能對比

綜上所述，未引入多普勒信息的濾波算法與η和無關，而引入多普勒信息的濾波算法受η與的雙重影響，在本文給定的仿真條件下，可以得到如下結論。

1）當η較小，隨著增大，引入多普勒信息的濾波算法趨近于未引入多普勒信息的濾波算法，其中所提的DCKF算法對位置的估計精度明顯優于其他濾波算法；

2）當η較大，較小時，所提出的DCKF算法對位置的估計優于其他濾波算法；

3）當η較大，較大時，所提出的DCKF算法對位置的估計優于引入多普勒信息的其他濾波算法。此時，未引入多普勒信息的濾波算法的位置估計效果相對較好，說明在這種情況下濾波算法中不宜引入多普勒信息。

5 結語

本文針對基于多普勒雷達徑向速度信息的目標跟蹤問題，提出了一種基于容積卡爾曼濾波（Cu?bature Kalman Filter，CKF）的多普勒雷達目標跟蹤算法。在量測方程中聯合利用距離、角度和徑向速度信息，并采用CKF算法降低非線性量測方程對目標跟蹤精度的影響。通過對不同算法的仿真結果對比分析驗證了所提方法的有效性和優越性。其中，當徑向速度誤差精度較高時，所提DCKF方法的性能對相關系數不敏感；反之，當徑向速度誤差精度較低時，選取較小的相關系數，可使所提算法性能最佳；當徑向速度誤差較大，選取較大的相關系數時，不宜引入多普勒信息。