肥皂膜篩子的“負”過濾特性研究

肖 曉 鐘 鳴 陸建隆 王 巍，*

（1.南京師范大學物理科學與技術學院，江蘇 南京 210023；2.南京師范大學教師教育學院，江蘇 南京 210023）

在生活中，常見的帶孔篩子能過濾物體的體積，可以使體積較大的物體留住，體積較小的物體透過.而一張普通的肥皂膜也可以作為篩子，它可以過濾物體的重量，留住較輕的物體，卻透過較重的物體，像是擁有一種 “負”的過濾特性.這種能“留輕漏重”的肥皂膜篩子有很重要的應用，例如在開放式的外科手術中，使用類似的肥皂膜篩子，就能讓手術工具通過薄膜進入傷口，而灰塵和其他較輕的碎片將被膜阻隔，從而讓手術在干凈安全的環境中進行.［1］所以該現象非常值得研究.

本文將探究這種肥皂膜篩子“負”過濾現象的物理機制，解釋為什么輕顆粒會被留住、為什么重顆粒能透過并且膜會愈合；接著對肥皂膜篩子能“漏多重”、“留多輕”和“用多久”這3個過濾特性進行實驗探究和理論分析，設計了不同濃度的膜過濾物體的實驗相圖，并由此驗證膜過濾的理論判據.

1 肥皂膜篩子的“負”過濾現象

圖1是搭建的實驗過濾裝置，在鐵架臺上固定鐵環、尺子和可調節的物體釋放臺，這套裝置在觀察現象的同時可以控制變量進行實驗探究.圖2為待過濾物體，采用4種顆粒體積從左到右依次由大到小但單顆質量均在mg級別的石英砂.圖3是肥皂膜配制裝置，購買濃縮泡泡液，將泡泡液與水的濃度比控制在1∶1至1∶9范圍內，把半徑為6.25 cm的鐵環浸在配置好的肥皂液中，慢慢取出就可以得到一張性能較為穩定的肥皂膜.

圖1 過濾裝置

圖2 待過濾物體（石英砂）

圖3 肥皂膜配置裝置

圖4和圖5分別展示了輕物體被留住和重物體透過肥皂膜的實驗現象.圖4（a）是單個物體顆粒留在肥皂膜上，圖4（b）是顆粒聚團留在膜上.首先，膜會部分包裹著物體，若輕物體的重量沒有達到過濾臨界值，就會被留在膜上，受到擾動的膜有著自己的修復機制而不破裂；若重物體重量超過過濾臨界值，會繼續下落，被拖長的膜頸部在表面張力產生的附加壓強的作用下釘軋成兩部分，一部分包裹著物體下落，如圖5（a），然后重物透過肥皂膜，而膜本身經過自我修復愈合也不會破裂，如圖5（b）、（c）.

圖4 肥皂膜留住較輕的物體

圖5 肥皂膜透過較重的物體

2 肥皂膜篩子“負”過濾現象的物理機制

2.1 為什么肥皂膜篩子能留住輕物體——馬蘭格尼效應

對于液體膜而言，受表面張力的作用會傾向于收縮成液滴從而降低表面能.因此表面能越高，液膜越不穩定.由于液膜有上下兩個表面，其表面能公式為［2］

式中γ是表面張力系數，S是膜表面積，表面能與液體的表面張力系數成正比.由于水的表面張力系數很大，大約為7.28×10-2N／m（20℃），因此水的表面能很高，很難形成水膜；而肥皂膜的主要化學成分是高級脂肪酸鹽，是一種表面活性劑，能降低液膜的表面張力，因此能形成表面張力系數低于水的肥皂膜，且膜的液水濃度比在1∶1至1∶9的范圍內時比較穩定.本實驗利用毛細管法［3］測量肥皂膜的表面張力系數，發現液水濃度比在1∶1至1∶9范圍內其表面張力系數變化很小，約為2.78×10-2N／m（20℃）.

如圖6所示，肥皂膜是一種雙分子層夾帶少量溶液的結構.［4］其中，表面活性劑的憎水基（圖6中曲線段）傾向于接觸空氣，親水基（圖6中圓點）傾向于接觸水，這就導致膜面的表面活性劑濃度比膜內高，從而降低了膜面的表面張力，使膜更加穩定.當物體落在膜上，動能較小時，膜產生輕微形變.從圖7可以看出，肥皂膜表面受到擾動，表面單分子層被破壞，由于膜面的表面活性劑的濃度高于膜內，因此在肥皂膜表面會產生活性劑濃度差，從而形成表面張力梯度，并在表面產生剪切應力，表面張力大的液體對其周圍表面張力小的液體產生較大的拉力，使液體從表面張力低向張力高的方向流動，膜就能維持穩定形態，這就是馬蘭戈尼效應，也是膜的自我修復機制.

圖6 肥皂膜的結構

圖7 肥皂膜受擾動的結構

2.2 為什么重物體能透過并且膜能自我愈合——表面張力產生的附加壓強作用

由于體積較小的石英砂團與肥皂膜之間的分離過程很快，不易觀察分析，于是通過觀察體積較大的乒乓球透過膜來放較重的物體透過膜的過程.從圖8可以看出，下落的乒乓球具有較大動能，膜包裹著乒乓球并且被拖長，頸部逐漸收縮被夾斷，上半部分愈合成膜，下半部分包裹乒乓球下落.

圖8 乒乓球透過膜的過程圖

膜頸部曲面由表面張力產生的附加壓強由下式表示［4］

其中γ為表面張力系數，R1和R2為頸部較細位置和其外表面的界面主曲率半徑（如圖9中標出的圓，它們所在的平面互相垂直），兩個主曲率圓受力都指向圓內，且外表面曲率為負，故R1·R2＜0.其中半徑為R1圓部分的表面張力有使頸部收縮的趨勢，而半徑為R2圓部分的表面張力有使頸部擴展的趨勢，兩者存在相互競爭.但因半徑為R1圓半徑更小，在（2）式中可以看出，它相較于半徑為R2圓影響更顯著，因此物體下落的動態過程中頸部收縮的作用會大于擴展作用，被拖長的膜在附加壓強的作用下收縮夾斷，上下兩部分膜經過基于馬蘭格尼效應的修復機制維持穩定，最后作衰減振動.

圖9 主曲率圓示意圖

總的來說，肥皂膜的過濾現象是由表面張力控制的肥皂膜的變形與恢復產生的.

3 肥皂膜篩子的“負”過濾特性

本文將探究肥皂膜篩子能“漏多重”的物體、“留多輕”的物體和能“用多久”這3個過濾特性.其中“漏多重”指一定高度下恰好能被肥皂膜濾除的物體的重量；“留多輕”指準靜態情況下肥最多能留住多大重量的物體；“用多久”則指一個肥皂膜作為篩子工作時的使用壽命.

3.1 過濾特性1：“漏多重”的研究

實驗發現，在不同高度釋放同一重量的物體，其過濾情況是不同的.在2018年Birgitt Boschitsch Stogin等根據能量關系定義了肥皂膜過濾的能量判據E*，即比較肥皂膜表面能ES與可忽略不計的損耗能Ediss的差和物體動能Ek之間的大小關系［1］

其中表面能ES可表示為

式中r0為物體半徑，R0為肥皂膜半徑.物體動能可以利用能量守恒定律，通過物體下落至膜的重力做功來表示

可見，物體能否透過膜除了和自身重量大小mg有關，還與其下落高度h有關.為了直觀呈現雙變量對肥皂膜篩子過濾的影響，實驗設計如下.對物體下落高度h的每個值，通過改變物體質量m描繪一個留住與透過的相圖（畫圈表示留住，畫叉表示透過），如圖10所示，在離膜1.5 cm高度處釋放質量依次增加的物體，質量為5.8 mg的物體被膜留住，而6.3 mg的物體卻能透過膜，因此存在一個平均臨界重量.改換參數多次實驗，可以作出一條分割二維坐標的狀態圖線，圖線左下部分為物體留住、圖線右上部分為物體透過.在同一高度下，物體的重量大小決定了其在肥皂膜篩子上是留住還是透過.因此，這個相圖直觀反映了肥皂膜篩子在一定高度能“漏多重”的物體.

圖10 1∶1液水濃度比肥皂膜的過濾相圖

改變肥皂膜的液水濃度比，從圖11可以看出，1∶3液水配比的膜能在同一高度下留住較大重量的物體，因此它的過濾性能較好.這是由于當液膜很濃時，表面活性劑濃度大，液膜分子間的表面張力很小，于是膜表面能變小；當液膜很稀時，表面活性劑濃度低，肥皂膜彈性差，過濾能力也會變小.

圖11 不同液水濃度比肥皂膜的過濾相圖

為了獲得物體過濾情況的判斷機理，首先對于損耗能Ediss簡化為忽略不計項.將實驗中測得的物體半徑、質量、高度等數據代入理論公式（3）至（6），可以繪制出不同液水濃度比肥皂膜的能量過濾判據，如圖12所示.縱坐標是能量的臨界判據lnE*，橫坐標是物體半徑.在理論上lnE*等于0為是否透過肥皂膜的臨界值，lnE*等于0由公式（3）可知肥皂膜表面能ES與物體動能Ek相等，即物體動能近似等于膜的表面能時，物體恰好能透過膜.如果lnE*＞0，由公式（3）可知肥皂膜表面能ES比物體動能Ek大，則物體會留在肥皂膜表面，如果lnE*＜0，則肥皂膜表面能ES比物體動能Ek小，物體則透過肥皂膜.本文實驗中lnE*整體偏低是因為在簡化理論的過程中省去了一部分的損耗能Ediss，物體透過膜時，動能Ek除了克服表面能ES，還有一部分作為肥皂膜被拖長形變時增加的表面能以及對物體的阻礙能，所以得到的實驗數據比理論略低.

圖12 不同液水濃度比肥皂膜的過濾判據

3.2 過濾特性2：“留多輕”的研究

把物體盡可能無初速度貼近膜面釋放，如圖13所示，膜就像袋子一樣兜住了輕物體.此時輕物體受肥皂膜表面張力的豎直分力和自身重力的共同作用被留在膜上，受力平衡方程為［5］

圖13 物體留在膜上實驗圖

圖14 物體留在在膜上示意圖

從（7）式中可以看出，肥皂膜能容納多大質量的輕物體取決于物體聚團半徑r0，肥皂膜的表面張力系數γ以及與膜的彈性相關的物體陷膜深度角α.

圖15是在準靜態情況下，探究不同濃度的肥皂膜分別能留住多大質量的輕物體.當肥皂膜越稀，雖然在理論上液膜的表面張力系數會略微增大，但肥皂膜含水量越多，彈性越差，陷膜深度角α就越小，且彈性的降低作用大于表面張力的增大作用，由（7）式得出能留住的最大物體質量是降低的，圖15可以畫出透過區和留住區.實驗還發現，物體聚團越集中，即r0越小，能留住的最大物體質量也是降低的.

圖15 肥皂膜濃度與最大留住質量的關系

3.3 過濾特性3：“用多久”的研究

我們還發現肥皂膜篩子的使用壽命是有上限的.在過濾時膜會包裹著物體，一張膜在過濾3-5次物體后會變得薄脆易破.此外，膜能“用多久”還受物體疏水性的影響，例如表面干燥疏松的木塊落在膜上會使膜破裂，但濕潤的木塊能透過且不會使膜破裂.這是由于干燥的木塊與液膜不浸潤，液膜分子間作用力無法連續因而形成膜洞，由于表面張力的收縮性膜將破裂.

4 結論

本文研究了一張普通的肥皂膜可以作為篩子，且有著能讓重物體透過卻將輕物體留住的“負”過濾特性.在一定高度下，如果不計損耗能，肥皂膜的表面能ES與物體動能Ek相等，即物體動能近似等于膜的表面能時，物體恰好能透過膜；如果肥皂膜的表面能ES比物體動能Ek大，則物體會留在肥皂膜表面；如果肥皂膜表面能ES比物體動能Ek小，物體則透過肥皂膜.當物體以盡可能無初速度貼近膜面釋放時，物體質量小于過濾臨界質量時，物體會留在膜上且受力平衡；當物體質量大于臨界質量時就會透過肥皂膜.

致謝：感謝參與肥皂膜過濾實驗和數據處理的梁皓辰、梁朝陽、陳龍同學.感謝給予指導和建議的張開楊、莊偉和王琦老師，以及知乎姜小白！