水下定位聲線擾動分析與分段指數權函數設計

王薪普，薛樹強，曲國慶，劉以旭，楊文龍

1.山東理工大學，山東 淄博 255049；2.中國測繪科學研究院，北京 100830；3.山東科技大學，山東 青島 266590

水下高精度時空服務是海洋開發活動的重要支撐[1]。我國陸地大地基準網建設相對完善,并且長期復測維持,具備厘米級精度[2-4]。隨著我國北斗系統的建成，構建從深空到深海全域無縫的綜合PNT體系將成為未來大地測量與導航的重要技術方向[5-6]。文獻[7—8]較全面地描述海底大地基準網建設的主要技術問題和海洋導航技術的研究現狀，水下高精度聲吶定位模型和算法是海底空間基準構建及其聲吶導航定位應用的重要基礎。

由于衛星定位采用的無線電磁波在海水中衰減嚴重，而聲波在水中具有良好的傳播性，因此水下高精度導航定位多采用聲學定位系統[9-10]。然而，海洋環境復雜，水中介質不均勻，聲速會隨溫度、深度、鹽度的變化而變化，聲波在海水中傳播時存在聲線彎曲和延遲誤差，是制約水下高精度定位的瓶頸問題[11-12]。一方面，水下定位通常需要通過聲速剖面觀測獲取定位所需的聲速信息。然而，而聲速剖面存在測量誤差以及時空代表性誤差等[13-15]，進而影響水下高精度定位。另一方面，由于入射角越大聲線彎曲越明顯，從而影響測距精度進而影響定位精度[16-20]。

為解決聲線彎曲誤差對高精度定位的影響，文獻[21—24]對聲線彎曲誤差問題提出了不同的解決方法。在衛星定位方面，多位學者對隨機模型進行了大量研究，提出高度角隨機模型、信噪比隨機模型、最小范數二次無偏估計模型及其簡化形式、實時鐘差融合權函數設計等隨機模型[25-27]。文獻[28]給出彈性定位導航授時(positioning,navigation and timing，PNT)的基本定義，提出需要研究海洋環境自適應彈性定位模型。構建合理的隨機模型是水下高精度定位的關鍵技術之一，然而，目前多采用觀測量等權模型，已有高度角相關模型也多仿照GNSS提出。為提高水下定位精度，文獻[27]在分析隨機模型不完善基礎上，提出4種基于入射角的水下定位隨機模型，改善等權隨機模型的定位精度，其影響機理和模型的合理性還有待深入研究。

本文考慮海洋聲速場變化對聲線的擾動，基于常梯度聲線跟蹤模型推導入射角、梯度以及深度擾動對聲線傳播水平位移的影響函數關系，通過試驗分析入射角出現擾動時對水平位移的影響，依此建立入射角相關的水下定位隨機模型，采用淺水湖水下實測數據進行試驗分析驗證，與已有的權函數模型進行對比分析。

1 入射角、梯度及深度擾動對聲線傳播的影響

受海水溫度、壓力、鹽度等因素影響，聲速在垂向方向存在明顯的分層變化現象，導致聲線傳播發生折射彎曲，影響定位精度。通常，在同一分層中，假設聲速梯度是一個常數，其聲線折射如圖1所示。

圖1 聲線折射Fig.1 Illustration on the sound ray refraction

依據常梯度聲線跟蹤模型，聲線掠過某一水層時的水平位移y可表示為[13]

y=R(cosβ-cosα)

(1)

式中,α為入射角；β為層內的出射角度；R=-C0/(gsinα)，為聲線傳播的曲率半徑；C0表示入射聲速。α與β滿足Snell方程，即

sinβ=sinα(C0+gh)/C0

(2)

式中，g=ΔC/h為聲速梯度。顯然，若將β、R視為過程變量，可將水平位移表示為α、g、h的函數，即

y=f(α,g,h)=

(3)

在聲線跟蹤定位算法中，入射角是需要迭代計算的量，即可表示為聲速剖面觀測值的函數，因此也是一個隨機量。由式(3)可知聲線傳播的水平位移由入射角α、梯度g和深度h共同決定。為研究上述變量對水平位移的影響，對式(3)中的α、g、h求偏導

(4)

(5)

(6)

經過化簡可得式(3)全微分為

dy=(Rsinα-(Rtanβsinβ+y)cotα)dα+

(7)

類似于聲速剖面簡化思想，為了節省計算效率，建議將聲速剖面簡化為3～4個分層，其中每一層的聲速梯度利用最小二乘方法進行線性擬合，可得如下常梯度聲速剖面模型

Ci=Ci,0+gih

(8)

式中，Ci,0為在第i個分層內的初始聲速；gi為層內的梯度(采用層內聲速剖面數據的最小二乘估計)；h∈[0,li]為層內深度變量；li為第i層的厚度。此時，水平位移總擾動則可由多層擾動累加得到，即

dy=dy1+dy2+…

(9)

需要指出，上述分層簡化策略只是為了計算方便。

為了直觀給出水平位移與入射角的響應關系，采用60 m實測聲速剖面進行試驗。聲速剖面和擬合剖面如圖2所示，聲速剖面大致可以分為兩部分，以分段方式進行聲速剖面擬合，計算入射角擾動對水平位移的影響。測試深度分別為30 m和60 m，入射角范圍為20°～80°，分別加入中誤差為0.005 rad～0.02 rad(0.286 5°～1.145 9°)的隨機誤差，模擬次數為1000次，統計1000次的水平位移擾動信息，計算水平位移擾動的樣本方差，結果如圖3所示。

圖2 分段線性擬合聲速剖面Fig.2 Piecewise linear fitting sound velocity profile

圖3 不同深度時入射角擾動對水平位移擾動的方差Fig.3 Variance of incidence angle disturbance to horizontal displacement disturbance at different depths

給梯度加入-0.05～-0.15誤差，計算梯度擾動對水平位移的擾動，結果如圖4所示。

圖4 不同深度下聲速梯度擾動對水平位移擾動Fig.4 The horizontal displacement is disturbed by gradient disturbance at different depths

從圖4可以得出以下結論：

(1)在入射角較小時，聲速場梯度變化對水平位移的擾動較小。

(2)在相同水深和入射角下，水平位移的擾動隨著梯度變化增大而增大。

(3)在相同深度和梯度下，水平位移擾動總是隨著入射角的增大而增大。

在實際測量中，聲速場存在或多或少的測量誤差，并且聲速場是隨時間變化的，在聲線跟蹤計算時只能利用某一時刻的聲速場觀測信息代表聲吶觀測時刻的聲速場信息，因此總是存在聲速梯度誤差及其時變影響。據此，可基于上述響應關系構建水下定位隨機模型。

2 顧及入射角的權函數設計

假設Ti(i=1,2,…,n)時刻由GNSS和姿態測量給出船載聲吶換能器的位置Xi=(xi,yi,zi)，海底應答器待定坐標為X=(x,y,z)，聲吶信號傳播時間為ti,海底應答器定位觀測模型為

Li=cti=f(Xi,X)+Δi+εi(i=1,2,…,n)

(10)

(11)

隨機模型的不完善通常歸結于定權不準確[27]，觀測權函數設計是構建隨機模型的關鍵。對于相同的聲速場誤差和深度，大入射角對聲線的水平位移影響越大，進而影響水下定位精度。因此，構建以下入射角相關觀測權函數

(12)

觀測方差大致可分為兩部分，即入射角相關部分和入射角不相關部分，后者主要來源于聲吶儀器測量誤差。當入射角大時，則入射角相關誤差占主要成分，由圖3可知，此時儀器測量誤差可以忽略。從圖3中可以看出，無論30 m深度還是60 m深度時，當入射角大于50°時，入射角擾動對水平位移的影響開始有上升趨勢，在深度60 m，入射角80°時，即使入射角加入0.005 rad的隨機誤差，水平位移的擾動方差達到了84.206 3 m2?？梢姡斎肷浣禽^大時，入射角發生微小變化對水平的影響是指數增長的，即方差隨入射角的變化呈指數形式變化。為此，本文使用指數函數模型擬合觀測方差

(13)

式中，a、b為待估計量，可根據圖3相關數據進行擬合得到。以60 m水深0.005 rad誤差為例，擬合結果如圖5所示。

圖5 方差擬合Fig.5 Variance fitting

入射角擾動或聲速場擾動變化的具體量級未知或很難精確獲取。試驗表明，加入不同量級的擾動誤差，對聲線的擾動絕對量級影響很大，但對式(12)建立的權函數的擾動卻很小，其原因在于觀測權是觀測值間精度的相對量。如圖6所示，給出不同量級的入射角隨機擾動誤差，擬合入射角相關方差函數式(13)，并采用式(12)構建觀測權函數，最終得到的權函數設計幾乎完全相同。說明本文所建立的權函數具有很好的適應性，而入射角的擾動量級設置較為靈活。試驗表明，依據聲速梯度擾動對聲線傳播擾動影響進行權函數設計時，與依據入射角擾動得到的權幾乎完全相同。

從上述權函數曲線可以發現，分段指數權函數曲線和IGG3抗差方案具有類似的權函數圖形，因此其在抑制大觀測誤差方面的功效可較好體現[31-32]。

圖7顯示在入射角0°～89°時的不同權函數的對比情況,直觀體現出分段指數權函數模型和已有的入射角指數函數模型、分段余弦函數模型。

從圖7可以看出，指數模型在抑制大入射角時效果不夠明顯，分段余弦函數模型在分段節點處出現權值不連續現象。

3 實測數據分析

為驗證本文的權函數模型的有效性，采用淺水湖實測數據進行驗證分析。以圓標校聲線跟蹤定位結果為未知點真值，測量船軌跡和定位點位置如圖8(a)所示，圓標校引起對稱性可很好地消除聲線系統誤差影響，可獲取高精度平面定位[33]。

采用如圖8(b)所示的導航軌跡數據比較分段指數權函數模型與等權模型、指數函數模型、分段余弦函數模型的定位效果，其C2、C6、C8各個控制點對應的入射角如圖9所示。

為分析本算例入射角相關誤差的大小及其與本文權函數設計的關系，采用圓測線標校水下控制點結果作為參考值，計算觀測距離誤差，入射角和觀測誤差絕對值的對應關系，如圖10所示(以C2為例)。結果表明，大入射角觀測的誤差相對更大，說明當入射角大時，對測距的影響較大，從而影響定位精度，所以對大入射角觀測值進行降權處理是有必要的。

基于前文試驗結果，使用入射角閾值為50°，以聲線跟蹤算法計算3個定位點C2、C6、C8的圓標校結果，比較等權模型、入射角指數模型、分段余弦模型、分段指數權函數模型與圓標校定位結果差異，結果見表1。

從表1可以看出，分段指數權函數模型和分段余弦權函數模型的定位結果更接近圓標校定位結果，兩者定位結果沒有顯著差異。以C2為例，相較于圓標校結果，分段指數權函數模型比分段余弦權函數模型在X方向提高了0.019 m，Y方向降低0.013 m，Z方向提高了0.005 m；分段指數權函數模型的定位結果相較于等權模型的定位結果在X方向提升了4.134 m，Y方向提升了0.237 m，Z方向提升了3.098 m；指數模型和等權模型結果相近。C6分段指數權函數模型的定位結果相較于等權模型的定位結果在X方向上提升8.002 m；在Z方向上提升了5.965 m。而C8的定位精度改善不論是分段指數權函數模型還是分段余弦函數模型都主要在X方向。

表1 不同方法定位結果對比Tab.1 Comparison of positioning results by different methods

為了更加詳細地對比本文分段指數權函數模型、指數模型和分段余弦權函數模型，表2從協因數陣對角線之和、單位權中誤差和點位誤差3個方面進行對比。

表2 3種模型對比Tab.2 Comparison of three models

圖6 加入不同誤差時入射角與權值關系Fig.6 Relation ship of incident angle and weight

圖7 不同權函數模型對比Fig.7 Comparison of different weight function models

圖8 C2、C6、C8測量船航行軌跡及應答器平面位置Fig.8 C2,C6,C8 tracking ship and transponder plane location

圖9 C2、C6、C8控制點對應的入射角Fig.9 C2,C6,C8 incident angle corresponding to the control point

圖10 入射角與觀測誤差(取絕對值)的關系 Fig.10 Relation ship between incident angle and observation error (take the absolute value)

結合圖7和表2可以看出權值P越小單位權中誤差越小，但是單位權中誤差應表征實際的測量精度。本文提出的分段指數權函數模型更接近聲吶距離測量標稱精度，即約為0.15 m。此外，協因數陣的對角元素之和代表觀測信息的利用率和觀測幾何精度。在單位權方差相同時，觀測幾何精度越小越好。指數模型的幾何精度最高，本文提出的模型幾何精度次之，但是指數函數模型權分配不合理，對大入射角的抑制作用不明顯。

4 結 論

類似于GNSS定位觀測，水下聲吶定位觀測中存在明顯的高度角相關誤差，且高度角越小誤差越大。研究表明，入射角相關誤差的產生主要來源于大入射角觀測對相同聲速場擾動、聲速測量誤差具有放大效應，入射角越大，這種放大效應越明顯。在實測數據分析中，也發現了這種入射角相關誤差，且其變化趨勢與理論結果具有較好的一致性，均隨入射角變大呈現指數增長趨勢?；谏鲜鲈恚疚臉嫿ǖ乃侣晠榷ㄎ浑S機模型，可有效抑制大入射角觀測條件下大誤差的影響，從而提高定位的精度和可靠性。

聲速變化及其觀測的不確定以及入射角擾動大小很難精確給出。本文研究發現，由于觀測權反映觀測間的相對精度，上述各類不確定性的絕對量級對觀測權值分配的影響很小，因此在實際應用中可靈活設置。試驗表明，本文提出的分段指數權函數模型相對現有模型具有較為明顯的優勢，其觀測不確定性意義明確，既可控制大入射角觀測影響，也可保留足夠的幾何觀測信息。

需要指出的是，本文將入射角相關誤差歸結到隨機模型中，即設計了入射角相關的分段指數權函數模型。同時，該誤差也可歸入函數模型加以參數化估計，有望改善定位精度。實踐中，也可直接采用高度角變量(即觀測點與定位點之間連線與水平方向的夾角)構造權函數的方法改善定位精度。本文的分段指數權函數模型目前只采用淺水湖水深60 m實測數據進行試驗驗證，在深海定位方面還有待繼續研究。