對(duì)教材中一道習(xí)題答案的商榷

田陽(yáng)陽(yáng)

（南京師范大學(xué)附屬中學(xué)丁家莊初級(jí)中學(xué)，江蘇 南京 210028）

蘇科版物理9年級(jí)上冊(cè)第11章第2節(jié)滑輪的WWW部分設(shè)置了這樣一道習(xí)題.［1］

例題.用繩和木棍體驗(yàn)“滑輪組”的威力.

兩位同學(xué)各持一根較光滑的木棍，在相距1 m處面對(duì)面站立.另外一位同學(xué)取一根繩子，將繩子的一端系在其中一根木棍上，再按圖1所示依次繞過(guò)兩根木棍，然后緩慢地拉動(dòng)繩子的另一端，結(jié)果會(huì)怎樣？

圖1

教師教學(xué)用書(shū)中參考答案：［2］實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，輕輕拉動(dòng)繩子的自由端，用較小的力就可使兩根木棍靠攏.繩子在木棍上繞的圈數(shù)越多，拉繩時(shí)所需的拉力F越小.

筆者對(duì)參考答案的第2句話：“繩子在木棍上繞的圈數(shù)越多，拉繩時(shí)所需的拉力F越小”有不同的見(jiàn)解，認(rèn)為其值得商榷.

現(xiàn)分析如下：在兩根木棍被拉動(dòng)之前，繩子與木棍之間存在靜摩擦力.這會(huì)導(dǎo)致各段繩子中的張力不相等.

為說(shuō)明這一點(diǎn)，如圖2所示，對(duì)與木棍接觸的一長(zhǎng)為d l的繩元（繩元所對(duì)圓心角為dθ）受力分析，該繩元兩端的張力分別為F和F+d F，d f為木棍對(duì)繩元的摩擦力，d FN為木棍對(duì)繩元的正壓力.在繩元將要滑動(dòng)的臨界狀態(tài)（此時(shí)最大靜摩擦力等于動(dòng)摩擦因數(shù)μ0與正壓力的乘積）時(shí)，分析如下.

圖2

不計(jì)繩子質(zhì)量，繩元受到的合力為0，分別在切向和法向列出平衡方程

將（3）式代入（1）式得

將（4）式代入（2）式并略去高階微量得

繩元將要滑動(dòng)

聯(lián)立（5）～（7）式得

將（8）式兩邊同時(shí)積分

得

其中F0為繞過(guò)木棍前繩中張力，F(xiàn)為繞過(guò)木棍后繩中張力.

將右邊的木棍記為甲木棍，將左邊的木棍記為乙木棍，同時(shí)將各段繩子中的張力Fi標(biāo)記好，如圖3所示.假設(shè)當(dāng)一位學(xué)生對(duì)繩子的自由端施加拉力F時(shí)，繩子處于將要滑動(dòng)的臨界狀態(tài).則

圖3

比較（23）、（24）兩式得F甲＞F乙，假設(shè)兩位抓住木棍的學(xué)生所能施加的最大拉力均為20 N，則甲木棍先被拉動(dòng).當(dāng)甲木棍處于剛要運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)時(shí)F甲=20 N.將F甲=20 N代入（23）式得此時(shí)繩子的自由端所需的拉力為

利用 MathCAD軟件可以畫(huà)出（26）-（28）3式的圖像，如圖4所示.

圖4

由圖像可見(jiàn)，存在一個(gè)臨界圈數(shù)n0（動(dòng)摩擦因數(shù)μ0越大，臨界圈數(shù)n0越小）.

當(dāng)n＜n0時(shí)，隨著n的增加，拉力F逐漸減小；

當(dāng)n＞n0時(shí)，隨著n的增加，拉力F幾乎保持不變.

同時(shí)，由圖像還可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n一定時(shí)，動(dòng)摩擦因數(shù)μ0越小，拉繩時(shí)所需的拉力F越小.

由以上分析可知：

參考答案的第2句話：“繩子在木棍上繞的圈數(shù)越多，拉繩時(shí)所需的拉力F越小”是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?因?yàn)橹挥挟?dāng)繞的圈數(shù)小于臨界圈數(shù)時(shí)，這一表述才成立.

綜上所述，筆者建議將本題參考答案的第2句話刪除，或修改為：“適當(dāng)增加繩子在木棍上繞的圈數(shù)，可以減小拉繩時(shí)所需的拉力F”.