非線(xiàn)性模型精度評(píng)定的Bootstrap方法及其加權(quán)采樣改進(jìn)方法

王樂(lè)洋，李志強(qiáng)

東華理工大學(xué)測(cè)繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013

在大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域，嚴(yán)格的線(xiàn)性模型并不多見(jiàn)[1-3]，而非線(xiàn)性特征一般更接近客觀事物的性質(zhì)，已滲透于現(xiàn)代空間測(cè)量技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，如地球重力場(chǎng)[4]、攝影測(cè)量與遙感、海洋測(cè)繪等領(lǐng)域，所涉及的函數(shù)模型普遍是非線(xiàn)性模型。傳統(tǒng)的獲取非線(xiàn)性模型的參數(shù)估值與精度信息的方法是最小二乘(least squares，LS)法，其函數(shù)模型為高斯-馬爾可夫(Gauss Markov，GM)模型，為線(xiàn)性模型[5-8]。隨著測(cè)量手段的多樣化和智能化，對(duì)平差結(jié)果的精度要求也越高，若采用傳統(tǒng)線(xiàn)性化的理論方法處理具有較高精度的觀測(cè)數(shù)據(jù)，可能會(huì)產(chǎn)生大于觀測(cè)誤差的模型誤差，進(jìn)而導(dǎo)致平差結(jié)果的精度損失與特征轉(zhuǎn)變。因此，線(xiàn)性近似方法可能無(wú)法滿(mǎn)足部分高精度的要求，對(duì)非線(xiàn)性平差參數(shù)估計(jì)與精度評(píng)定方法的研究成為測(cè)繪領(lǐng)域所研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一[9-11]，也是提升成果質(zhì)量的重要需求。

已有能夠解決非線(xiàn)性模型中未知量最佳估值獲取問(wèn)題的方法主要有線(xiàn)性化法、迭代解法及搜索算法3種[12-13]。線(xiàn)性化法是用線(xiàn)性模型的求解理論與方法近似求解，其弊端在于當(dāng)模型的非線(xiàn)性程度較強(qiáng)時(shí)，將嚴(yán)重影響結(jié)果質(zhì)量。迭代解法包含牛頓迭代法、高斯-牛頓法、信賴(lài)域法、擬牛頓法等，此類(lèi)方法的局限性在于對(duì)迭代初值較為敏感，對(duì)較差的初值可能會(huì)出現(xiàn)迭代不收斂現(xiàn)象[9,13-14]。搜索算法包含粒子群算法、模擬退火法、遺傳算法等，該類(lèi)方法無(wú)法獲取參數(shù)的解析表達(dá)式，通常以犧牲計(jì)算耗時(shí)來(lái)代替求導(dǎo)計(jì)算[15-17]。

已有能夠獲取參數(shù)估值二階精度信息的非線(xiàn)性精度評(píng)定方法主要有近似函數(shù)法和近似非線(xiàn)性函數(shù)的概率密度分布兩種方法。近似函數(shù)法利用泰勒公式對(duì)非線(xiàn)性模型展開(kāi)并截取至二次項(xiàng)，根據(jù)誤差傳播定律獲取參數(shù)估值的方差-協(xié)方差陣。文獻(xiàn)[18]推導(dǎo)了非線(xiàn)性函數(shù)協(xié)方差傳播的一般公式和含有二次項(xiàng)的協(xié)方差傳播公式。文獻(xiàn)[19]將高階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式方法用于GIS誤差傳播中，豐富了近似函數(shù)法在非線(xiàn)性精度評(píng)定的理論研究。文獻(xiàn)[20]將總體最小二乘(total least squares，TLS)視為一般的非線(xiàn)性模型，通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，導(dǎo)出了參數(shù)估值二階精度的協(xié)方差陣計(jì)算公式和改正數(shù)的偏差計(jì)算公式。近似函數(shù)法具有固定的方差陣解析表達(dá)式，但無(wú)法避免求導(dǎo)計(jì)算。當(dāng)遇到未知參數(shù)向量與觀測(cè)值向量之間存在復(fù)雜非線(xiàn)性關(guān)系或觀測(cè)數(shù)據(jù)量較大的多維非線(xiàn)性函數(shù)時(shí)，求導(dǎo)計(jì)算復(fù)雜且獲取困難。

近些年，通過(guò)采樣來(lái)代替求導(dǎo)計(jì)算的近似非線(xiàn)性函數(shù)概率密度分布的精度評(píng)定方法流行起來(lái)，包括蒙特卡羅(Monte Carlo，MC)法[21-23]、Jackknife方法[24]等。蒙特卡羅法通過(guò)重復(fù)模擬隨機(jī)樣本來(lái)近似非線(xiàn)性函數(shù)的概率密度分布，進(jìn)而輸出待統(tǒng)計(jì)量的精度信息。文獻(xiàn)[22]采用蒙特卡羅法計(jì)算近似單位權(quán)方差的偏差，并將偏差改正后的單位權(quán)方差估值用于求解參數(shù)估值的均方誤差。針對(duì)蒙特卡羅法模擬次數(shù)的選擇具有主觀性且無(wú)法對(duì)精度進(jìn)行直接控制的問(wèn)題，文獻(xiàn)[23]將自適應(yīng)蒙特卡羅法用于非線(xiàn)性模型精度評(píng)定，采用對(duì)偶變量的思想，給出了獲取參數(shù)估值偏差的對(duì)偶自適應(yīng)蒙特卡羅法的計(jì)算流程。當(dāng)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展使得蒙特卡羅方法的實(shí)現(xiàn)成為了可能，但該方法的模擬次數(shù)通常需要設(shè)置在105次以上，它往往以增加計(jì)算耗時(shí)來(lái)獲得精度信息，并且隨著采樣次數(shù)的變化其精度統(tǒng)計(jì)信息并不唯一[25-26]。Jackknife采樣方法按順序逐次減小特定數(shù)目的觀測(cè)值來(lái)生成一系列Jackknife樣本，從而獲取方差信息。文獻(xiàn)[24]將Jackknife方法用于TLS精度評(píng)定，給出了獲取參數(shù)估值精度信息的詳細(xì)采樣步驟，進(jìn)一步擴(kuò)展了非線(xiàn)性精度評(píng)定的近似函數(shù)概率分布法理論。但Jackknife方法需要保證足夠的觀測(cè)數(shù)據(jù)才能獲得合理的精度信息，并且隨著d值的增大，其計(jì)算量也會(huì)迅速增加[26]。

Bootstrap方法[27-29]稱(chēng)自助法，是與Jackknife方法緊密相關(guān)的一種統(tǒng)計(jì)推斷方法，均用于估計(jì)或修正統(tǒng)計(jì)估計(jì)值的偏差或方差信息。與Jackknife方法一樣，Bootstrap方法通過(guò)檢查樣本數(shù)據(jù)內(nèi)的變化，而不是通過(guò)參數(shù)假設(shè)來(lái)估計(jì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的變異性，但Jackknife方法并沒(méi)有Bootstrap方法那么普及[30]。文獻(xiàn)[27]首次提出了通過(guò)重復(fù)采樣得到的自助世界的經(jīng)驗(yàn)分布來(lái)逼近總體真實(shí)分布的思想，并給出了其基本采樣策略和相關(guān)理論證明。由于Bootstrap方法通過(guò)重采樣代替求導(dǎo)計(jì)算，只需選擇采樣次數(shù)并結(jié)合有放回抽樣策略獲取自助樣本，最后解算每個(gè)樣本便可求得未知統(tǒng)計(jì)量的均值和協(xié)方差陣，因此歷年來(lái)有較多學(xué)者將該方法用于偏差分析和方差計(jì)算[31-34]。目前，Bootstrap方法的研究主要集中于該方法在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的性質(zhì)，將該方法用于解決大地測(cè)量領(lǐng)域非線(xiàn)性模型精度評(píng)定的問(wèn)題有待研究；考慮到Bootstrap方法的原始采樣策略為等概率采樣，對(duì)于不等概率的采樣方式的適用性還有待驗(yàn)證。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文從獲取更為合理的精度信息出發(fā)，針對(duì)現(xiàn)有非線(xiàn)性精度評(píng)定方法的不足，將Bootstrap方法用于獲取非線(xiàn)性模型參數(shù)估值的精度信息；顧及Bootstrap方法原始的等概率采樣方式，提出加權(quán)采樣策略的改進(jìn)方法，以至獲取更加合理的方差估值；最后通過(guò)算例驗(yàn)證本文非線(xiàn)性模型精度評(píng)定的Bootstrap方法的有效性及本文改進(jìn)方法的正確性和優(yōu)勢(shì)。

1 非線(xiàn)性精度評(píng)定及其二階近似方差-協(xié)方差

將非線(xiàn)性平差函數(shù)模型定義為

(1)

參照文獻(xiàn)[35]的推導(dǎo)思路，可得參數(shù)估值的二階近似方差-協(xié)方差陣為[35]

(2)

其中，J、H可以具體表示為

(3)

(4)

式中，

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中，ei=[0 0 … 1 … 0 0]T∈Rn×1，第i處為1，其余為零。

由式(2)可以看出，在非線(xiàn)性模型精度評(píng)定中，若采用近似函數(shù)法獲取非線(xiàn)性模型參數(shù)估值的二階近似協(xié)方差信息，其泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)過(guò)程需要計(jì)算非線(xiàn)性模型的Jacobian矩陣和Hessian矩陣，且當(dāng)遇到數(shù)據(jù)量較大的多維非線(xiàn)性函數(shù)或非線(xiàn)性程度強(qiáng)的模型時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算十分困難。因此，為避免復(fù)雜的求導(dǎo)計(jì)算并獲取更加合理的精度信息，本文將Bootstrap采樣方法及其加權(quán)采樣的改進(jìn)方法引入非線(xiàn)性模型精度評(píng)定中，試圖有效解決近似函數(shù)法難以對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)求導(dǎo)的問(wèn)題。

2 非線(xiàn)性模型精度評(píng)定的Bootstrap方法

非線(xiàn)性平差模型的參數(shù)估計(jì)與精度評(píng)定問(wèn)題可以理解為，利用從總體中抽取的固定原始觀測(cè)樣本對(duì)非線(xiàn)性模型中的未知統(tǒng)計(jì)量及其精度信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。Bootstrap方法是將原始樣本作為總體，利用有放回隨機(jī)抽樣法從總體分布函數(shù)中得到一系列獨(dú)立樣本(稱(chēng)為自助樣本)，并通過(guò)計(jì)算每個(gè)自助樣本來(lái)獲取未知統(tǒng)計(jì)量抽樣分布的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)[27,30]，最后利用這個(gè)估計(jì)的抽樣分布來(lái)做總體推斷。該方法的優(yōu)勢(shì)性主要表現(xiàn)在它不需要對(duì)未知模型及分布做任何假設(shè)，也無(wú)須推導(dǎo)估計(jì)量的精確表達(dá)式，只需通過(guò)檢驗(yàn)樣本內(nèi)統(tǒng)計(jì)量的變化便能夠估計(jì)未知參數(shù)的整個(gè)抽樣分布。

(10)

顧及非線(xiàn)性?xún)?yōu)化算法解算得到的參數(shù)估值不再是無(wú)偏估計(jì)量，而B(niǎo)ootstrap方法經(jīng)有放回抽樣獲取的大量自助樣本能夠減小參數(shù)估值的偏差，在一定程度上能夠有效改善參數(shù)估值的質(zhì)量[32]。因此，本文將式(10)的結(jié)果作為未知參數(shù)的自助估計(jì)。

(11)

Bootstrap方法的重采樣要點(diǎn)是采樣這個(gè)過(guò)程的隨機(jī)項(xiàng)。因此，根據(jù)重采樣對(duì)象的不同，Bootstrap方法又可分為：重采樣觀測(cè)值的Bootstrap方法和重采樣殘差的Bootstrap方法[30]。Bootstrap方法通過(guò)重采樣隨機(jī)項(xiàng)獲取自助樣本的方式代替復(fù)雜的或難以實(shí)現(xiàn)的求導(dǎo)計(jì)算，可以用于求取非線(xiàn)性平差參數(shù)估值的方差或協(xié)方差陣。因此，本文將這兩種采樣策略引入非線(xiàn)性模型的精度評(píng)定問(wèn)題中，給出了獲取參數(shù)方差的具體步驟。

2.1 重采樣觀測(cè)值的Bootstrap方法

重采樣觀測(cè)值的Bootstrap方法，通過(guò)對(duì)觀測(cè)值的有放回隨機(jī)抽樣將原始觀測(cè)數(shù)據(jù)采樣成多個(gè)自助樣本，原始樣本集中的每個(gè)樣本點(diǎn)被采樣到的概率相同，每個(gè)自助樣本的樣本容量與原始樣本相同。對(duì)于不等精度的觀測(cè)數(shù)據(jù)，需要保證自助樣本中的觀測(cè)值與其權(quán)值相對(duì)應(yīng)，因此在重采樣獲得觀測(cè)值自助樣本的過(guò)程中需要對(duì)觀測(cè)值的權(quán)Pi進(jìn)行重采樣，兩者采樣方式一致，具體表現(xiàn)為以隨機(jī)數(shù)序列元素為自助樣本元素的下標(biāo)，對(duì)觀測(cè)值及其權(quán)值進(jìn)行賦值，進(jìn)而獲取自助樣本及對(duì)應(yīng)權(quán)陣。根據(jù)以上分析，總結(jié)得到重采樣觀測(cè)值的Bootstrap方法用于非線(xiàn)性精度評(píng)定的完整計(jì)算流程：

(1)假設(shè)觀測(cè)值N=(x1,x2,…,xn)為隨機(jī)項(xiàng)樣本X1，其權(quán)陣為P=diag(P1,P2,…,Pn)，將1/n的概率分別設(shè)置在(x1,x2,…,xn)各樣本值上。

(2)產(chǎn)生滿(mǎn)足均勻分布的n個(gè)隨機(jī)數(shù)(i1,i2,…,in)，其中1≤ij≤n,j=1,2,3,…,n。

(5)循環(huán)步驟(2)—步驟(4)M次，得到M組參數(shù)估計(jì)值。

(6)利用式(10)獲取參數(shù)均值，利用式(11)獲取參數(shù)估值的方差。

重采樣觀測(cè)值的Bootstrap方法的采樣過(guò)程將原始觀測(cè)值采樣成了多個(gè)自助樣本，盡管每個(gè)自助樣本的樣本容量與原始樣本相同，但并不是改變觀測(cè)值的先后排列順序，有放回隨機(jī)抽樣過(guò)程使得每個(gè)自助樣本中可能存在重復(fù)的原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，而另外一些樣本點(diǎn)沒(méi)有出現(xiàn)。因此，每個(gè)自助樣本將隨機(jī)地異于原始樣本，導(dǎo)致每個(gè)自助樣本獲得的參數(shù)估值存在細(xì)微差異。

2.2 重采樣殘差的Bootstrap方法

文獻(xiàn)[27]在提出Bootstrap方法的同時(shí)，對(duì)抽取獨(dú)立同分布樣本點(diǎn)的采樣方式進(jìn)行了延伸和拓展，結(jié)合多元回歸分析給出了一種對(duì)殘差進(jìn)行抽樣的采樣策略。具體做法是，首先使用所有樣本點(diǎn)建立模型并獲取殘差，然后對(duì)殘差進(jìn)行采樣并根據(jù)模型的方程重構(gòu)觀測(cè)向量，最后計(jì)算參數(shù)并重復(fù)該步驟。因此，當(dāng)模型的自變量為固定常數(shù)，因變量為自變量和一個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng)的函數(shù)時(shí)，基于模型的誤差結(jié)構(gòu)，可將因變量的殘差設(shè)置為采樣過(guò)程的隨機(jī)項(xiàng)。

重采樣殘差的Bootstrap方法與重采樣觀測(cè)值的Bootstrap方法相比，主要的區(qū)別在于重采樣對(duì)象不同。采用重采樣殘差的Bootstrap方法解決精度評(píng)定問(wèn)題的計(jì)算步驟為：

(7)重復(fù)步驟(4)—步驟(6)M次，共得到M組參數(shù)估值。

(8)通過(guò)式(10)獲取未知參數(shù)的自助估計(jì)值，利用式(11)計(jì)算參數(shù)估值的方差。

重采樣觀測(cè)值與重采樣殘差的樣本數(shù)據(jù)均來(lái)源于原始固定樣本，并未根據(jù)更多的觀測(cè)信息進(jìn)行計(jì)算。因此，這兩種采樣方法均是利用相同的觀測(cè)數(shù)據(jù)最終得到未知參數(shù)估值及方差信息，僅是采樣過(guò)程中的隨機(jī)項(xiàng)不同，其采樣過(guò)程均不會(huì)產(chǎn)生額外的模型誤差，也不會(huì)改變模型態(tài)性；并且循環(huán)有放回隨機(jī)采樣過(guò)程獲得的大量自助樣本能夠減小迭代方法求解非線(xiàn)性參數(shù)估值的偏差，從而提高參數(shù)估值的精確度。

3 改進(jìn)的Bootstrap方法

Bootstrap方法在重采樣隨機(jī)項(xiàng)元素構(gòu)建自助樣本過(guò)程中，每個(gè)元素被采樣到的概率相同且均為1/n。可以看出，Bootstrap方法在采樣時(shí)將樣本數(shù)據(jù)視為等精度觀測(cè)，在構(gòu)建自助樣本過(guò)程中忽略了數(shù)據(jù)的權(quán)值信息，使得精度不等的觀測(cè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)在自助樣本中的概率卻相同，因此可能無(wú)法較好地逼近總體分布函數(shù)，在一定程度上有損理論嚴(yán)密性。

為使得Bootstrap方法能夠更加充分利用總體包含在樣本中的先驗(yàn)信息和數(shù)據(jù)性質(zhì)，使得自助樣本的經(jīng)驗(yàn)分布更加逼近總體分布函數(shù)，若利用觀測(cè)值的分布信息來(lái)構(gòu)建經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，通常需要借助分布假設(shè)，并且所得分布函數(shù)將嚴(yán)重依賴(lài)于所作的假設(shè)。當(dāng)觀測(cè)樣本的分布假設(shè)與實(shí)際觀測(cè)樣本的分布存在較大偏差時(shí)，所得樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)并不能很好地逼近總體分布函數(shù)，導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)果與實(shí)際存在一定的偏差[36]。顧及觀測(cè)值的權(quán)的獲取方式較觀測(cè)值的分布信息獲取方式更為簡(jiǎn)便，并且利用觀測(cè)權(quán)來(lái)構(gòu)建經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)可以有效避免對(duì)觀測(cè)樣本分布的假設(shè)。因此，權(quán)作為比較觀測(cè)值之間精度高低的一種先驗(yàn)信息，可用于調(diào)整隨機(jī)項(xiàng)的抽樣概率，以至獲取更加逼近總體分布函數(shù)的樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。因此，本文將原始觀測(cè)樣本的權(quán)值納入重采樣獲取自助樣本的過(guò)程。在該過(guò)程中，權(quán)值被用于構(gòu)建一個(gè)自助樣本獲取準(zhǔn)則，通過(guò)對(duì)隨機(jī)項(xiàng)元素進(jìn)行采樣可能性的重新分配，使得每個(gè)元素被抽樣到的概率與其對(duì)應(yīng)的觀測(cè)精度相匹配。

首先，對(duì)原始樣本所有元素的權(quán)值進(jìn)行歸一化預(yù)處理，使得歸一化權(quán)值之和為1

(12)

式中，NORMi表示第i個(gè)觀測(cè)元素的歸一化權(quán)值；Pi是原始觀測(cè)樣本中第i個(gè)元素的權(quán)；n為原始樣本的樣本容量。

將NORMi作為隨機(jī)項(xiàng)中各元素xi的采樣概率，其概率值的大小取決于各元素所對(duì)應(yīng)的權(quán)值與所有觀測(cè)權(quán)之和的比值大小。因此，可構(gòu)建Bootstrap采樣過(guò)程中隨機(jī)變量的分布律函數(shù)

proxi=NORM{Y=xi}

(13)

式中，xi為隨機(jī)項(xiàng)X中的樣本值；Y為隨機(jī)項(xiàng)X中的隨機(jī)變量，其可能的取值為xi(i=1,2,…,n)；proxi表示事件{Y=xi}的概率。

(14)

由于Bootstrap法在采樣過(guò)程中隨機(jī)項(xiàng)的選擇不同，Bootstrap法可區(qū)分為重采樣觀測(cè)值的Bootstrap方法和重采樣殘差的Bootstrap方法，將以上加權(quán)采樣策略應(yīng)用到該兩種方法中，分別給出將改進(jìn)方法用于非線(xiàn)性模型精度評(píng)定中的詳細(xì)計(jì)算步驟。

3.1 改進(jìn)的重采樣觀測(cè)值的Bootstrap方法

該方法首先對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的權(quán)值進(jìn)行歸一化處理，計(jì)算每個(gè)樣本元素被采樣到自助樣本的概率值；構(gòu)建采樣過(guò)程中的隨機(jī)變量的分布律函數(shù)；產(chǎn)生滿(mǎn)足該分布律函數(shù)的隨機(jī)數(shù)，通過(guò)賦值獲取自助樣本并計(jì)算參數(shù)；然后將生成自助樣本到獲取參數(shù)的整個(gè)過(guò)程循環(huán)M次；最后對(duì)未知統(tǒng)計(jì)量的均值和方差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。每個(gè)自助樣本的樣本容量與原始樣本相同，但原始樣本中的每個(gè)元素被采樣到的概率受其權(quán)值影響而不同，這取決于該樣本點(diǎn)的權(quán)值大小。根據(jù)以上分析，總結(jié)得到改進(jìn)的重采樣觀測(cè)值的Bootstrap方法的計(jì)算流程：

(1)假設(shè)觀測(cè)值樣本N=(x1,x2,…,xn)為采樣過(guò)程中的隨機(jī)項(xiàng)X1，其權(quán)陣為P=diag(P1,P2,…,Pn)。

(2)利用式(12)對(duì)權(quán)陣進(jìn)行歸一化處理，使得歸一化后的權(quán)值之和為1。

(4)通過(guò)式(13)、式(14)構(gòu)建隨機(jī)變量的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。

(5)產(chǎn)生滿(mǎn)足該分布函數(shù)的n個(gè)隨機(jī)數(shù)(i1,i2,…,in)，其中1≤ij≤n,j=1,2,3,…,n。

(9)重復(fù)步驟(5)—步驟(8)M次，得到M組參數(shù)估計(jì)值。

(11)分別通過(guò)式(10)、式(11)獲取參數(shù)的均值和方差。

重采樣觀測(cè)值的Bootstrap方法及其改進(jìn)方法均是將相同的原始觀測(cè)數(shù)據(jù)重采樣成了多個(gè)自助樣本，且獲取的自助樣本個(gè)數(shù)及每個(gè)自助樣本的樣本容量均相同，但改進(jìn)方法由于采用了加權(quán)采樣的策略，將等概率重采樣轉(zhuǎn)變?yōu)椴坏雀怕什蓸臃绞剑沟脵?quán)值大的原始樣本元素出現(xiàn)在自助樣本中的概率增大，從而使得自助樣本能夠更加貼合原始樣本。

3.2 改進(jìn)的重采樣殘差的Bootstrap方法

與重采樣殘差的Bootstrap方法一致，改進(jìn)的重采樣殘差的Bootstrap方法仍將因變量的殘差作為采樣過(guò)程中的隨機(jī)項(xiàng)，主要區(qū)別在于改進(jìn)方法在采樣前對(duì)權(quán)值進(jìn)行了歸一化預(yù)處理，通過(guò)獲取隨機(jī)項(xiàng)中隨機(jī)變量的分布函數(shù)，使得對(duì)殘差項(xiàng)的等概率采樣轉(zhuǎn)化為加權(quán)采樣。改進(jìn)的重采樣殘差的Bootstrap精度評(píng)定方法的計(jì)算步驟總結(jié)為：

(1)從總體中獲取固定的觀測(cè)向量L及其權(quán)陣P，作為擬合該模型的原始樣本。

(5)對(duì)權(quán)陣P的對(duì)角元素Pi進(jìn)行歸一化處理。

(7)通過(guò)式(13)、式(14)構(gòu)建隨機(jī)變量的經(jīng)驗(yàn)分布律函數(shù)。

(8)產(chǎn)生滿(mǎn)足該分布律的隨機(jī)數(shù)(i1,i2,…,in)，其中1≤ij≤n,j=1,2,3,…,n。

(12)循環(huán)步驟(8)—步驟(11)M次，得到M組參數(shù)估值。

(14)分別通過(guò)式(10)、式(11)獲取未知參數(shù)的自助估計(jì)值及方差。

重采樣殘差方法和改進(jìn)的重采樣殘差方法在自助樣本獲取過(guò)程中，均未對(duì)原始觀測(cè)樣本進(jìn)行采樣，因此均利用了原始樣本中的所有觀測(cè)值，但對(duì)隨機(jī)項(xiàng)的有放回抽樣使得每個(gè)自助樣本包含的元素不同，進(jìn)而使得每個(gè)自助樣本得到的估值存在差異。

根據(jù)以上4種精度評(píng)定流程可以發(fā)現(xiàn)，不管是采樣觀測(cè)值，還是采樣殘差，抑或是改進(jìn)方法，重復(fù)M次的Bootstrap采樣過(guò)程僅由有放回抽樣的隨機(jī)性和滿(mǎn)足的抽樣分布所決定，即第i次的自助樣本獲取過(guò)程并不會(huì)影響第j次的重采樣，這使得自助樣本的獲取過(guò)程是獨(dú)立的。此外，由于自助樣本中的所有元素均來(lái)源于原始樣本，未利用其他的觀測(cè)值進(jìn)行計(jì)算，并且由于受自助法自身有放回抽樣性質(zhì)以及抽樣隨機(jī)性影響，使得自助樣本之間可能包含重復(fù)的隨機(jī)項(xiàng)元素，導(dǎo)致自助樣本存在一定的相關(guān)性。第i組參數(shù)估值僅僅由第i個(gè)自助樣本決定，因此每個(gè)自助樣本的解算過(guò)程是獨(dú)立的；但由于自助樣本i與自助樣本j可能包含相同元素，使得M組參數(shù)估值存在一定的相關(guān)性，使得各自助樣本的參數(shù)估值在自助均值左右浮動(dòng)并且較為接近。但在采用矩法估計(jì)計(jì)算自助方差時(shí)，并不能簡(jiǎn)單忽略M組參數(shù)估值的分布規(guī)律或者將其視為相同，這是因?yàn)樽灾夭蓸拥哪康谋闶且玫揭粋€(gè)較好的抽樣分布估計(jì)來(lái)對(duì)模型中的未知統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。

4 案例研究與分析

經(jīng)試驗(yàn)，Bootstrap采樣方法適用于線(xiàn)性平差模型的參數(shù)估計(jì)與精度評(píng)定問(wèn)題，通過(guò)有放回隨機(jī)抽樣能夠在一定程度上提升參數(shù)質(zhì)量，并且獲取合理的參數(shù)估值精度信息，表明在線(xiàn)性模型精度評(píng)定問(wèn)題中，Bootstrap方法具有可靠性和優(yōu)勢(shì)性。與最小二乘法相比，盡管實(shí)施Bootstrap采樣會(huì)增加精度評(píng)定過(guò)程計(jì)算耗時(shí)，但自助法具有操作簡(jiǎn)單、易于編碼實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，并且其結(jié)果存在一定程度上的質(zhì)量提升，不失為一種較好的精度評(píng)定方法。在非線(xiàn)性模型精度評(píng)定問(wèn)題中，本文第一節(jié)已證明已有的基于泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的近似函數(shù)法，在精度評(píng)定過(guò)程中需要計(jì)算非線(xiàn)性函數(shù)的一階或二階偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)遇到高維且非線(xiàn)性程度較強(qiáng)的模型時(shí)，求導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜難以獲取。而自助法用于解決非線(xiàn)性模型精度評(píng)定問(wèn)題最大的優(yōu)勢(shì)在于，獲取參數(shù)精度信息過(guò)程中能夠避免導(dǎo)數(shù)計(jì)算，該方法是通過(guò)對(duì)原始樣本的重采樣過(guò)程來(lái)代替復(fù)雜的Jacobian矩陣或Hessian矩陣計(jì)算過(guò)程，最后利用抽樣分布估計(jì)對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。因此，為充分體現(xiàn)Bootstrap方法在測(cè)量平差精度評(píng)定問(wèn)題中的優(yōu)勢(shì)性，本文考慮的是非線(xiàn)性模型情形。

為評(píng)估Bootstrap方法和本文改進(jìn)方法在獲取非線(xiàn)性模型參數(shù)估值精度信息方面的性能，以及探討在大地測(cè)量領(lǐng)域中的應(yīng)用，本文共設(shè)計(jì)了4個(gè)算例：兩個(gè)非線(xiàn)性強(qiáng)度不同的非線(xiàn)性回歸模型、邊角網(wǎng)平差模型、火山形變Mogi模型。通過(guò)算例1和算例2來(lái)驗(yàn)證Bootstrap方法在非線(xiàn)性模型精度評(píng)定中的可行性及本文改進(jìn)方法的正確性；通過(guò)算例3和算例4來(lái)展示Bootstrap方法在大地測(cè)量非線(xiàn)性精度評(píng)定中的應(yīng)用價(jià)值，并驗(yàn)證本文改進(jìn)方法在參數(shù)方差獲取方面的優(yōu)勢(shì)。對(duì)比試驗(yàn)中，Monte Carlo方法的模擬次數(shù)取值為105。Bootstrap方法重采樣次數(shù)的選擇取決于統(tǒng)計(jì)量的具體研究問(wèn)題并且依賴(lài)于需要做的檢驗(yàn)[38]。文獻(xiàn)[38—41]指出，當(dāng)重采樣次數(shù)為50～200時(shí)，Bootstrap方法能夠得到較為合理的未知參數(shù)方差或中誤差；當(dāng)采樣次數(shù)超過(guò)200時(shí)，方差近似值的改進(jìn)很小。經(jīng)試驗(yàn)，通過(guò)增加Bootstrap重采樣次數(shù)在一定程度上能夠提升精度評(píng)定結(jié)果質(zhì)量，但隨著采樣次數(shù)的增加，中誤差結(jié)果趨于較為穩(wěn)定的值。這與已有文獻(xiàn)的結(jié)論較為一致。因此，本文依據(jù)已有研究的經(jīng)驗(yàn)取值并顧及非線(xiàn)性平差精度評(píng)定問(wèn)題，在保證較高的計(jì)算精度條件下，同時(shí)考慮較高的精度評(píng)定效率，將Bootstrap方法的采樣次數(shù)設(shè)置為103。案例研究中出現(xiàn)的字符及對(duì)應(yīng)含義列于表1。

表1 字母縮寫(xiě)及對(duì)應(yīng)含義Tab.1 Abbreviations and their corresponding meanings

4.1 Bootstrap方法及本文改進(jìn)方法的可行性及正確性驗(yàn)證分析

針對(duì)非線(xiàn)性回歸模型的非線(xiàn)性強(qiáng)度不同，設(shè)計(jì)兩個(gè)仿真試驗(yàn)，通過(guò)Bootstrap方法及加權(quán)采樣方法在參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用，以及與AF法、JK法、MC法在參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)中的性能評(píng)估對(duì)比，以清楚地揭示本文精度評(píng)定方法的可行性和有效性。

4.1.1 算例1

算例1采用的非線(xiàn)性回歸模型函數(shù)形式如下

(15)

式中，xi為n維自變量向量的元素；yi為對(duì)應(yīng)因變量值；εyi為因變量yi的隨機(jī)誤差；ξ1、ξ2為回歸參數(shù)。

4.1.2 算例2

為進(jìn)一步探討AF法、JK法、MC法、Bootstrap方法及本文加權(quán)采樣方法在更復(fù)雜非線(xiàn)性情況下的方差估計(jì)性能和計(jì)算特性，采用比算例1非線(xiàn)性程度更強(qiáng)的回歸函數(shù)，其函數(shù)形式定義如下

(16)

式中，xi、yi分別為橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y的自變量；zi為n維自變量向量中的元素；εzi為zi的隨機(jī)誤差，ξ1、ξ2、ξ3、ξ4為回歸參數(shù)。

4.1.3 結(jié)果分析

在獲取模擬觀測(cè)數(shù)據(jù)后，分別采用LS法、GN法、BO法、MBO法、BR法及MBR法解算并獲取參數(shù)均值，其結(jié)果及差值二范數(shù)列于表2；再分別采用BO法、MBO法、BR法及MBR法對(duì)隨機(jī)項(xiàng)進(jìn)行采樣，并通過(guò)高斯-牛頓解法解算自助樣本，獲取回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差及協(xié)方差信息，最后與FO法、SO法、JK法及MC法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，各方法的結(jié)果列于表3。

表2 非線(xiàn)性回歸模型參數(shù)估值及其與真值之間的二范數(shù)Tab.2 The estimated parameters and the norm of the nonlinear regression model

表3 非線(xiàn)性回歸模型參數(shù)估值的標(biāo)準(zhǔn)差和協(xié)方差計(jì)算結(jié)果Tab.3 The standard deviations and covariances of parameters estimations of the nonlinear regression model

由表2的參數(shù)估值及范數(shù)結(jié)果可以看出，在非線(xiàn)性強(qiáng)度不同的兩個(gè)仿真設(shè)置中，LS法的結(jié)果均為最差，表明LS法在將非線(xiàn)性模型線(xiàn)性近似的過(guò)程中，引入了較大的模型誤差，從而嚴(yán)重影響估計(jì)值的質(zhì)量。而相比于LS法，GN法得到的參數(shù)估值較優(yōu)，說(shuō)明GN法能夠削弱非線(xiàn)性回歸模型線(xiàn)性近似所帶來(lái)的模型誤差的影響，其循環(huán)迭代過(guò)程可以不斷修正參數(shù)估值，在一定程度上能夠有效改善傳統(tǒng)LS法在對(duì)非線(xiàn)性模型線(xiàn)性化過(guò)程中所引起的精度損失，使其參數(shù)估值比傳統(tǒng)的線(xiàn)性近似方法更接近參數(shù)真值。BO法和BR法得到的參數(shù)估值與真值的范數(shù)均比LS法和GN法的結(jié)果更小，表明BO法和BR法通過(guò)實(shí)施Bootstrap并采用GN法解算自助樣本，在削弱線(xiàn)性化帶來(lái)的影響的基礎(chǔ)上，能夠在一定程度上減小參數(shù)估值的偏差，獲取更為精確的參數(shù)估值。與BO法相比，MBO法得到的參數(shù)估值與真值的范數(shù)更小，表明采用了加權(quán)采樣的重采樣觀測(cè)值方法在參數(shù)的精確度方面得到了較明顯的改善；而相比于BR法，MBR法也能夠提升參數(shù)估值的精確度。這表明MBO法及MBR法在獲取較高精度的參數(shù)估值方面比BO法和BR法更加有效。試驗(yàn)結(jié)果表明，本文的加權(quán)采樣策略在非線(xiàn)性回歸模型的參數(shù)估計(jì)方面是可行且有效的，改進(jìn)方法通過(guò)重采樣獲得的自助樣本能夠充分利用原始樣本的先驗(yàn)信息，從而使得MBO法和MBR法獲得的估值較BO法和BR法更接近參數(shù)真值。

由表3可知，在兩個(gè)不同的仿真設(shè)置下，二階近似函數(shù)法獲取的參數(shù)估值標(biāo)準(zhǔn)差在數(shù)值上略大于一階近似函數(shù)法得到的標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果，且更接近于蒙特卡羅方法獲取的參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。這是因?yàn)槎A近似函數(shù)法顧及了非線(xiàn)性平差模型的二階項(xiàng)，說(shuō)明由一階近似函數(shù)法得到的結(jié)果可能高估了非線(xiàn)性平差模型參數(shù)估值的精度。但由于二階近似函數(shù)法也僅僅包含至二階項(xiàng)，忽略了高階項(xiàng)，因此也說(shuō)明了蒙特卡羅方法獲取的精度信息更加合理。并且試驗(yàn)證明，當(dāng)原始樣本量增大時(shí)，二階近似函數(shù)法所涉及的Hessian矩陣維數(shù)也將增大，也說(shuō)明了無(wú)須求導(dǎo)計(jì)算的Bootstrap方法更加適用較大量的觀測(cè)數(shù)據(jù)。相比于蒙特卡羅方法的結(jié)果，Jackknife法獲得的標(biāo)準(zhǔn)差偏離較大，是因?yàn)镴ackknife法易受原始樣本容量大小的影響且其重采樣過(guò)程獲取的Jackknife樣本較少，與文獻(xiàn)[24]中的結(jié)論一致。這表明Jackknife法往往會(huì)低估非線(xiàn)性模型參數(shù)估值的精度，因此該方法無(wú)法反映非線(xiàn)性模型參數(shù)估值的真實(shí)精度。

利用基于Bootstrap的方法對(duì)該非線(xiàn)性函數(shù)進(jìn)行精度評(píng)定所獲得的標(biāo)準(zhǔn)差與近似函數(shù)法的結(jié)果在符號(hào)和量級(jí)上相同、在數(shù)值上相近，表明該4種方法均能夠?qū)Ψ蔷€(xiàn)性平差模型進(jìn)行有效的精度評(píng)定。從計(jì)算結(jié)果上看，BO法和BR法獲取的參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小于Jackknife法的結(jié)果且更接近于蒙特卡羅方法的計(jì)算精度，表明BO法和BR法較Jackknife法更加精確。相比于BO法，MBO法獲取的參數(shù)估值標(biāo)準(zhǔn)差在數(shù)值上更小，且與蒙特卡羅方法的結(jié)果更為接近；MBR法計(jì)算得到的參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差比BR法的結(jié)果更小并且同樣更靠近于蒙特卡羅方法獲取的標(biāo)準(zhǔn)差，說(shuō)明MBO法和MBR法能夠獲取更為合理的參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。結(jié)合表2中的參數(shù)估值結(jié)果，說(shuō)明本文加權(quán)采樣的獲取自助樣本方式不僅適用于重采樣觀測(cè)值，也適用于重采樣殘差情形。試驗(yàn)結(jié)果表明，將Bootstrap方法用于解決非線(xiàn)性參數(shù)估計(jì)與精度評(píng)定問(wèn)題是可行且有效的，本文加權(quán)采樣方法獲取的更為精確的參數(shù)估值和精度信息，也證明了本文改進(jìn)方法更具可靠性和優(yōu)勢(shì)。

4.2 算例3：Bootstrap方法及本文改進(jìn)方法在邊角網(wǎng)平差模型中的應(yīng)用

將文獻(xiàn)[42]中的例3-2-1進(jìn)行改化，獨(dú)立不等精度觀測(cè)如圖1所示，邊角網(wǎng)有12個(gè)角度和6條邊長(zhǎng)，其中A、B、C為已知點(diǎn)，P、D為待定點(diǎn)。起算數(shù)據(jù)和觀測(cè)值分別列于表4和表5。

圖1 邊角網(wǎng)Fig.1 The sketch of triangulateration network

表4 起算數(shù)據(jù)Tab.4 The data of known control points m

在獲取角度和邊長(zhǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)后，首先采用余切公式計(jì)算得到待定點(diǎn)坐標(biāo)估值作為迭代初值，再分別采用BO法、MBO法、BR法及MBR法對(duì)隨機(jī)項(xiàng)采樣并通過(guò)高斯-牛頓迭代獲取未知點(diǎn)坐標(biāo)，其參數(shù)結(jié)果及差值二范數(shù)列于表6。通過(guò)算例1和算例2的結(jié)果可知，Jackknife法的結(jié)果不足以反映參數(shù)估值的真實(shí)精度；而一階近似方法的結(jié)果可能會(huì)高估參數(shù)估值的精度；并且根據(jù)邊長(zhǎng)觀測(cè)方程及測(cè)角觀測(cè)方程可以看出，邊角網(wǎng)平差模型中的未知點(diǎn)坐標(biāo)與觀測(cè)值向量之間存在復(fù)雜的非線(xiàn)性關(guān)系，若采用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)并截取至二次項(xiàng)的方法獲取未知參數(shù)的方差信息，需要進(jìn)行多次計(jì)算偏導(dǎo)，其求導(dǎo)過(guò)程十分復(fù)雜且較難獲得。針對(duì)以上問(wèn)題，因此算例3不再使用一階近似函數(shù)法、二階近似函數(shù)法及Jackknife方法求解參數(shù)估值的精度信息，僅通過(guò)基于Bootstrap的4種方法與MC法進(jìn)行對(duì)比，來(lái)驗(yàn)證本文方法的正確性和優(yōu)勢(shì)。待定點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差及協(xié)方差結(jié)果列于表7。

表5 角度和邊長(zhǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)及其權(quán)值Tab.5 The data of angular and traverse measurement and corresponding weights

表6 邊角網(wǎng)平差模型坐標(biāo)估值及其與真值之間的二范數(shù)Tab.6 The estimated coordinate parameters and the norm of the triangulateration network model

對(duì)比表6中BO法、MBO法、BR法及MBR法的結(jié)果可以看出，4種方法所得坐標(biāo)估值均與坐標(biāo)真值較為接近，再次驗(yàn)證了Bootstrap方法及本文改進(jìn)方法的正確性。同時(shí)，通過(guò)對(duì)比估值與真值的范數(shù)可知，MBO法所得估值較BO法的結(jié)果更接近于真值；與BR法的結(jié)果相比，MBR法所得結(jié)果的范數(shù)有較為明顯的改善。這表明MBO法及MBR法在獲取更高精度的邊角網(wǎng)坐標(biāo)估值方面比BO法和BR法更加有效。本算例的參數(shù)估值結(jié)果證明了Bootstrap方法在邊角網(wǎng)平差模型中依然適用，也再次證明了本文改進(jìn)方法的有效性及加權(quán)采樣的必要性。

由表7可知，在邊角網(wǎng)平差模型中，BO法、BR法、MBO法及MBR法計(jì)算得到的待定點(diǎn)坐標(biāo)估值標(biāo)準(zhǔn)差在符號(hào)和量級(jí)上均與MC法的結(jié)果保持一致，同樣驗(yàn)證了該4種方法在非線(xiàn)性平差精度評(píng)定問(wèn)題中的正確性和有效性。由于邊角觀測(cè)方程的復(fù)雜非線(xiàn)性關(guān)系，使得二階近似函數(shù)法獲取參數(shù)中誤差較為困難，從側(cè)面體現(xiàn)了通過(guò)執(zhí)行Bootstrap采樣來(lái)避免復(fù)雜求導(dǎo)運(yùn)算仍能獲取合理精度信息的優(yōu)勢(shì)，也說(shuō)明了在面對(duì)高維復(fù)雜非線(xiàn)性模型的精度評(píng)定問(wèn)題時(shí)，基于Bootstrap的方法具有更強(qiáng)的適用性。相比于BO法及BR法計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果，MBO法和MBR法的結(jié)果在數(shù)值上更小，這表明通過(guò)充分利用觀測(cè)值先驗(yàn)信息的加權(quán)采樣方法能夠在一定程度上提升參數(shù)精度的可靠性，也說(shuō)明為更加合理反映參數(shù)估值的精度信息，采用加權(quán)采樣的抽樣方式更加有效。

表7 邊角網(wǎng)平差模型待定點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差和協(xié)方差計(jì)算結(jié)果Tab.7 The standard deviations and covariances of the estimated coordinate parameters in the triangu-lateration network model

4.3 算例4：Bootstrap方法以及本文改進(jìn)方法在火山形變Mogi模型反演中的應(yīng)用

為進(jìn)一步驗(yàn)證Bootstrap方法及本文改進(jìn)方法在大地測(cè)量非線(xiàn)性精度評(píng)定中的廣泛適用性和應(yīng)用價(jià)值，算例4采用文獻(xiàn)[43]首次提出的Mogi模型。該模型是一種研究由火山爆炸源所引起的地表形變位移及重力變化的地球物理模型，它能夠有效地用于模擬和解釋大量的火山區(qū)地表形變。應(yīng)用火山區(qū)的地表形變觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)反演巖漿壓力源參數(shù)，對(duì)火山的危險(xiǎn)性評(píng)價(jià)有著重大的實(shí)際意義。地表位移又可分為垂直位移和水平位移，本文采用垂直位移單一反演的Mogi模型。

假設(shè)地面直角坐標(biāo)系為(x,y,z)，巖漿壓力源的中心坐標(biāo)表示為(x0,y0,D)，因此巖漿房膨脹所引起的地表垂直位移與等效壓力源參數(shù)之間的表達(dá)式可以表示為[44]

(17)

式中，Δh表示地表垂直位移；K表示為體積彈性模量；μ表示剪切模量；D表示為源的中心深度；r表示地表徑向距離且當(dāng)r=0時(shí)垂直位移取到最大值；ΔV為巖漿房體增量。

當(dāng)?shù)貧椴此山橘|(zhì)時(shí)，取泊松比v=0.25且顧及巖漿房體積的膨脹為半徑為R的等效球體，因此體積彈性模量K與剪切模量μ存在以下關(guān)系式

(18)

將式(18)代入式(17)，地表垂直位移可以化簡(jiǎn)為

(19)

假設(shè)地表存在n個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，則第i個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)到巖漿壓力源的地表徑向距離為

r2=(xi-x0)2+(yi-y0)2

(20)

式中，(x0,y0)為巖漿壓力源的中心在平面上的投影坐標(biāo)。

將式(20)代入式(19)，地表垂直位移可表示為一個(gè)多維非線(xiàn)性函數(shù)

Δhi+ei=fi(ξ)=

(21)

式中，i=1,2,…,n；ei為第i個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的垂直位移Δhi的隨機(jī)誤差；f(·)表示未知參數(shù)向量ξ與觀測(cè)值之間的非線(xiàn)性映射關(guān)系；ξ=[ΔVDx0y0]T為待求的未知參數(shù)。

利用泰勒級(jí)數(shù)對(duì)式(21)在參數(shù)初值ξ0處展開(kāi)并舍去二次及以上項(xiàng)，得到垂直位移反演壓力源參數(shù)的平差模型

(22)

通過(guò)仿真獲取某一火山區(qū)域的垂直位移觀測(cè)資料：觀測(cè)點(diǎn)的取值范圍為[x,y]∈[-5,5] km×[-5,5] km，相鄰垂直形變監(jiān)測(cè)點(diǎn)的間隔為0.5 km，每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的權(quán)值在[0,25]之間隨機(jī)取值。壓力源參數(shù)真值設(shè)置為：體積增量ΔV=6000×103m3、源的中心深度D=4 km、膨脹源的中心坐標(biāo)x0=0 km、y0=0 km；將地面監(jiān)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)及壓力源參數(shù)真值代入Mogi模型，正演得到地表垂直位移；最后對(duì)垂直位移模擬位移值施加均值為0、單位權(quán)方差為2 mm的隨機(jī)誤差，得到的垂直位移如圖2所示。

圖2 由火山Mogi模型正演得到的地表垂直形變Fig.2 The vertical displacement of forward the volcano Mogi model

由于垂直位移反演壓力源參數(shù)的平差模型是由泰勒級(jí)數(shù)對(duì)式(17)進(jìn)行線(xiàn)性化處理后獲得，針對(duì)反演過(guò)程中可能出現(xiàn)的病態(tài)奇異情形[45]，算例4采用嶺估計(jì)法進(jìn)行參數(shù)求解，分別采用BO法、MBO法、BR法和MBR法進(jìn)行垂直位移單一反演，具體表現(xiàn)為在獲取自助樣本后，通過(guò)嶺估計(jì)方法來(lái)解決法矩陣求逆不穩(wěn)定的問(wèn)題并獲取巖漿壓力源參數(shù)[46-47]。4種方法反演得到的參數(shù)估值結(jié)果及差值二范數(shù)列于表8。

表8 火山Mogi模型壓力源參數(shù)反演結(jié)果及其與真值之間的二范數(shù)Tab.8 Inversion results of pressure source parameters and the norm of the volcano Mogi model

由表8中的參數(shù)估值可以看出，本文提出的4種方法獲取的估值與真值的差異主要表現(xiàn)在巖漿房體積增量和巖漿壓力源的中心深度。MBO法所得結(jié)果優(yōu)于BO法，其參數(shù)估值與真值之間的范數(shù)減小了40.7%；與BR法相比，MBR法的范數(shù)減小了58.5%。結(jié)果表明，本文方法均能得到合理的參數(shù)估值，而采用了加權(quán)采樣的MBO法和MBR法在提升估值質(zhì)量方面更具優(yōu)勢(shì)。試驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明，將Bootstrap方法用于法矩陣病態(tài)性嚴(yán)重的火山形變Mogi模型參數(shù)反演是可行且有效的，也說(shuō)明了本文的加權(quán)采樣策略同樣適用于大地測(cè)量領(lǐng)域病態(tài)模型的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。

由式(17)—式(22)可以看出，火山Mogi模型中的未知參數(shù)向量ξ與地表垂直位移觀測(cè)值向量Δh之間存在復(fù)雜的高維非線(xiàn)性關(guān)系，若采用對(duì)非線(xiàn)性模型泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的近似函數(shù)方法獲取未知參數(shù)的方差信息，需要進(jìn)行多次計(jì)算偏導(dǎo)，使得精度評(píng)定過(guò)程十分復(fù)雜。因此，算例4僅采用本文提出的4種方法及MC法進(jìn)行精度評(píng)定，各方法獲取的壓力源參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果列于表9。

由表9可知，BO法、BR法、MBO法及MBR法計(jì)算得到的參數(shù)估值標(biāo)準(zhǔn)差與MC法的結(jié)果在符號(hào)和量級(jí)上均保持一致，說(shuō)明了本文Bootstrap方法精度評(píng)定的可行性和有效性。從估值的近似標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果來(lái)看，相比于BO法所獲得的參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差，MBO法計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)差比BO法的計(jì)算結(jié)果在數(shù)值上更小，且比BO法的結(jié)果更加接近于MC法所獲得的精度，說(shuō)明MBO法能夠獲取比BO法更為合理的精度信息；與BR法的計(jì)算結(jié)果相比，MBR法的標(biāo)準(zhǔn)差有較為明顯的減小且更為靠近MC法的計(jì)算精度，結(jié)果同樣說(shuō)明了MBR法計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)差比BR法更為精確。試驗(yàn)結(jié)果表明，將Bootstrap方法用于獲取病態(tài)非線(xiàn)性平差模型的參數(shù)估值及精度信息依然是可靠且有效的，本文改進(jìn)方法在集結(jié)Bootstrap方法的所有優(yōu)點(diǎn)外，通過(guò)加權(quán)采樣的抽樣方式還能夠更加充分地利用權(quán)值信息，從而能夠獲得更加精確的估值與精度信息值。

表9 火山Mogi模型壓力源參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差和協(xié)方差計(jì)算結(jié)果Tab.9 The standard deviations and covariances of the pressure source parameters of the volcano Mogi model

5 結(jié) 論

為獲得統(tǒng)計(jì)意義上更為合理的精度信息，若采用泰勒展開(kāi)的近似函數(shù)法，則無(wú)法避免地需要計(jì)算非線(xiàn)性函數(shù)的Jacobian矩陣和Hessian矩陣；若采用蒙特卡羅方法，則通常需要105以上次的模擬計(jì)算。因此，提出無(wú)需求導(dǎo)計(jì)算且計(jì)算效率相對(duì)較高的非線(xiàn)性精度評(píng)定方法顯得尤為重要。本文在闡述非線(xiàn)性模型精度評(píng)定原理及Bootstrap方法重采樣原理的基礎(chǔ)上，給出了非線(xiàn)性模型精度評(píng)定重采樣觀測(cè)值Bootstrap方法及重采樣殘差的Bootstrap方法，并分別給出了具體的采樣步驟，試圖通過(guò)這兩種方法在避免求導(dǎo)計(jì)算的情形下依然能獲取合理的精度評(píng)定結(jié)果。針對(duì)Bootstrap方法的重采樣過(guò)程是對(duì)模型隨機(jī)項(xiàng)的等概率采樣，本文通過(guò)對(duì)原始樣本的權(quán)重信息進(jìn)行歸一化處理并獲取隨機(jī)變量的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，將傳統(tǒng)自助法的等概率采樣轉(zhuǎn)化為加權(quán)采樣，嘗試能夠更加充分利用總體包含在原始樣本中的先驗(yàn)信息和數(shù)據(jù)性質(zhì)，以至于自助樣本的經(jīng)驗(yàn)分布更加逼近總體分布，進(jìn)而獲取更為精確的參數(shù)方差估值。

對(duì)本文案例研究中的各方法進(jìn)行對(duì)比分析可知，非線(xiàn)性模型精度評(píng)定的Bootstrap方法能夠獲取比近似函數(shù)法、Jackknife方法更為合理的參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差，這說(shuō)明將Bootstrap方法用于解決非線(xiàn)性模型的精度評(píng)定問(wèn)題是可行且有效的；同時(shí)，采用了本文給出的改進(jìn)算法能夠得到比直接實(shí)施Bootstrap更加精確的精度信息，說(shuō)明了本文加權(quán)采樣方法的可靠性與優(yōu)勢(shì)性。因此，建議在獲取非線(xiàn)性模型參數(shù)估值的方差-協(xié)方差時(shí)，采用本文的加權(quán)采樣方法。

本文方法適用于觀測(cè)值相互獨(dú)立的情況，Bootstrap方法在相關(guān)觀測(cè)數(shù)據(jù)的非線(xiàn)性精度評(píng)定問(wèn)題，以及該方法的進(jìn)一步應(yīng)用是接下來(lái)需要研究的內(nèi)容。隨著B(niǎo)ootstrap方法引入非線(xiàn)性模型精度評(píng)定中，拓展該方法在大地測(cè)量領(lǐng)域中的應(yīng)用，也將是非線(xiàn)性平差理論研究的一個(gè)重要補(bǔ)充。