利用數形結合解函數問題的一般方法

周利平

摘要：函數是中學生在數學學習與研究中最常見的一類問題，因此函數問題也是中學生所必須克服的難關。函數問題的題型種類多，而且靈活度高。

關鍵詞：數形結合，函數，最值，零點。

數形結合的思想方法是充分運用數的嚴謹和形的直觀，將抽象的數學語言與直觀的圖形語言結合起來，是抽象思維和形象思維相結合，通過圖形的描述、代數的論證，來研究和解決數學問題的一種數學思想方法，數形結合思想的應用，包括以下兩個方面：

1、以形助數

即借助形的直觀性來闡明數之間的聯系。以形助數常用的有：借助數軸，借助函數圖象，借助單位圓，借助數式的結構特征，借助解析幾何方法。

2、以數助形

即借助數的精確性來闡明形的某些屬性。以數助形常用的有：借助幾何軌跡所遵循的數量關系，借助運算結果與幾何定理的結合。

函數是中學生在數學學習與研究中最常見的一類問題，題型種類多，而且靈活度高，所以懂得如何利用數形結合的思想解決函數問題就成為中學生所必備的能力。下面從以下幾個方面來闡述數形結合解函數問題的一般方法。

一、利用函數模型求參量取值范圍

函數參量方程在函數問題中最為常見，也是比較難的，利用數形結合的方式將參量表示出來，就可很清晰的確定參量的取值范圍，方便了計算，也明確了做題的思路。

二、利用函數模型求最值問題

對于求函數的最值問題，利用數形結合的方法便可以很直觀地表示出函數的最值。

例2：求解函數的最大值和最小值。

解析：先把函數解析式變形，這就可以當作是定點M（-6，-4）與單位圓上的N（cosx，sinx）連線的斜率。因此，最值就是直線AN與單位圓相切時的斜率。

將與圓：X²+Y²=1相切斜率為l切線方程設為y=lx±由于切線過定點M（-6，-4），則-4=-6l±，，.

三、利用數形結合思想求解函數零點問題

求解函數的零點的個數是高中學習中常見的題型，而運用數形結合的思想方法來解答這個問題是最為直觀的方法。

例3：求f（x）=lgx-sinx，在[0，10]上的零點個數。

解析：對于這道例題來說，畫出函數圖象，看它和x軸的交點是比較困難的。但是要是畫函數f（x）=lgx與f（x）=sinx的圖象則是比較容易的，于是我們想到分別畫出兩條函數的圖象，這樣觀察兩條函數圖像的交點就可以求解這個問題。

通過觀察圖象就很容易發現函數f（x）=lgx與f（x）=sinx在x∈[0，10]交點的個數為3個，所以函數f（x）=lgx-sinx在[0，10]上零點的個數為3個。

數形結合就是將數與形結合在一起，使得抽象的思維和形象的思維并存，充分將二者之間的優劣勢互補，至此達成一種最佳的思考方式。應用數形結合的思想可以將繁瑣問題簡單化，抽象問題直觀化，從而以最明了的方式解決數學問題。

參考文獻：

[1]徐國央.數形結合思想在數學解題中的應用[J].寧波教育學院報，2009，（01）.

[2]楊琴.高等數學教學中應重視數形結合思想的作用[J].才智，2009，（15）.

[3]劉雨智.淺談數形結合在解題中的應用[J].各界（科技與教育），2009，（02）.

[4]曾劍華.淺淡數形結合在函數教學中的應用[J].科技創新導報， 2009，（14）