彈道目標的變結構多模型數據濾波方法*

黃晶晶 陳世友

（武漢數字工程研究所 武漢 430074）

1 引言

隨著彈道導彈的發展，彈道導彈防御技術［1］的研究也愈加受到重視，彈道目標數據濾波技術是彈道導彈防御的核心技術之一，對導彈落點預測的準確度和彈道導彈攔截的成功率至關重要［2］。根據彈道導彈運動過程中的受力情況，可將其彈道分為主動段、自由段和再入段三個飛行階段。由于各階段運動特征差別較大，單模型彈道目標數據濾波方法不能實現對全彈道的連續估計。使用交互多模型算法可以解決上述問題，但也存在一些缺點，交互多模型算法的估計性能與所選模型集密切相關［3～4］，而模型集的選擇通常處于兩難的境地，為提高估計精度需要盡可能多地增加模型的數量，而過多的模型會增加模型之間的競爭并且增加計算量，導致估計精度降低。另外，由于彈道目標各階段的運動特征明顯不同，每個階段均使用所有模型來濾波會增加不必要的計算量。

為克服上述缺點，本文基于變結構多模型算法［5］，提出了一個適用于彈道目標全階段的濾波方法。該方法采用多模型的結構，相較于單模型跟蹤算法，可用于跟蹤任意階段的彈道目標；相較于交互多模型算法，可以減少不必要的計算，同時提高精度。本文基于三個不同階段分別建立運動模型，每個階段對應一個變結構多模型的濾波器。其中，主動段采用Singer模型［6］和重力轉彎模型［7］兩種模型的交互輸出作為主動段濾波器的輸入，自由段采用橢球體地球重力模型［8］，再入段采用基于橢球體地球重力模型和空氣阻力模型的運動模型［9～10］。各階段運動模型都建立在混合坐標系［10］下，在雷達站坐標系下建立彈道目標各運動階段的狀態方程，在雷達站球坐標系下建立各運動階段的量測方程。本文基本濾波算法采用擴展卡爾曼濾波（EKF）算法［11］。

2 彈道目標運動模型

本文根據各階段受力情況應用了不同的運動模型，由于各階段運動模型的狀態變量的維度不同，無法直接用于變結構多模型算法中模型的交互，所以將各個狀態變量分為包括目標位置和速度的六維主狀態變量和包括其他狀態變量的次狀態變量，主狀態變量用于多模型之間的交互，次狀態變量僅在濾波器內部循環。本文中所有運動模型都建立在混合坐標系下，在雷達站坐標系下建立彈道目標狀態方程，在雷達站球坐標系下建立量測方程。

2.1 主動段運動模型

主動段主要受到發動機推力、地球重力和空氣動力的作用。使用Singer模型和重力轉彎模型分別描述該階段的運動情況，運動模型分別如下。

2.1.1 Singer模型

設彈道目標Singer模型［12］的狀態變量如式（1），各變量依次表示目標在各個方向的位置、速度和加速度。

Singer模型在雷達站坐標系下的狀態方程為

將式（1）的狀態向量分離為主狀態向量X1和次狀態向量X2：

該運動模型中其他矩陣向量參考文獻［12］。

2.1.2 重力轉彎模型

設彈道目標的狀態變量為

彈道目標在雷達站坐標系下的狀態方程如式（8）所示，式中各變量含義為，其中T表示發動機推力，D表示空氣動力，m表示彈道目標質量；β=δm/m，其中δm>0，表示導彈質量減小的速率；μ=3.986005×1014m3/s2，為地球重力常數；Reh=rem+h，rem=6371010m，為地球半徑，h為雷達站的大地高程。

速度v和位移r0表達式如下：

對狀態方程進行泰勒級數展開并忽略高階項有：

狀態方程的雅可比矩陣求解公式為

將狀態向量分離為主狀態向量X(1)和次狀態向量X(2)，表達式如下所示：

將狀態方程、泰勒級數展開的函數和雅可比矩陣也相應分離，分別在濾波器內迭代計算。

2.2 自由段運動模型

自由段是指彈頭從頭體分離到再次進入大氣層的一段彈道，這一階段目標近似于在真空中運動，可認為僅受到地球重力的作用，為使運動模型更接近真實情況，地球重力采用橢球地球模型。

狀態方程的雅可比矩陣求解公式與式（7）相同。

2.3 再入段運動模型

再入段是指彈頭從再次進入大氣層到落地為止的一段彈道，這一階段彈頭除受到地球重力之外還受到巨大的氣動阻力。因此，將氣動阻力α增廣到狀態向量中得到表達式如下：

雷達站坐標系下再入段彈道目標的狀態方程為

式中，α表示阻力參數，ρ(h)=ρ0e-kh為空氣密度函數，其中ρ0=1.22kgm-3。

對上式進行泰勒級數展開并忽略高階項有：

狀態方程的雅可比矩陣求解公式與式（7）相同。

將狀態向量分離為主狀態向量X(1)和次狀態向量X(2)，表達式如下所示：

對狀態方程、泰勒級數展開的函數和雅可比矩陣的處理與主動段中的重力轉彎模型相同。

3 雷達量測模型

狀態向量在雷達站坐標系下描述，量測值在雷達站球坐標系獲取，其中R為距離，A為方位角，R為俯仰角。則用狀態變量表達的量測方程如下：

對上式進行泰勒展開并忽略高階項有：

式（11）中H(Xk|k)為量測方程的雅可比矩陣，表達式如下：

4 彈道目標的變結構多模型算法

模型集切換算法是變結構多模型的一種模型集自適應算法，該算法的優勢是模型集之間的切換通過兩階段進行，在激活候選模型集后不立刻終止當前模型集，而是運行二者的并集直至當前模型集達到設定的終止條件。這種切換方式可以有效地避免虛假切換。本文在模型集切換算法的基礎上，設計了一個適用于彈道目標全階段的數據濾波方法，相較于單模型跟蹤算法，該算法可用于跟蹤任意階段的彈道目標。該方法的一個周期由以下七個步驟組成。

1）設計模型集的覆蓋。彈道目標主動段是整個飛行階段受力最復雜的階段，為了更準確地對主動段數據濾波，本文采用Singer模型和重力轉彎模型的交互多模型算法描述該階段運動情況，兩個模型分別用m1、m2表示；彈道目標自由段在三個運動階段中受力情況最簡單，運動軌跡可預測性更強，該階段采用橢球體地球重力模型，用m3表示；彈道目標再入段主要受到地球重力和空氣阻力的作用，采用基于橢球地球模型和空氣動力模型的運動模型描述，用m4表示。

2）設計候選模型集。模型集的設計與整體模型集合以及它們的拓撲緊密相關。由各個模型代表的系統模式很接近時，這些模型可以聚成一個模型集。彈道目標飛行所經歷的運動階段依次為主動段、自由段和再入段。設計各個階段模型集的集合為C={M1，M2，M3}。其中，M1={m1，m2}，為主動段模型集；M2={m3}，為自由段模型集；M3={m4}，為再入段模型集。

3）判斷彈道目標當前飛行階段。當雷達探測到彈道目標的數據時，首先要做的事情是判斷彈道目標當前處于哪個階段。初始模型集的激活只能依靠從量測序列中獲得的后驗信息，通過后驗信息總結出模型概率和似然，從而判斷當前彈道目標處于哪個運動階段。初始模型集的激活需要同時滿足以下兩個條件：

其中，模型集概率是k時刻基于計算的模型集中所有模型的概率之和；模型集似然為k時刻模型集中模型的所有（邊緣）似然的概率加權和。

4）時間計數k增加1，運行變結構交互多模型算法遞歸周期［13］。

5）判斷是否激活候選模型集。如果是，則進入下一步；如果不是，則輸出從變結構交互多模型算法周期獲得的目標狀態估計值k|k、狀態誤差協方差Pk|k和模型概率，返回4）。

設Mk為當前運行的模型集，當候選模型集Mk+1同時滿足以下兩個條件時，激活Mk+1。

t0為該激活邏輯中的門限值。

6）如果有候選模型集被激活，下一時刻的模型集變為當前時刻運行的模型集M0和新激活的候選模型集Ma的并集Mk，并且運行變結構交互多模型算法的一個周期。

（1）計算并集Mk的模式概率、狀態矩陣和誤差協方差矩陣。

（2）判斷是否終止模型集M0和Ma，對模型集Ml=Mo，Ma計算下列模型概率和模型似然。

7）選擇模型轉移概率矩陣。綜合考慮彈道目標的飛行特性，定義模型轉換矩陣如下：

模型飛行階段切換示意圖如圖1。

圖1 彈道目標飛行階段模型轉換圖

5 仿真結果

以某兩級彈道導彈為仿真對象，假設發射點的大地坐標為(130°E，30°N )，發射方位角為 40°。仿真后彈道目標的落點大地坐標為(95°W，29°55′N )。假設雷達站位于地球表面，大地坐標為(95°W，30°N )。設定量測向量的距離量測方差為1m，方位角和俯仰角的量測方差均為10-3rad，跟蹤數據率為1Hz。將本文提出的基于變結構多模型數據濾波算法與單模型EKF算法進行對比分析，采用位置和速度的均方根誤差（Root-Mean-Square Error，RMSE）作為標準對比分析濾波效果。

5.1 主動段仿真結果對比

從圖2和圖3主動段的彈道目標數據濾波算法的估計精度對比可以看到，基于變結構多模型算法的數據濾波方法的位置和速度的RMSE都優于基于EKF算法的單模型數據濾波方法，在50s左右變結構多模型算法逐漸收斂，而另外兩種單模型算法的誤差值仍然是波動上升的趨勢。從表1可以得出，變結構多模型算法與基于Singer的EKF算法的位置誤差和速度誤差的比值分別為0.803和0.787，與基于重力轉彎模型的EKF算法的位置誤差和速度誤差比值的分別為0.835和0.673。

圖2 主動段的位置均方根誤差對比

圖3 主動段的速度均方根誤差對比

表1 主動段的均方根誤差均值對比

5.2 自由段仿真結果對比

從圖4和圖5自由段的彈道目標數據濾波算法的估計精度對比可以看到，基于變結構多模型算法的數據濾波方法的位置和速度的均方根誤差都優于基于EKF算法的單模型數據濾波方法，在50s左右變結構多模型算法逐漸收斂，而EKF單模型算法在200s時才逐漸收斂。從表2可以得出，變結構多模型算法與EKF算法的位置誤差和速度誤差比值的分別為0.601和0.654。

圖4 自由段的位置均方根誤差對比

圖5 自由段的速度均方根誤差對比

表2 由段的均方根誤差均值對比

5.3 再入段仿真結果對比

從圖6和圖7再入段的彈道目標數據濾波算法的估計精度對比可以看到，基于變結構多模型算法的數據濾波方法的位置和速度的均方根誤差都優于基于EKF算法的單模型數據濾波方法，在20s左右變結構多模型算法逐漸收斂，而另外兩種單模型算法的誤差值仍然是波動上升的趨勢。從表3可以得出，變結構多模型算法與EKF算法的位置誤差和速度誤差比值的分別為0.536和0.740。

表3 再入段的均方根誤差均值對比

圖6 再入段的位置均方根誤差對比

圖7 再入段的速度均方根誤差對比

6 結語

本文提出了一種基于變結構多模型算法的彈道目標數據濾波方法，可以實現對彈道目標全彈道的數據濾波。通過仿真實驗得出，與基于單模型的EKF算法相比，本文所提方法有以下優勢：各運動階段的位置和速度均方根誤差均值都更小，即該算法估計精度更高；當濾波數據出現波動時，本文方法在各運動階段的收斂速度都更快，即該算法更穩定；在主動段和自由段、自由段和再入段的交替處基于變結構多模型算法的彈道目標數據濾波方法的均方根誤差值抖動范圍更小，抖動時間更短，這表明該算法在彈道目標出現機動時能夠更快適應。