探究水上景物經水面折射成像的規律

張懷華

（焦作市第十一中學，河南 焦作 454000）

1 引言

加拿大著名攝影師Eiko Jones曾經在一些沼澤和湖泊中拍攝過神秘的水下世界.對于絕大多數沒有潛水經歷的人們來說，池塘和湖泊的水下世界無疑是一個非常令人神往的地方.他的水下攝影作品《沼澤之心》曾獲“我們的水下世界國際影賽”（Our World Underwater）的銀獎.［1］正是因為Eiko Jones的工作，讓人們開始意識到這些水下世界也是值得保護的.

當人們都在透過Eiko Jones的鏡頭欣賞這神奇的水下秘境的時候，高中物理教師們卻從圖1-4中看到了神奇的水面折射成像規律.即在潛水員的視野中，水上所有景物都出現在一個倒立的圓錐里.［2］

圖1

圖2

圖3

圖4

水上景物的像為什么都呈現在一個倒立的視錐中呢？水上景物的像又依照什么規律發生扭曲變形的呢？

2 探究水上景物經水面折射成像的規律

當水上景物發出或反射的光以掠射方式經水面折射進入觀察者眼中的過程中，入射角與折射角遵循光的折射定律，即

由于入射光線掠射，入射角i趨近于90°，則折射角r趨近于

當水下觀察者逆著折射光線觀察水上景物的時候，就發現水上景物的像全部都呈現在一個倒立的圓錐（以下簡稱視錐）里.

由于水的折射率n為1.333，由（2）式可得，來自水上景物的光以掠射方式入射時，對應的折射角r約為48.8°，視錐的頂角約為97.6°.

如圖5所示，［2］普通高中物理課程標準教科書物理選修3-4中給出了水上景物與其經水面折射所成像的插圖.那么，水上景物與其經水面折射所成的像是否存在簡單的旋轉和縮放關系呢？

圖5

2.1 探究岸邊直立樹木經水面折射所成像的方程

如圖6所示，在第四象限有一個水池，設水的折射率為n，水池的寬度為d，觀察者所在位置為點M，深度為h；用線段AD表示直立在岸邊的一棵樹，P點為樹上任意一點；P點發出兩條光線射向水面，入射點為非常接近的E、E′兩點，兩個入射點對應的橫坐標分別為x和x′；兩條光線對應的光路分別為PEM和PE′M′，兩條光線對應的入射角分別為i和i′，對應的折射角分別為r和r′；兩條折射光線的反向延長線相交于像點P′.

圖6 水下觀景光路圖

設物點P到入射點E的距離為l EP，像點P′到入射點E的距離為l EP′，則由三角函數的定義可得，入射角i和折射角r的正弦值和余弦值分別為

過入射點E′作EP、EP′的垂線，垂足分別為F和F′，由于E和E′兩點相距非常近，由微元法可得

由（9）、（10）式可得，像點P′到入射點E的距離l EP′為

2.2 探究潛水員深度對岸邊直立樹木經水面折射成像的影響

由（2）式可知，從潛水員的視角看，岸上所有物體的像都呈現在一個倒立的視錐中，該視錐母線與中軸線的夾角為

當潛水員的深度為h時，視錐與水平面的截面圓的半徑為

2.2.1 潛水員觀看到岸邊直立樹木部分像的條件

在幾何畫板軟件中繪制（22）、（23）式的圖像，可得樹木AD經水面折射所成的像如圖7所示.

觀察圖7可以發現，當岸邊直立樹木AD的根部位于截面圓外部的時候，樹木AD下半部分的像發生嚴重畸變，向外扭曲，并向無窮遠處伸展，視錐的母線為樹木AD下半部分像的漸近線，這部分像嚴重虛化，難以觀察；樹木AD上半部分的像于實物相比較高較遠，基本豎直，易于觀察.

圖7 成部分像的情形

當岸邊直立樹木在截面圓外部的時候，潛水者只能看到岸邊樹木AD經水面折射所成的較高較遠、頂部直立、下部扭曲、底部虛化殘缺的像.

2.2.2 潛水員觀看到岸邊直立樹木完整像的條件

在幾何畫板軟件中繪制（24）、（25）式的圖像，可得樹木AD經水面折射所成的像如圖8所示.

觀察圖8可以發現，當岸邊樹木AD的根部位于截面圓內部的時候，樹木AD下半部分的像發生輕微畸變，向外扭曲；樹木AD上半部分的像基本豎直；岸邊樹木AD成像完整，易于觀察.

圖8 成完整像的情形

當岸邊直立樹木在截面圓內部的時候，潛水者可以看到岸邊樹木AD經水面折射所成的較高較遠、整體直立、略有扭曲、成像完整.這結論與文獻［4］和文獻［5］中給出的“從水中看岸上的景物，看到的景物的像比景物的實際位置‘又高又遠’”的定性結論相一致.

由上述分析可知，圖5中給出的水上景物折射成像圖示與實際情況并不相符.

3 結論

從潛水員的視角看，水上景物經水面折射所成的像都位于頂角為97.6°的倒立的視錐內；視錐與水平面存在截面圓；如果水岸交界處位于截面圓以外，潛水員能看到岸邊直立樹木經水面折射所成的像較高較遠、頂部直立、下部扭曲、底部殘缺；如果水岸交界處位于截面圓內，潛水員能看到岸邊直立樹木經水面折射所成的像根部重合、較高較遠、整體直立、略有扭曲，成像完整.

在潛水員的視野中，原本平直的水岸看起來不再平直，原本豎直的樹木看起來也不再豎直，而是發生了一種有規律的扭曲，這種景象還與潛水員的位置密切相關，一旦潛水員的位置發生改變，看到的景象也隨之改變.景隨人動，幻化無窮.